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2021-10-25T12:16:27Z

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Das '''projektive Tensorprodukt''' ist eine Erweiterung der in der [[Mathematik]] betrachteten [[Tensorprodukt]]e von [[Vektorraum|Vektorräumen]] auf den Fall, dass zusätzlich [[Topologischer Raum|Topologien]] auf den Vektorräumen vorhanden sind. In dieser Situation liegt es nahe, auch auf dem Tensorprodukt der Räume eine Topologie erklären zu wollen. Unter den vielen Möglichkeiten dies zu tun sind das [[Injektives Tensorprodukt|injektive Tensorprodukt]] und das hier zu behandelnde projektive Tensorprodukt natürliche Wahlen.

Die Untersuchung des projektiven Tensorproduktes lokalkonvexer Räume geht auf [[Alexander Grothendieck]] zurück.
Einige Resultate über Banachräume wurden zuvor von [[Robert Schatten]] erzielt.

Zunächst wird der leichter zugängliche Fall der [[Normierter Raum|normierten Räume]] und [[Banachraum|Banachräume]] besprochen, anschließend wird auf die Verallgemeinerungen in der Theorie der [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räume]] eingegangen.

== Normierte Räume ==

Das Tensorprodukt zweier normierter Räume lässt sich wie folgt ebenfalls zu einem normierten Raum machen.

=== Definition ===

Seien <math>(E,\|\cdot\|_1)</math> und <math>(F,\|\cdot\|_2)</math> normierte Räume.
Die Elemente des Tensorproduktes <math>z\in E\otimes F</math> können in der Form <math>z=\sum_{i=1}^n x_i\otimes y_i</math> geschrieben werden, wobei diese Summendarstellung nicht eindeutig ist.
Definiert man

: <math>\|z\|_\pi := \inf \left\{\sum_{i=1}^n \|x_i\|_1\cdot\|y_i\|_2 ; \, n\in{\mathbb N}, x_i\in E, y_i\in F, z=\sum_{i=1}^n x_i\otimes y_i \right\}</math>,

so erhält man eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] auf dem Tensorprodukt <math>E\otimes F</math>. Diese Norm heißt das ''projektive Tensorprodukt'' der Normen <math>\|\cdot\|_1</math>
und <math>\|\cdot\|_2</math>.
Versieht man <math>E\otimes F</math> mit dieser Norm, so nennt man <math>E\otimes F</math> das ''projektive Tensorprodukt'' oder auch das <math>\pi</math>-''Tensorprodukt'' der normierten Räume <math>E</math> und <math>F</math> und schreibt dafür <math>E\otimes_{\pi} F</math>.

=== Eigenschaften ===
Sind in der Situation obiger Definition <math>x\in E, y\in F</math>, so gilt <math>\|x\otimes y\|_{\pi} = \|x\|_1\cdot \|y\|_2</math>.

Ist <math>B: E\times F\rightarrow G</math> eine stetige, [[bilineare Abbildung]] zwischen normierten Räumen, so induziert diese eine eindeutig bestimmte stetige, [[lineare Abbildung]] <math>B_0: E\otimes F \rightarrow G</math>, wobei <math>B(x,y) = B_0(x\otimes y)</math> für alle <math>x\in E, y\in F</math>.
Für die [[Operatornorm]] gilt <math>\|B_0\| = \sup\{\|B(x,y)\|;\, x\in E, \|x\|_1\le 1, y\in F, \|y\|_2 \le 1\}</math>.

Daher ist <math>\otimes_{\pi}</math> das Tensorprodukt in der [[Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der normierten Räume mit den stetigen linearen Abbildungen als [[Morphismus|Morphismen]] im Sinne der [[Tensorprodukt#Universaldefinition|Universaldefinition des Tensorproduktes]].

== Banachräume ==

Das projektive Tensorprodukt zweier Banachräume <math>(E,\|\cdot\|_1)</math> und <math>(F,\|\cdot\|_2)</math> ist in der Regel nicht vollständig, so dass die Bildung des Tensorproduktes aus der Kategorie der Banachräume herausführt.
Um in der Kategorie der Banachräume zu bleiben, muss man vervollständigen.

=== Definition ===

Man definiert <math> E\hat{\otimes}_{\pi} F</math> als die [[Vollständiger Raum|Vervollständigung]] des normierten Raums <math>E\otimes_{\pi} F</math> und nennt <math>E\hat{\otimes}_{\pi} F</math> das ''projektive Tensorprodukt'' in der Kategorie der Banachräume.
Diese Definition wird besonders durch die nachfolgende universelle Eigenschaft motiviert.

=== Universelle Eigenschaft ===

Ist <math>B: E\times F\rightarrow G</math> eine stetige, bilineare Abbildung zwischen Banachräumen, so gibt es genau eine stetige, lineare Abbildung <math>B_0: E\hat{\otimes}_{\pi} F \rightarrow G</math> mit <math>B(x,y) = B_0(x\otimes y)</math> für alle <math>x\in E, y\in F</math>.
Für die [[Operatornorm]] gilt wie im Falle der normierten Räume <math>\|B_0\| = \sup\{\|B(x,y)\|;\, x\in E, \|x\|_1\le 1, y\in F, \|y\|_2 \le 1\}</math>.

Also ist <math>\hat{\otimes}_{\pi}</math> das Tensorprodukt in der [[Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als [[Morphismus|Morphismen]] im Sinne der [[Tensorprodukt#Universaldefinition|Universaldefinition]] des Tensorproduktes.

=== Darstellung der Elemente ===

Jedes Element <math>z\in E\hat{\otimes}_{\pi} F</math> hat eine Darstellung <math>z=\sum_{i=1}^\infty x_i\otimes y_i</math> mit <math>\sum_{i=1}^\infty \|x_i\|_1\cdot \|y_i\|_2 < \infty</math>, wobei diese Darstellung als [[Absolute Konvergenz|absolut konvergente Reihe]] nicht eindeutig ist.
Es gilt die Formel

: <math>\|z\|_\pi := \inf \left\{\sum_{i=1}^\infty \|x_i\|_1\cdot\|y_i\|_2 ; \, x_i\in E, y_i\in F, z=\sum_{i=1}^\infty x_i\otimes y_i,\sum_{i=1}^\infty \|x_i\|_1\cdot \|y_i\|_2 < \infty \right\}</math>.

=== Dualräume ===
Der [[Dualraum]] eines projektiven Tensorproduktes <math>E\hat{\otimes}_{\pi} F</math> kann mit dem Raum <math>L(E,F')</math> der stetigen, [[Linearer Operator|linearen Operatoren]] von <math>E</math> in den Dualraum von <math>F</math> identifiziert werden. Ist <math>S:E\rightarrow F'</math> ein solcher Operator, so ist
: <math>\psi_S:E \otimes F \rightarrow \R,\, \sum_{i=1}^nx_i\otimes y_i \mapsto \sum_{i=1}^n (S(x_i))(y_i)</math>
ein <math>\|\cdot\|_\pi</math>-stetiges [[lineares Funktional]], dessen Norm mit der [[Operatornorm]] übereinstimmt, es lässt sich also normgleich zu einem stetigen linearen Funktional <math>\overline{\psi_S}</math> nach <math>E\hat{\otimes}_{\pi} F</math> fortsetzen. Dann kann man zeigen, dass <math>\psi</math>
: <math>\psi: L(E,F') \rightarrow (E\hat{\otimes}_{\pi} F)',\, S \mapsto \overline{\psi_S}</math>
ein isometrischer Isomorphismus ist. In diesem Sinne ist die Identifikation <math>L(E,F') \cong (E\hat{\otimes}_{\pi} F)'</math> zu verstehen.<ref>Raymond A. Ryan: ''Introduction to Tensor Products of Banach Spaces''. Springer-Verlag, 2002, ISBN 1-85233-437-1, Kapitel 2.3: ''The Dual Space of <math>X \hat{\otimes}_{\pi} Y</math>''</ref>

=== Das Tensorprodukt mit L1-Räumen ===

Es seien <math>(X,\Sigma,\mu)</math> ein [[Maßraum]] und <math>(E,\|\cdot\|)</math> ein Banachraum.
Sei <math>L^1(X,\Sigma,\mu,E) </math> der Banachraum aller [[Äquivalenzklasse]]n [[Messbare Funktion|messbarer Funktionen]] <math>f:X\rightarrow E</math> mit <math>\|f\|_1 := \int_{X} \|f\|{\rm d}\mu(t) < \infty</math>, wobei zwei messbare Funktionen äquivalent sind, wenn sie <math>\mu</math>-fast überall übereinstimmen, das heißt, wenn sie höchstens innerhalb einer <math>\mu</math>-[[Nullmenge]] verschiedene Werte annehmen.
Nach der universellen Eigenschaft induziert die bilineare Abbildung <math>L^1(X,\Sigma,\mu)\times E \rightarrow L^1(X,\Sigma,\mu,E), (f,x)\mapsto f(\cdot)x</math>, eine stetige lineare Abbildung <math>L^1(X,\Sigma,\mu)\hat{\otimes}_{\pi} E \rightarrow L^1(X,\Sigma,\mu,E)</math>.
Es gilt nun der Satz, dass diese Abbildung ein [[Isometrie|isometrischer]] [[Isomorphismus]] ist.
Das schreibt sich kurz und prägnant als

: <math>L^1(X,\Sigma,\mu)\hat{\otimes}_{\pi} E \cong L^1(X,\Sigma,\mu,E)</math>.

=== Banachalgebren ===

Seien <math>(E,\|\cdot\|_1)</math> und <math>(F,\|\cdot\|_2)</math> [[Banachalgebra|Banachalgebren]].
Dann setzt sich die Definition <math>(x_1\otimes y_1)\cdot (x_2\otimes y_2) := x_1x_2\otimes y_1y_2</math> zu einer Multiplikation auf <math>E\hat{\otimes}_{\pi} F</math> fort, die <math>E\hat{\otimes}_{\pi} F</math> zu einer Banachalgebra macht, das heißt, die Norm <math>\|\cdot\|_\pi</math> ist [[submultiplikativ]].<ref>A. Y. Helemskii: ''The Homology of Banach and Topological Algebras.'' Kluwer Academic Publishers, 1989, ISBN 0-7923-0217-6, Kapitel II, Satz 2.19</ref>

=== Negative Aussagen ===

* Eine zu <math>L^1(X,\Sigma,\mu)\hat{\otimes}_{\pi} E \cong L^1(X,\Sigma,\mu,E)</math> analoge Aussage für Räume stetiger Funktionen gilt nicht, dazu muss man das [[Injektives Tensorprodukt|injektive Tensorprodukt]] heranziehen.
* Im Allgemeinen ist das projektive Tensorprodukt reflexiver Räume nicht wieder reflexiv. Ist <math>\ell^2</math> der [[Folgenraum]] der quadrat-summierbaren Folgen mit den Einheitsvektoren <math>e_n</math>, so ist der von den Elementen <math>e_n\otimes e_n</math> erzeugte abgeschlossene Unterraum von <math>\ell^2\hat{\otimes}_\pi \ell^2</math> isometrisch isomorph zum Folgenraum <math>\ell^1</math> der absolut-summierbaren Folgen. Da letzterer nicht reflexiv ist, kann auch <math>\ell^2\hat{\otimes}_\pi \ell^2</math> nicht reflexiv sein, obwohl der Hilbertraum <math>\ell^2</math> es ist.<ref>Raymond A. Ryan: ''Introduction to Tensor Products of Banach Spaces''. Springer-Verlag, 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 2.10</ref>
* Sieht man von trivialen Ausnahmen ab, so sind projektive Tensorprodukte von [[Hilbertraum|Hilberträumen]] ([[C*-Algebra|C*-Algebren]]) keine Hilberträume (C*-Algebren), wie durch das Beispiel des vorangegangenen Punktes belegt wird. Es gibt aber ein spezielles [[Hilbertraum-Tensorprodukt]], das auch Ausgangspunkt für Tensorprodukte von C*-Algebren ist.

== Lokalkonvexe Räume ==

Die Konstruktion des projektiven Tensorproduktes kann auf den Fall der lokalkonvexen Räume verallgemeinert werden.

=== Definition ===
Seien <math>U\subset E</math> und <math>V\subset F</math> abgeschlossene, [[Absolutkonvexe Menge|absolutkonvexe]] Nullumgebungen in den lokalkonvexen Vektorräumen <math>E</math> und <math>F</math>. <math>\pi_{U,V}</math> sei das [[Minkowski-Funktional]] der [[Absolutkonvexe Hülle|absolutkonvexen Hülle]] von <math>U\otimes V := \{x\otimes y; x\in U, y\in V\} \subset E\otimes F </math>.
Das ''projektive Tensorprodukt'' oder ''<math>\pi</math>-Tensorprodukt'' <math>E\otimes_\pi F</math> ist der Tensorproduktraum mit dem System der [[Halbnorm]]en <math>\pi_{U,V}</math>, wobei <math>U\subset E</math> und <math>V\subset F</math> die abgeschlossenen, absolutkonvexen Nullumgebungen durchlaufen.

Bezeichnen <math>p_U</math> bzw. <math>p_V</math> die Minkowski-Funktionale von <math>U</math> bzw. <math>V</math>, so gilt die Formel

: <math>\pi_{U,V}(z) := \inf \left\{\sum_{i=1}^n p_U(x_i)\cdot p_V(y_i) ; \, n\in{\mathbb N}, x_i\in E, y_i\in F, z=\sum_{i=1}^n x_i\otimes y_i \right\}</math>.

Daher verallgemeinert diese Definition das projektive Tensorprodukt normierter Räume.

Man kann zeigen, dass die so erklärte Topologie die feinste lokalkonvexe Topologie auf dem Tensorprodukt ist, die die natürliche bilineare Abbildung
<math>E\times F\rightarrow E\otimes F</math> stetig macht.

Die Vervollständigung von <math>E\otimes_\pi F</math> wird wie im Falle normierter Räume mit <math>E\hat{\otimes}_{\pi} F</math> bezeichnet.

=== Stabilitätseigenschaften ===
Viele Klassen lokalkonvexer Räume sind stabil gegenüber der Bildung des projektiven Tensorproduktes.
Gehören <math>E</math> und <math>F</math> beide zu einer der Klassen
* [[Normierter Raum|normierte Räume]]
* [[Metrisierbarer lokalkonvexer Raum|metrisierbare lokalkonvexe Räume]]
* [[Nuklearer Raum|nukleare Räume]]
* [[Schwartz-Raum (allgemein)|Schwartz-Räume]]
* [[Quasinormierbarer Raum|quasinormierbare Räume]]
* [[(DF)-Raum|(DF)-Räume]]
* [[(DF)-Raum|gDF-Räume]],
so gehören auch <math>E\otimes_\pi F</math> und <math>E\hat{\otimes}_{\pi} F</math> zu dieser Klasse.

Das projektive Tensorprodukt [[Tonnelierter Raum|tonnelierter Räume]] ist im Allgemeinen nicht wieder tonneliert.
Sind aber <math>E</math> und <math>F</math> metrisierbar und tonneliert, so ist auch <math>E\otimes_\pi F</math> metrisierbar und tonneliert.

== Siehe auch ==
* [[Vektorielles Maß]]: Tensorprodukte von Räumen von Maßen

== Literatur ==
* A. Grothendieck: ''Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires''. In: ''Mem. Amer. Math. Soc.'', Band 16, 1955.
* H. Jarchow: ''Locally Convex Spaces.'' Teubner, Stuttgart 1981, ISBN 3-519-02224-9.
* Raymond A. Ryan: ''Introduction to Tensor Products of Banach Spaces''. Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1.
* R. Schatten: ''A theory of cross spaces''. In: ''Annals of Mathematical Studies'', 26, Princeton NJ 1950.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Projektives Tensorprodukt - Versionsgeschichte

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