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2025-05-24T13:09:16Z

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Das '''Proximum''' (oder auch '''Bestapproximation''') ist ein vor allem in der [[Numerik|numerischen Mathematik]] verwendeter Begriff aus der Theorie der [[Metrischer Raum|metrischen Räume]]. Das Proximum zu einem Punkt <math>x</math> innerhalb einer <math>x</math> nicht enthaltenden Menge <math>Y</math> ist derjenige Punkt aus <math>Y</math>, der zu <math>x</math> den geringsten Abstand hat.

== Definition ==
Sei <math>(X,d)</math> ein [[metrischer Raum]], <math>Y\subset X</math> eine [[Teilmenge]] und <math>x\in X</math> beliebig. Der Abstand des Elements <math>x</math> zur Teilmenge <math>Y</math> wird mittels der [[Distanzfunktion]] <math>\operatorname{dist}</math> definiert durch
:<math>\operatorname{dist}(x,Y):=\inf_{y\in Y} d(x,y)\,.</math>

Existiert nun ein <math>p\in Y</math> mit:
:<math>d(x,p)=\operatorname{dist}(x,Y)\,</math>

so nennt man <math>p</math> '''Proximum''' oder ''Bestapproximation'' zu <math>x</math> in <math>Y</math>.

Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.

Üblicherweise hat man es in der [[Approximation|Approximationstheorie]] mit einem [[normierter Raum|normierten Raum]] <math>(X,\lVert\cdot\rVert)</math> zu tun. Ein Proximum <math>p</math> zu <math>x\in X</math> in <math>Y\subset X</math> ist dann – ''falls existent'' – charakterisiert durch die Gleichung
:<math>\lVert x-p\rVert=\inf_{y\in Y} \lVert x-y\rVert</math>

== Zur Existenz eines Proximums ==
*Sei <math>(X,d)\,</math> ein [[metrischer Raum]]. <math>A\subset X</math> sei eine [[kompakter Raum|kompakte]] Teilmenge. Dann hat jedes <math>x\in X</math> ein Proximum in <math>A</math>.

*Sei <math>(X,\lVert\cdot\rVert)</math> ein normierter Raum. <math>V\subset X</math> sei ein endlichdimensionaler Teilraum und <math>Y\subset V</math> eine abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes <math>x\in X</math> ein Proximum in <math>Y</math>.

== Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow-Systemen ==
Sei <math>f\in C[a, b], U\subset C[a, b]</math> ein [[Tschebyschow-System]]. Dann ist das Proximum für <math>f</math> aus <math>U</math> eindeutig bestimmt.

Sei <math>U</math> ein endlichdimensionaler Unterraum von <math>C[a, b]</math>. Ist für jedes <math>f\in C[a, b]</math> das Proximum aus <math>U</math> eindeutig bestimmt, dann ist <math>U</math> ein [[Tschebyschow-System]].

== Alternanten-Kriterium in Tschebyschow-Systemen ==
Sei <math>f\in C[a, b], U\subset C[a, b]</math> ein <math>n</math>-dimensionales [[Tschebyschow-System]]. <math>u_0\in U</math> ist genau dann ein Proximum für <math>f</math> aus <math>U</math>, wenn es <math>n+1</math> Stellen <math>x_i</math> mit <math>a\leq x_0<x_1<\cdots<x_n\leq b</math> gibt, so dass
* <math>|f(x_i)-u_0(x_i)|=\max_{x\in[a,\, b]}|f(x)-u_0(x)|</math>, <math>i=0,\ldots, n</math> ([[Extremalpunkt]])
* <math>\operatorname{sign}\left(f(x_{i-1})-u_0(x_{i-1})\right)=-\operatorname{sign}(f(x_{i})-u_0(x_{i}))</math>, <math>i=1,\ldots, n</math> (alternierend)

Dies folgt aus dem [[Kolmogorow]]-Kriterium aus der [[Approximationstheorie]]. Auf diesem Kriterium basiert der [[Remez-Algorithmus]] zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow-Systemen.

== Proximum im Hilbertraum ==
Ist <math> X </math> ein [[Hilbertraum]] und <math>Y \subset X</math> eine abgeschlossene konvexe nichtleere Teilmenge, dann ist das Proximum eindeutig, das heißt, es existiert zu jedem <math>x \in X</math> genau ein <math> p \in Y</math> mit

:<math>\lVert x-p\rVert \le \lVert x-y\rVert\, \, \forall \, y \in Y</math>.

Ist <math>Y</math> ein abgeschlossener [[Untervektorraum]], so erhält man das Proximum <math>p</math> als [[Orthogonalprojektion]] von <math>x</math> auf <math>Y</math>.

== Siehe auch ==
* [[Alternantensatz]]
* [[Minimallösung]]

== Literatur ==
* Arnold Schönhage: ''Approximationstheorie.'' de Gruyter, Berlin 1971, ISBN 3-11-001982-5 ({{Google Buch|BuchID=XENFGizjTkUC}}).

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]

Proximum - Versionsgeschichte

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