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2024-07-22T20:33:38Z

Schrödinger-Propagator: ISBN-Format

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'''Propagatoren''' sind spezielle [[Greensche Funktion]]en <math>G</math>, also spezielle Lösungsfunktionen bestimmter [[Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], wie sie in der Physik (etwa in der [[Quantenelektrodynamik]]) vorkommen. Da Propagatoren an zwei Punkten [[Singularität (Mathematik)|singulär]] sind, werden sie auch '''Zweipunktfunktionen''' genannt. Sie können als [[Wahrscheinlichkeitsamplitude]] dafür interpretiert werden, dass ein [[Teilchen]] bzw. eine [[Welle]] von ''x'' nach ''y'' propagiert, d. h. sich ausbreitet, sich fortpflanzt bzw. fortschreitet. Je nach Differentialgleichung mit ihren [[Randbedingung|Rand-]] und [[Anfangsbedingung]]en ergeben sich verschiedene Propagatoren, beispielsweise der [[Ein-Elektron-Propagator]].<ref>{{Literatur |Autor=Jochen Schirmer |Titel=One-Particle Green’s Function |Sammelwerk=Many-Body Methods for Atoms, Molecules and Clusters |Band=94 |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2018 |Sprache=en |ISBN=978-3-319-93601-7 |DOI=10.1007/978-3-319-93602-4_3 |Seiten=31–41 |Online=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-93602-4_3 |Abruf=2023-02-19}}</ref>

In [[Feynmandiagramm|Feynman-Diagrammen]] werden Propagatoren bildlich-geometrisch (aber exakt) als Linien (und [[Vertex #Kern- und Teilchenphysik|Vertices]] als Knotenpunkte) dargestellt.

Die Quantenelektrodynamik ist die quantisierte Form einer [[Feldtheorie (Physik)|Feldtheorie]], welche jeweils ein Maxwell- und ein Dirac-Feld enthält, die miteinander gekoppelt sind. Sowohl Elektron- als auch Photon-Propagator werden jeweils durch eine 4×4-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] dargestellt, da die zugehörigen [[Differentialoperator]]en ebenfalls aus 4×4-Matrizen bestehen und Propagator bzw. Greenfunktion sowie Differentialoperator zueinander [[Kehrwert|reziprok]] sind.

== Schrödinger-Propagator ==
Innerhalb der [[Quantenmechanik]] wird die Zeitentwicklung durch den [[Zeitentwicklungsoperator]] <math>U</math> beschrieben, welcher im Fall eines zeitunabhängigen [[Hamiltonoperator]]s <math>H</math> gegeben ist durch:

::<math>U(t;t_0):=e^{-\frac{\mathrm i}{\hbar}(t-t_0)H}</math>

Die [[Matrixelement (Physik)|Matrixelemente]] des Zeitentwicklungsoperators

:<math>G(x,t|x_0,t_0):=\langle x|U(t;t_0)|x_0 \rangle,</math>

bezeichnet man auch als [[Greensche Funktion]] oder '''(Schrödinger-)Propagator'''.<ref>"The entity called the kernel here is often called the “propagator” or the “Green’s function.”" Quantum Mechanics and Path Integrals, Richard P. Feynman and Albert R. Hibbs, ISBN 0-486-13463-6 in den Anmerkungen</ref><ref>Techniques and Applications of Path Integration, L. S. Schulman, Courier Dover Publications, 2012, ISBN 0-486-13702-3, S. 3,4 [https://books.google.de/books?id=Ps0DcDKAEmIC&lpg=PP1&dq=schulman+propagator+pathintegral&pg=PA3&hl=de#v=onepage&q&f=false Google Books]</ref>

In der [[Richard Feynman|Feynmanschen]] Formulierung der Quantenmechanik mit [[Pfadintegral]]en findet man den '''Feynman-Propagator''', dessen [[Einheitsvektor|Normierung]] gerade so gewählt wird, dass er mit dem Schrödinger-Propagator übereinstimmt. Der Propagator liefert die [[Wellenfunktion|Wahrscheinlichkeitsamplitude]], ein zum Zeitpunkt <math>t_0</math> bei <math>x_0</math> lokalisiertes Teilchen zum Zeitpunkt <math>t</math> bei <math>x</math> zu finden.

== Zweite Quantisierung ==
In [[Zweite Quantisierung|zweiter quantisierter Form]] kann die Greenfunktion auch geschrieben werden als

:<math>G(x,t|x_0,t_0) = \langle \hat\psi(x,t) \; \hat\psi^\dagger(x_0,t_0) \rangle</math>

wobei <math>\langle \cdots \rangle</math> für den [[Erwartungswert]] des [[Grundzustand]]s steht. Diese Form ist übertragbar auf die [[Vielteilchentheorie|Vielteilchen]]-Quantenmechanik, wobei sich nur die Ermittlung des Erwartungswerts eventuell ändert ([[Festkörperphysik]], [[Feynmandiagramm]]).

=== Atom- und Kernphysik ===
In der [[Atomphysik|Atom-]] und [[Kernphysik]] enthält der [[Grundzustand]] im betrachteten System bereits reelle Teilchen ([[Proton]]en und [[Neutron]]en bzw. [[Elektron]]en); außerdem existiert ein zusätzliches äußeres [[Potential (Physik)|Potential]]. In [[angeregter Zustand|angeregten Zuständen]] werden nur die bereits vorhandenen Teilchen in energetisch höhere Zustände des vorhandenen Potentials angehoben.

Meist wird ein Propagator im [[Ortsraum]] verwendet. Es treten oft Propagatoren auf, welche die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür angeben, dass ein System am Anfang ein zusätzliches Teilchen im angeregten Zustand <math>q</math> und am Ende im angeregten Zustand <math>p</math> enthält:

:<math>G_{pq}(t,t') := \langle 0 \, | \, \hat{T} [\hat \psi_p(t) \; \hat\psi^\dagger_q(t')] \, | \,0 \rangle</math>

Hierbei ist
* <math>|0\rangle</math> der oben beschriebene Grundzustand
* <math>\hat{T}</math> der [[Zeitordnungsoperator]]
* <math>\hat\psi_p(t)</math> ein Operator, der zur Zeit <math>t</math> ein Teilchen im [[Quantenmechanischer Zustand|Zustand]] <math>p</math> vernichtet
* <math>\hat\psi^\dagger_q(t')</math> ein Operator, der zur Zeit <math>t'</math> ein Teilchen im Zustand <math>q</math> erzeugt.

=== Quantenfeldtheorie ===
In der [[Quantenfeldtheorie]] ist der Grundzustand identisch zum [[Grundzustand#Quantenfeldtheorie|Vakuum-Zustand]]: ohne reelle Teilchen, allerdings mit [[Vakuumfluktuation]]en. Zumindest für vernachlässigbare Kopplung unterscheidet sich ein angeregter Zustand vom Grundzustand durch die Zahl der (reellen) Teilchen; Teilchen werden sogar als Anregungszustände des zugehörigen Feldes interpretiert.

Meist wird ein Propagator im [[Impulsraum]] verwendet (im Wesentlichen die [[Fouriertransformierte]] des obigen Ausdrucks bezüglich Raum und Zeit; er beschreibt die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass sich ein Teilchen mit vorgegebener [[Energie]] und [[Impuls]] bewegt). Das einfachste Beispiel ist der Propagator für ein [[Klein-Gordon-Gleichung|skalares Feld]], dessen [[Anregung]]en Teilchen mit Masse <math>m</math> sind:

:<math>G(p) = \frac{\mathrm i}{p^2 - m^2 + \mathrm i \epsilon}</math>

Hierbei ist <math>p</math> der [[Viererimpuls]] des Teilchens.

== Mehrteilchen-Propagatoren ==
Gerade in der Atom- und Kernphysik werden oft auch Propagatoren verwendet, welche die Ausbreitung nicht nur eines, sondern mehrerer Teilchen gleichzeitig beschreiben. Ein Beispiel dafür ist der [[Polarisations-Propagator]].<ref>{{Literatur |Autor=Jochen Schirmer |Titel=Polarization Propagator |Sammelwerk=Many-Body Methods for Atoms, Molecules and Clusters |Band=94 |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2018 |ISBN=978-3-319-93601-7 |DOI=10.1007/978-3-319-93602-4_13 |Seiten=195–204 |Online=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-93602-4_13 |Abruf=2023-02-19}}</ref>

Ein verwandtes Konzept sind [[Vielteilchen-Greenfunktionen]]; diese beschreiben aber i. A. nicht unbedingt eine Ausbreitung von Teilchen, sondern allgemeinere Konzepte. Beispielsweise dienen sogenannte Drei-Punkt-[[Vertex]]-Funktionen zur Beschreibung der Wechselwirkung eines [[Elektron]]s mit einem [[Photon]].

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Propagator - Versionsgeschichte

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