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2025-06-30T23:14:29Z

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Im [[Mathematik|mathematischen]] Gebiet der [[Kategorientheorie]] sind '''projektive Objekte''' eine Verallgemeinerung des Begriffs der [[Freier Modul|Freiheit]] in der Algebra.

== Definition ==
[[Datei:Projektivesobjekt.png|rechts|rahmenlos]]Ein Objekt ''P'' einer Kategorie ''C'' heißt '''projektiv''', wenn es zu jedem [[Epimorphismus]] <math> \alpha \colon A\rightarrow B </math> und jedem <math> f\colon P \rightarrow B </math> ein <math> f^*\colon P \rightarrow A </math> gibt, so dass <math> \alpha \circ f^* = f </math> ist. Das heißt, nebenstehendes Diagramm ist kommutativ. Also ist <math> P </math> genau dann projektiv, wenn für alle Epimorphismen <math> \alpha\colon A \rightarrow B </math> die induzierte Abbildung
<math> \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(P,A) \ni f^* \mapsto \alpha \circ f^*\in \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(P,B) </math> surjektiv ist.

== Beispiele ==
* Jedes [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Anfangsobjekt]] in einer Kategorie ist projektiv.
* In der Kategorie der Mengen '''Me ''' ist jedes Objekt projektiv. Dies ist eine Folge des [[Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]].
* Das [[Koprodukt]] projektiver Objekte ist projektiv.
* Projektive [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] sind genau die [[Freie Gruppe|freien Gruppen]].

== Eigenschaften ==
Ist in der Kategorie <math>C</math> jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt <math>X\in \operatorname{Ob}(C)</math> einen Epimorphismus <math>P\rightarrow X</math>, in dem <math>P</math> projektiv ist, so sagt man auch, <math>C</math> ''besitze genügend projektive Objekte''. Diese Eigenschaft spielt eine Rolle im Zusammenhang mit [[Abgeleiteter Funktor|abgeleiteten Funktoren]].
Beispielsweise besitzt die Kategorie der Gruppen genügend projektive Objekte, weil jede Gruppe Quotient einer freien Gruppe ist (Darstellung durch Erzeugende und Relationen).

== Projektiver Modul ==
In der Kategorie der Moduln kann man genaueres über projektive Moduln sagen.

Für einen Modul <math> P </math> sind folgende Aussagen äquivalent.
* <math> P </math> ist projektiv.
* Zu jedem Epimorphismus <math> f\colon M \rightarrow P </math> gibt es <math> g\colon P \rightarrow M </math>, so dass <math> f\circ g =\mathbf{1}_{P} </math> gilt. Das heißt, jeder Epimorphismus mit Ziel <math> P </math> ist eine [[Retraktion und Koretraktion|Retraktion]].
* Jeder Epimorphismus <math> f\colon M \rightarrow P </math> zerfällt. Das heißt, <math> \operatorname{Kern} (f) </math> ist direkter Summand in <math> M </math>.
* <math> P </math> ist isomorph zu einem direkten Summanden eines [[Freier Modul|freien Moduls]].
* Der Funktor <math> \operatorname{Hom}(P,-) </math> ist [[Exakter Funktor|exakt]].

Die direkte Summe einer Familie <math> (P_i|i \in I) </math> von Moduln ist genau dann projektiv, wenn jedes <math> P_i </math> projektiv ist. Insbesondere ist jeder direkte Summand eines projektiven Moduls projektiv. Das [[Produkt von Moduln|Produkt]] projektiver Moduln ist im Allgemeinen keineswegs projektiv. So ist beispielsweise <math> \Z^{\N} </math> nicht projektiv.

=== Beispiele projektiver Moduln ===
* Jeder Ring <math> R </math> ist projektiv als <math> R</math>-Modul. Jeder freie Modul ist deshalb projektiv.
* Projektive [[abelsche Gruppe]]n sind genau die [[Freie abelsche Gruppe|freien abelschen Gruppen]]. Achtung: freie abelsche Gruppen sind i.a. keine freien Gruppen.
* Allgemeiner ist über jedem [[Hauptidealring]] jeder projektive Modul frei.
* [[Gebrochenes Ideal|Gebrochene Ideale]] in einem [[Dedekindring]] sind projektiv, aber im Allgemeinen nicht frei.
* Ein [[endlich erzeugt]]er [[Modul (Mathematik)|Modul]] über einem [[Noetherscher Ring|noetherschen Ring]] ist genau dann projektiv, wenn die zugehörige [[Spektrum eines Ringes|Modulgarbe]] [[Vektorbündel|lokal frei]] ist.

=== Dualbasislemma ===
Ein Modul <math> P </math> werde erzeugt von <math> (y_i|i \in I) </math>. Der Modul <math> P </math> ist genau dann projektiv, wenn es eine Familie <math> (f_i| i \in I) </math> von Homomorphismen aus dem Dualraum <math> P^*\colon = \operatorname{Hom}(P,R) </math> gibt mit:
# Für jedes <math> p \in P </math> ist <math> f_i(p) \neq 0 </math> nur für endlich viele <math> i\in I </math>.
# Für jedes <math> p \in P </math> ist <math>\textstyle p= \sum_{i \in I} y_i f_i(p) </math>.

=== Folgerungen aus dem Dualbasislemma ===
* Für jeden Rechtsmodul <math> P </math> ist <math> P^*:= \operatorname{Hom}(P,R) </math> ein Linksmodul über dem Ring <math> R </math>. Dieser Modul heißt der zu <math> P </math> duale Modul. Der Modul <math> P^{**}:= \operatorname{Hom}(P^*,R) </math> ist wieder ein Rechtsmodul. Man hat den natürlichen Homomorphismus <math>\begin{align}
\Phi(P)\colon P \ni p &\mapsto (\operatorname{Hom}(P,R) \ni \alpha \mapsto \alpha(p) \in R)\in P^{**} \end{align}</math>. Ist <math> P </math> projektiv, so ist <math> \Phi(P) </math> injektiv.
* Ist <math> P </math> projektiv und endlich erzeugt, so ist <math> \Phi(P) </math> ein [[Isomorphismus]]. Man sagt <math> P </math> ist reflexiv.

== Siehe auch ==
* Der duale Begriff ist der des [[Injektives Objekt|injektiven Objektes]].
* Die Isomorphieklassen endlich erzeugter projektiver Moduln werden durch die nullte [[algebraische K-Theorie]] beschrieben.

== Literatur ==
* [[Friedrich Kasch]]: ''Moduln und Ringe ''. B.G. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
* [[Tsit Yuen Lam|T.Y. Lam]]: ''Lectures on Modules and Rings'', Springer, New York 1999, ISBN 0-387-98428-3
* [[Bodo Pareigis]]: ''Kategorien und Funktoren '', B.G. Teubner, Stuttgart 1969

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Homologische Algebra]]
[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Projektives Objekt - Versionsgeschichte

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