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2025-09-18T02:07:58Z

Parameter fix

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{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit der mathematischen Struktur ''Pseudo-Magma,'' weitere Bedeutungen unter [[Pseudo-Magma (Begriffsklärung)]].}}

Ein '''Pseudo-Magma''' ''(neutrum'', Mehrzahl ''Pseudo-Magmen''), ''partielles Magma'', ''Pseudo-Gruppoid'', ''partielles Gruppoid'' oder ''Halbgruppoid''<ref name="Eisenreich">{{Literatur |Autor=Günther Eisenreich |Titel=Lexikon der Algebra |Verlag=Akademie-Verlag/Springer-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1989 |ISBN=3-05-500231-8}}</ref> (in Anlehnung an das englische ''halfgroupoid''<ref name="Bruck">{{Literatur |Autor=Richard Hubert Bruck |Hrsg=P.J.Hilton |Titel=A survey of binary systems |Sammelwerk=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete |Band=20 |Auflage=3. |Verlag=Springer Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=1971 |ISBN=978-3-662-42837-5}}</ref>), ist eine [[algebraische Struktur]] (genauer: ''partielle Algebra'') <math>( M, f )</math>, die aus einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>M</math> und einer [[Partielle Abbildung|partiellen Abbildung]] <math>f\colon M \times M \rightsquigarrow M</math> besteht.

Es ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes des ''[[Magma (Mathematik)|Magmas bzw. Gruppoids]],'' in dem die Abbildung <math>f</math> eine [[Zweistellige Verknüpfung#Innere zweistellige Verknüpfung|zweistellige, innere Verknüpfung]] sein muss (<math>f\colon M \times M \rightarrow M</math>), also nicht mehr partiell sein darf.

== Alternative Definition ==

Ein Pseudo-Magma <math>( M, f )</math> kann auch als eine Menge <math>M</math> zusammen mit einer [[Zweistellige Verknüpfung#Äußere zweistellige Verknüpfungen zweiter Art|äußeren zweistelligen Verknüpfung zweiter Art]] <math>f\colon M \times M \rightarrow B</math> definiert werden<ref name="Inui,Gall">{{Literatur |Autor=Yoshifumi Inui, François Le Gall |Titel=Quantum Property Testing of Group Solvability |Datum= |Seiten=2 |Kommentar=Definition am Anfang von § 2.1 |arXiv=0712.3829}}</ref>.

Ein Pseudo-Magma <math>( M, f )</math> definiert über eine partielle Abbildung kann in ein äquivalentes Pseudo-Magma <math>( M, f' )</math> mit einer äußeren zweistelligen Verknüpfung zweiter Art umgewandelt werden, indem man <math>B := M \cup \{ x \}</math> mit <math>x \notin M </math> festlegt und <math>f'(a,b) = x</math> setzt, falls <math> (a,b) \notin \mbox{Def}(f)</math>, sonst <math>f'(a,b) = f(a,b)</math>.

Andersherum kann ein Pseudo-Magma <math>( M, f' )</math> mit einer äußeren zweistelligen Verknüpfung zweiter Art in ein äquivalentes Pseudo-Magma <math>( M, f )</math> definiert über eine partielle Abbildung umgewandelt werden, indem man <math>f</math> als undefiniert an der Stelle <math> (a,b) </math> setzt, falls <math> f'(a,b) \notin M</math>, sonst <math>f(a,b) = f'(a,b)</math>.

Beide Definitionen sind daher in einem gewissen Sinne äquivalent.

== Weitere Definitionen ==

=== Unterpseudomagma ===

Analog zu einem [[Magma (Mathematik)#Untermagma|Untermagma]] oder einer [[Untergruppe]] kann ein ''Unterpseudomagma'' (oder ''Teilhalbgruppoid''<ref name="Eisenreich" /> oder ''Unterhalbgruppoid'' in Anlehnung an das englische ''subhalfgroupoid''<ref name="Bruck" />) von einem Pseudo-Magma definiert werden. Hierbei muss jedoch der Definitionsbereich der Verknüpfung gesondert betrachtet werden.

Sei <math>\boldsymbol M = (M,*)</math> ein Pseudo-Magma. Ein Pseudo-Magma <math>\boldsymbol U = (U,\circ)</math> heißt '''Unterpseudomagma''' von <math>\boldsymbol M</math>, wenn <math>U \subseteq M</math> und <math>\circ = *|_{\mbox{Def}(\circ)}</math>, d. h. die Verknüpfung <math>\circ</math> ist die [[Einschränkung (Mathematik)|Einschränkung]] von <math>*</math> auf <math>\mbox{Def}(\circ) \subseteq U\times U</math>.

Genau dann ist also <math>\boldsymbol U</math> ein Unterpseudomagma von <math>\boldsymbol M</math>, wenn <math>U \subseteq M</math> und es gilt

:<math>\mbox{Def}(\circ) \subseteq \mbox{Def}(*) \cap U \times U</math>
und
:<math>a * b = a \circ b \in U</math> für alle <math>(a,b) \in \mbox{Def}(\circ)</math>.

Ein Magma <math>\boldsymbol M = (M,*)</math> kann demnach ein Unterpseudomagma enthalten, das kein Untermagma ist, nämlich wenn gilt:

:<math>\mbox{Def}(\circ) \subsetneq U \times U = \mbox{Def}(*) \cap U \times U </math>.

==== Beispiel ====

Seien <math>\boldsymbol M = (M,*)</math> und <math>\boldsymbol U = (U,\circ)</math> mit <math>M = \{a,b,c\}</math>, <math>U = \{a,b\}</math> und folgenden [[Verknüpfungstafel]]n für <math>*</math> und <math>\circ</math>:

{| cellpadding="20" style="text-align:center"
|
{| border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
|-
! style="background:#EFEFEF;"|<math>*</math>
! style="background:#EFEFEF;"|a
! style="background:#EFEFEF;"|b
! style="background:#EFEFEF;"|c
|-
! style="background:#EFEFEF;"|a
| a || b || -
|-
! style="background:#EFEFEF;"|b
| c || b || a
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| c || a || -
|}
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{| border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
|-
! style="background:#EFEFEF;"|<math>\circ</math>
! style="background:#EFEFEF;"|a
! style="background:#EFEFEF;"|b
|-
! style="background:#EFEFEF;"|a
| a || b
|-
! style="background:#EFEFEF;"|b
| - || b
|}
|}

Dann ist <math>\boldsymbol U</math> ''Unterpseudomagma'' von <math>\boldsymbol M</math>.

Anmerkungen:
* Der Wert von <math>b * a</math> kann beliebig sein (er könnte auch <math>a</math>, <math>b</math> oder undefiniert sein), da <math>(b,a) \notin \mbox{Def}(\circ)</math>.
* Falls jedoch <math>(a,b) \notin \mbox{Def}(*)</math> wäre, dann wäre <math>\boldsymbol U</math> kein Unterpseudomagma von <math>\boldsymbol M</math>, da dann wegen <math>(a,b) \in \mbox{Def}(\circ)</math> nicht <math>\mbox{Def}(\circ) \subset \mbox{Def}(*) \cap U \times U</math> gelten würde.

==== Weitere Eigenschaften von Unterpseudomagmen ====

Sei <math>\boldsymbol M = (M,*)</math> ein Pseudo-Magma und <math>\boldsymbol U = (U,\circ)</math> ein Unterpseudomagma von <math>\boldsymbol M</math>.

* <math>\boldsymbol U</math> heißt '''abgeschlossen''' in <math>\boldsymbol M</math> (engl. ''„closed in M“''<ref name="Bruck" />), wenn aus <math>a,b \in U</math> und <math>(a,b) \in \mbox{Def}(*)</math> und <math>a*b=c</math> folgt <math>(a,b) \in \mbox{Def}(\circ)</math> und <math>a\circ b=c</math>. Beispiel:

{| cellpadding="20" style="text-align:center"
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{| border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
|-
! style="background:#EFEFEF;"|<math>*</math>
! style="background:#EFEFEF;"|a
! style="background:#EFEFEF;"|b
! style="background:#EFEFEF;"|c
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! style="background:#EFEFEF;"|a
| a || b || -
|-
! style="background:#EFEFEF;"|b
| b || - || a
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! style="background:#EFEFEF;"|c
| c || a || -
|}
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{| border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
|-
! style="background:#EFEFEF;"|<math>\circ</math>
! style="background:#EFEFEF;"|a
! style="background:#EFEFEF;"|b
|-
! style="background:#EFEFEF;"|a
| a || b
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! style="background:#EFEFEF;"|b
| b || -
|}
|}

* <math>\boldsymbol M</math> heißt '''Erweiterung''' von <math>\boldsymbol U</math> (engl. ''„extension of U“''<ref name="Bruck" />), wenn aus <math>a,b \in M</math> und <math>(a,b) \in \mbox{Def}(*)</math> folgt <math>a,b \in U</math>, und aus <math>c \in M \land c \notin U</math> folgt <math>\exists (a,b) \in U \times U: (a,b) \in \mbox{Def}(*) \land c=a*b</math>. Beispiel:

{| cellpadding="20" style="text-align:center"
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{| border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
|-
! style="background:#EFEFEF;"|<math>*</math>
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| a || - || -
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| b || c || -
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| - || - || -
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{| border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
|-
! style="background:#EFEFEF;"|<math>\circ</math>
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| a || -
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| b || -
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* Eine Erweiterung <math>\boldsymbol M</math> von <math>\boldsymbol U</math> heißt '''vollständige Erweiterung''' von <math>\boldsymbol U</math> (engl. ''„complete extension of U“''<ref name="Bruck" />), wenn <math>\forall (a,b) \in U \times U: (a,b) \in \mbox{Def}(*)</math>. Beispiel:
{| cellpadding="20" style="text-align:center"
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{| border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
|-
! style="background:#EFEFEF;"|<math>*</math>
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| a || b || -
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| b || c || -
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! style="background:#EFEFEF;"|c
| - || - || -
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{| border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
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! style="background:#EFEFEF;"|<math>\circ</math>
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| a || -
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| b || -
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* Eine Erweiterung <math>\boldsymbol M</math> von <math>\boldsymbol U</math> heißt '''offene Erweiterung''' von <math>\boldsymbol U</math> (engl. ''„open extension of U“''<ref name="Bruck" />), wenn aus <math>(a,b) \in \mbox{Def}(*)</math>, <math>a*b=c</math> und <math>c \in U</math> folgt <math>(a,b) \in \mbox{Def}(\circ)</math> und <math>a\circ b=c</math>, und aus <math>c \in M \land c \notin U</math> und <math>(a,b) \in \mbox{Def}(*) \land (a',b') \in \mbox{Def}(*) \land a*b=a'*b'=c</math> folgt <math>a=a' \land b=b'</math>. Beispiel:

{| cellpadding="20" style="text-align:center"
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{| border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
|-
! style="background:#EFEFEF;"|<math>*</math>
! style="background:#EFEFEF;"|a
! style="background:#EFEFEF;"|b
! style="background:#EFEFEF;"|c
! style="background:#EFEFEF;"|d
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! style="background:#EFEFEF;"|a
| a || - || - || -
|-
! style="background:#EFEFEF;"|b
| d || c || - || -
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! style="background:#EFEFEF;"|c
| - || - || - || -
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! style="background:#EFEFEF;"|d
| - || - || - || -
|}
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{| border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
|-
! style="background:#EFEFEF;"|<math>\circ</math>
! style="background:#EFEFEF;"|a
! style="background:#EFEFEF;"|b
|-
! style="background:#EFEFEF;"|a
| a || -
|-
! style="background:#EFEFEF;"|b
| - || -
|}
|}

Anmerkungen:
* Jedes Pseudo-Magma ist ein abgeschlossenes Unterpseudomagma von sich selbst.
* Jedes Pseudo-Magma ist eine offene Erweiterung von sich selbst.
* Ein Pseudo-Magma, das eine vollständige Erweiterung von sich selbst ist, ist ein Magma.
* Ein Pseudo-Magma, das kein Magma ist, kann eine offene, oder vollständige, oder offene und vollständige Erweiterung haben. Beispiel einer offenen '''und''' vollständigen Erweiterung:

{| cellpadding="20" style="text-align:center"
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{| border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
|-
! style="background:#EFEFEF;"|<math>*</math>
! style="background:#EFEFEF;"|a
! style="background:#EFEFEF;"|b
! style="background:#EFEFEF;"|c
! style="background:#EFEFEF;"|d
! style="background:#EFEFEF;"|e
|-
! style="background:#EFEFEF;"|a
| a || e || - || - || -
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! style="background:#EFEFEF;"|b
| d || c || - || - || -
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! style="background:#EFEFEF;"|c
| - || - || - || - || -
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! style="background:#EFEFEF;"|d
| - || - || - || - || -
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! style="background:#EFEFEF;"|e
| - || - || - || - || -
|}
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{| border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
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! style="background:#EFEFEF;"|<math>\circ</math>
! style="background:#EFEFEF;"|a
! style="background:#EFEFEF;"|b
|-
! style="background:#EFEFEF;"|a
| a || -
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! style="background:#EFEFEF;"|b
| - || -
|}
|}

== Rechengesetze ==

Ein Pseudo-Magma kann analog zu einem Magma [[Assoziativgesetz|assoziativ]] oder [[kommutativ]] sein, jedoch muss hier der Definitionsbereich genauer berücksichtigt werden. Es gelten somit folgende, abgewandelte Rechengesetze:

* Ein Pseudo-Magma <math>( M, \circ )</math> ist '''assoziativ''' (und heißt dann auch ''partielle Halbgruppe'')<ref name="Schelp">{{cite book|title=Proc. London Math. Soc. (1972) s3-24 (1)|publisher=London Mathematical Soc.|author=Shelp, R. H.|chapter=A Partial Semigroup Approach to Partially Ordered Sets|year=1972|pages=46–58 |language=en}}</ref>, wenn für alle <math>x,y,z \in M</math> mit <math> x\circ y\in M</math> und <math> y\circ z\in M</math> gilt
# <math>x \circ (y \circ z) \in M</math> genau dann wenn <math>( x \circ y) \circ z \in M</math>
# und <math>x \circ (y \circ z ) = ( x \circ y) \circ z</math>, wenn <math>x \circ (y \circ z) \in M</math> (und somit nach 1. auch <math>( x \circ y) \circ z \in M</math>)
* Ein Pseudo-Magma <math>( M, \circ )</math> ist '''kommutativ''', wenn für alle <math>x,y \in M</math> gilt
# <math>x \circ y \in M</math> genau dann wenn <math> y \circ x \in M</math>
# und <math>x \circ y = y \circ x</math>, wenn <math>x \circ y \in M</math> (und somit nach 1. auch <math>y \circ x \in M</math>)

== Beispiele ==

* Ein Beispiel eines assoziativen Pseudo-Magmas findet sich bei den sogenannten ''kleinen [[Kategorientheorie|Kategorien]],'' in denen die [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]] der Pfeile eine Menge ist. Diese Menge bildet zusammen mit der für Pfeile erklärten Verknüpfung ein assoziatives Pseudo-Magma. – Die formale Voraussetzung, dass die Kategorie klein sein muss, ist jedoch meist vernachlässigbar. In der Regel lassen sich alle Erkenntnisse über Pseudo-Magmen auch auf die ''Klasse'' der Pfeile mit der zugehörigen Verknüpfung übertragen.
* Im Allgemeinen lassen sich die Anforderungen für Kategorien auf eine Kompositionsoperation reduzieren, um ein Pseudo-Magma zu erhalten, dieses muss dann allerdings nicht assoziativ sein und auch keine Einselemente haben.
* Auch jede beliebige Menge ''M'' von Abbildungen wird vermöge der Hintereinanderausführung als Komposition <math>\circ\colon M\times M\to M, (\operatorname f,\operatorname g)\mapsto\operatorname f\circ\operatorname g</math> zu einem assoziativen Pseudo-Magma <math>(M,\circ).</math>
* [[Formale Sprache]]n sind im Allgemeinen assoziative Pseudo-Magmen in Bezug auf die Verkettung (Hintereinanderschreibung) als Verknüpfung. Die sogenannte *-Sprache <math>\Sigma^*</math> (sprich: ''„Stern-Sprache“,'' vgl. [[Kleene-Stern]]) über einem Alphabet Σ ist zwar zunächst eine [[Halbgruppe]] (sogar ein [[Monoid]]), da in ihr die Verkettung zweier Worte zu einem neuen Wort erklärt ist und das neue Wort wieder in der Sprache liegt. Formale Sprachen sind aber als beliebige Untermengen beliebiger solcher *-Sprachen definiert, so dass in einer speziellen Sprache die Verkettung zweier Worte zwar immer noch erklärt/erklärbar ist, jedoch zu keinem Wort derselben Sprache führt.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebraische Struktur]]
[[Kategorie:Algebra]]

Pseudo-Magma - Versionsgeschichte

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