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2026-02-27T21:40:26Z

Definition

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[[Datei:Railroad-Tracks-Perspective.jpg|mini|[[Zentralprojektion]] einer Eisenbahnstrecke – die parallel verlaufenden [[Schiene (Schienenverkehr)|Schienen]] scheinen sich im [[Fluchtpunkt]] am Horizont zu schneiden.]]

Der '''projektive Raum''' ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der [[Geometrie]]. Dieser Raum kann aufgefasst werden als die Menge aller Geraden durch den Ursprung eines [[Vektorraum]]s <math>V</math>. Ist <math>V</math> der reelle zweidimensionale Vektorraum <math>\R^2</math>, so nennt man ihn [[Projektive Gerade|reelle projektive Gerade]], und im Falle <math>V = \R^3</math> heißt er [[Projektive Ebene|reelle projektive Ebene]]. Analog definiert man projektive Geraden und projektive Ebenen über beliebigen Körpern als die Mengen der [[Ursprungsgerade]]n in einem zwei- bzw. dreidimensionalen Vektorraum über dem jeweiligen Körper. Projektive Ebenen können in der Inzidenzgeometrie auch axiomatisch charakterisiert werden, dabei erhält man auch projektive Ebenen, die nicht den Geraden in einem Vektorraum entsprechen.<ref name="Beutelspacher">Beutelspacher (1982)</ref>

Die Idee der projektiven Räume steht in Beziehung zur [[Zentralprojektion]] aus der [[darstellende Geometrie|darstellenden Geometrie]] und [[Kartenentwurfslehre]] bzw. zur Art und Weise, wie das Auge oder eine Kamera eine dreidimensionale Szene auf ein zweidimensionales [[Optische Abbildung|Abbild]] projiziert. Alle Punkte, die gemeinsam mit der [[Linse (Optik)|Linse]] der Kamera auf einer Linie liegen, werden auf einen gemeinsamen Punkt projiziert. In diesem Beispiel ist der zugrunde liegende Vektorraum <math>\R^3</math>, die Kameralinse ist der [[Koordinatensystem|Ursprung]] und der projektive Raum entspricht den [[Bildpunkt (Optik)|Bildpunkten]].

== Definition ==
Der [[Reeller projektiver Raum|reelle projektive Raum]] <math>\R P^n</math> ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im <math>\R^{n+1}</math>. Formal definiert man ihn als Menge von Äquivalenzklassen wie folgt.

Auf <math>\R^{n+1}\setminus\{0\}</math> sei die [[Äquivalenzrelation]]
:<math>x \sim y \Leftrightarrow \exists \lambda \in \R\setminus\{0\}\colon x = \lambda y</math>
definiert. In Worten heißt dies, dass <math>x</math> genau dann äquivalent zu <math>y</math> ist, wenn es ein <math>\lambda \in \R\setminus\{0\}</math> gibt, so dass <math>x = \lambda y</math> gilt. Alle Punkte auf einer Ursprungsgeraden – der Ursprung ist nicht enthalten – werden also miteinander identifiziert und nicht mehr unterschieden.

Der <math>n</math>-dimensionale [[reeller projektiver Raum|reelle projektive Raum]] <math>\R P^{n}</math> ist der [[Faktormenge (Mathematik)|Quotientenraum]]
:<math>\left(\R^{n+1}\setminus\{0\}\right)/\sim</math>
ausgestattet mit der [[Quotiententopologie]] <math>\tau</math>. Dadurch wird er zu einem [[topologischer Raum|topologischen Raum]] <math>(\R P^{n},\tau)</math>.

Im Fall <math>n=1</math> spricht man von der ''[[projektive Gerade|projektiven Geraden]]'' (auch: ''projektive Linie'') und im Fall <math>n=2</math> von einer ''[[Projektive Ebene|projektiven Ebene]]''.

Wählt man statt <math>\R^{n+1}</math> den komplexen Vektorraum <math>\Complex^{n+1}</math>, so erhält man mit der analogen Definition mit <math>\lambda \in \Complex\setminus\{0\}</math> den ''[[Komplexer projektiver Raum|komplex projektiven Raum]]'' der (komplexen) Dimension <math>n</math> als den Raum der komplex eindimensionalen Unterräume des <math>\Complex^{n+1}</math>.

Die Koordinaten der Punkte des projektiven Raums, welche ja Äquivalenzklassen von Punkten <math>(x_0,\dotsc,x_n)\in\R^{n+1}</math> sind, werden durch <math>[x_0 : \ldots : x_n] \in \R P^n</math> notiert und heißen [[homogene Koordinaten]]. (Entsprechend für den [[Komplexer projektiver Raum|komplexen projektiven Raum]].) Für <math>n=1</math> definiert die Abbildung <math>[x_0:x_1]\rightarrow \tfrac{x_0}{x_1}</math> eine [[Bijektion]] zwischen <math>\R P^1</math> und <math>\R\cup\left\{\infty\right\}</math>.

Allgemeiner können auch projektive Räume über beliebigen anderen [[Körper (Algebra)|Körpern]] (an Stelle von <math>\R</math> bzw. <math>\Complex</math>) konstruiert werden.

Ein allgemeinerer Begriff des projektiven Raumes wird in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] verwendet, vor allem für den Fall <math>n=2</math> die [[projektive Ebene]]. Die Axiomatik dieses allgemeineren Begriffes wird im Hauptartikel [[Projektive Geometrie]] dargestellt.

== Projektive lineare Gruppe (Kollineationen) ==
{{Hauptartikel|Projektive Abbildung}}
Die [[projektive lineare Gruppe]] <math>\mathrm{PGL}(n+1,\mathbb \R)</math> ist die Gruppe der invertierbaren projektiven Abbildungen, sie ist definiert als Quotient von <math> \mathrm{GL}(n+1, \mathbb \R)</math> unter der Äquivalenzrelation
: <math>A \sim B \Leftrightarrow \exists \lambda \in \R\setminus\{0\}\colon A = \lambda B</math>.
Die Wirkung von <math> \mathrm{GL}(n+1 , \R)</math> auf <math>\left(\R^{n+1}\setminus\{0\}\right)</math> gibt eine wohl-definierte Wirkung von <math>\mathrm{PGL}(n+1,\R)</math> auf <math>\R P^n</math>. Die den Elementen <math>A\in\operatorname{PGL}(n+1,\R)</math> entsprechenden Abbildungen <math>A:\R P^n\to\R P^n</math> sind projektive, das heißt hier ''doppelverhältnistreue'' [[Kollineation]]en. Mit anderen Worten:
# Sie bilden die Menge der projektiven Punkte bijektiv auf sich selbst ab.
# Sie bilden jede Gerade als Punktmenge auf eine Gerade ab (erhalten damit die Inzidenzstruktur).
# Das [[Doppelverhältnis]] von beliebigen 4 Punkten, die auf einer Geraden liegen, bleibt unverändert. Das unterscheidet Projektivitäten von bijektiven ''echt'' [[Semilineare Abbildung|semilinearen Selbstabbildungen]] des Vektorraums.

Analog definiert man eine Wirkung von <math>\mathrm{PGL}(n+1,\Complex)</math> auf <math> \Complex P^n</math>.

Im Fall der projektiven Gerade wirkt <math>\mathrm{PGL}(2,\R)</math> auf <math>\R P^1</math> durch gebrochen-lineare Transformationen. Nach der Identifikation von <math>\R P^1</math> mit <math>\R\cup\{\infty\}</math> (bzw. <math>\Complex P^1</math> mit <math>\Complex\cup\{\infty\}</math>) wirkt <math>\mathrm{PGL}(2,\R)</math> bzw. <math>\mathrm{PGL}(2,\Complex)</math> durch
<math>\left( \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right) z = \frac{az+b}{cz+d}</math>.

== Beispiel: Riemannsche Zahlenkugel ==
[[Datei:Riemann sphere1.svg|miniatur|Stereographische Rückprojektionen der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>A</math> und <math>B</math> auf die Punkte <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> der Riemann’schen Zahlenkugel]]

Die komplex-projektive Gerade ist nach obiger Definition gerade die Menge der komplexen Geraden in <math>\Complex^2</math>, welche durch den Ursprung <math>(0, 0) \in \Complex^2</math> gehen.

Die komplex-projektive Gerade kann man auch als die reell-zweidimensionale [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] beziehungsweise [[riemannsche Zahlenkugel]]
:<math>S^2=\{(x, y, z) \in \R^3, x^2+y^2+z^2=1 \}</math>
auffassen. Die Übereinstimmung mit obigen Begriffen ergibt sich wie folgt: Bezeichne mit <math>N := (0, 0, 1) \in S^2</math> den „Nordpol“. Betrachte die [[stereographische Projektion]]
:<math>f\colon S^2 \setminus \{ N \} \to \R^2 \cong \Complex</math>,
welche durch
<math>\textstyle (x, y, z) \mapsto \left(\frac{x}{1-z}, \frac{y}{1-z} \right) = \frac{x + iy}{1-z}</math>
gegeben ist. Anschaulich legt man durch <math>(x, y, z)</math> und den Nordpol eine (reelle) Gerade und wählt den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Äquatorebene als Bildpunkt der Abbildung, wobei der Nordpol mit <math>\infty</math> identifiziert wird.
Die Korrespondenz zwischen <math>S^2</math> und <math>\Complex P^1</math> in homogenen Koordinaten ist dann <math>(x, y, z) \mapsto \left[1 : \frac{x+iy}{1-z}\right] = [1-z : x + iy]</math>.

== Eigenschaften ==
* Die [[Reeller projektiver Raum|reellen]] und [[Komplexer projektiver Raum|komplexen projektiven Räume]] sind [[Kompakter Raum|kompakte]] [[Mannigfaltigkeit]]en.
* Der projektive Raum ist ein Beispiel für eine nicht affine [[algebraische Varietät]] bzw. ein nicht affines [[Schema (algebraische Geometrie)|Schema]]. Außerdem hat der projektive Raum die Struktur einer [[Torische Varietät|torischen Varietät]]. Im algebraisch-geometrischen Kontext kann man anstelle der reellen oder komplexen Zahlen jeden beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] einsetzen.
* Untervarietäten des projektiven Raums werden als [[projektive Varietät]]en (veraltet auch als projektive Mannigfaltigkeiten) bezeichnet.
* Lokal nach dem projektiven Raum modellierte lokal-homogene Mannigfaltigkeiten werden als [[projektive Mannigfaltigkeit]]en bezeichnet.

== Topologie ==
Die projektive Gerade <math>\R P^1</math> ist [[homöomorph]] zum [[Kreis]] <math>S^1</math>. Für <math>n>1</math> ist die [[Fundamentalgruppe]] des projektiven Raums <math>\R P^n</math> die Gruppe [[Z2 (Gruppe)|Z/2Z]], die 2-fache [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] des <math>\R P^n</math> ist die [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] <math>\mathbb{S}^n</math>.

Für ungerade <math>n</math> ist der <math>\R P^n</math> [[Orientierbarkeit|orientierbar]], für gerade <math>n</math> ist er nicht orientierbar.

Die projektive Ebene <math>\R P^2</math> ist eine nicht-orientierbare [[Fläche (Mathematik)|Fläche]], die sich nicht in den <math>\R^3</math> [[Einbettung (Mathematik)|einbetten]] lässt. Es gibt aber Immersionen des <math>\R P^2</math> in den <math>\R^3</math>, zum Beispiel die sogenannte [[Boysche Fläche]].

Die komplex-projektive Gerade <math>\Complex P^1</math> ist homöomorph zur Sphäre <math>S^2</math>, die quaternionisch-projektive Gerade <math>\mathbb{H} P^1</math> ist homöomorph zur <math>S^4</math>, die Cayley-projektive Gerade <math>Ca P^1</math> homöomorph zur <math>S^8</math>.

Alle komplex- oder [[Quaternionischer projektiver Raum|quaternionisch-projektiven Räume]] sind [[einfach zusammenhängend]].

Die [[Hopf-Faserung]]en bilden (für <math>\mathbb K=\Complex, \mathbb{H}, Ca</math>) jeweils die Einheitssphäre in <math>\mathbb K^2</math> auf <math>\mathbb KP^1</math> ab, die Faser ist die Einheitssphäre in <math>\mathbb K^1</math>. Man erhält auf diese Weise Faserungen
:<math>S^1\to S^3\to S^2, S^3\to S^7\to S^4, S^7\to S^{15}\to S^8</math>.
Diese Faserungen haben [[Hopf-Invariante]] 1.

== Projektive Teilräume und abgeleitete Räume {{Anker|Projektiver Teilraum}} ==
In diesem Abschnitt wird im Sinne der obigen allgemeineren Definition von einem <math>n</math>-dimensionalen projektiven Raum <math>KP^n</math> über einem beliebigen Körper <math>K</math> ausgegangen, die Punkte des Raumes können also als eindimensionale [[Untervektorraum|Untervektorräume]] von <math>K^{n+1}</math> angesehen werden.
* Jedem <math>k+1</math>-dimensionalen Unterraum <math>(-1\leq k\leq n)</math> von <math>K^{n+1}</math> ist ein <math>k</math>-dimensionaler '''projektiver Teilraum''' <math>H</math> von <math>KP^n</math> zugeordnet. Man nennt <math>H</math> auch eine ''(verallgemeinerte, projektive) Ebene'', für <math>k=n-1</math> [[Hyperebene]], für <math>k=1</math> Gerade in <math>KP^n</math>. Auch die [[leere Menge]] wird hier als projektiver Teilraum betrachtet, dem der [[Nullvektorraum|Nullraum]] von <math>K^{n+1}</math> und als Dimension <math>-1</math> zugeordnet wird.
* Die Schnittmenge von zwei projektiven Teilräumen ist wiederum ein projektiver Teilraum.
* Bildet man zu den Unterräumen, die zwei projektiven Räumen <math>S_1</math> und <math>S_2</math> zugeordnet sind, die [[lineare Hülle]] ihrer Vereinigungsmenge in <math>K^{n+1}</math>, so gehört zu diesem Untervektorraum wieder ein projektiver Teilraum, der Verbindungsraum <math>S_1\vee S_2</math> (auch als Summe <math>S_1+ S_2</math> notiert) von <math>S_1</math> und <math>S_2</math>.
* Für Schnitt und Verbindung von projektiven Teilräumen gilt die ''projektive Dimensionsformel'':
::<math>\operatorname{dim}(S_1)+\operatorname{dim}(S_2)=\operatorname{dim}(S_1\vee S_2)+\operatorname{dim}(S_1\cap S_2)</math>.
* Die Menge <math>\mathcal{P}^n</math> aller Teilräume des projektiven Raumes <math>KP^n</math> bildet bezüglich der Verknüpfungen „Schnitt“ <math>\cap</math> und „Verbindung“ <math>\vee</math> einen längenendlichen, modularen, komplementären [[Verband (Mathematik)|Verband]].
* Jedem projektiven Punkt kann über seine Koordinaten eine homogene Koordinatengleichung zugeordnet werden, deren [[Lösungsmenge]] eine Hyperebene beschreibt. Durch die so definierten Hyperebenenkoordinaten bilden die Hyperebenen in <math>KP^n</math> wiederum Punkte eines projektiven Raumes, des Dualraums <math>(KP^n)^D</math>.(→ siehe dazu [[Projektives Koordinatensystem#Koordinatengleichungen und Hyperebenenkoordinaten]]).
* Allgemeiner bildet die Menge der Hyperebenen, die einen festen <math>k</math>-dimensionalen Teilraum <math>S</math> enthalten, einen projektiven Raum, den man als '''Bündel''', im Spezialfall <math>k=n-2</math> als '''Büschel''' von Hyperebenen bezeichnet. <math>S</math> heißt '''Träger''' des Bündels oder Büschels.

== Axiomatischer Zugang ==
{{Siehe auch|Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie}}

Als man in der zweiten Hälfte des [[19. Jahrhundert]]s die Geometrie in streng [[Axiomensystem|axiomatische]] Form fasste und dann auch daranging, die Axiome systematisch zu variieren, lag es nahe, das [[Parallelenaxiom]] durch die Festlegung zu ersetzen, dass sich zwei in einer Ebene liegende Geraden ''immer'' schneiden müssen. Dies ist allerdings unverträglich mit dem [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie#Axiome der Anordnung (Gruppe II)|Anordnungsaxiom]] '''II.3'''.

Beschränkt man sich aber auf die [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie#Axiome der Verknüpfung (oder Inzidenz; Gruppe I)|Inzidenzaxiome]], so ergeben sich sehr einfache und hochsymmetrische Axiomensysteme, die auch die Gesetze des bekannten projektiven Raums umfassen.

Ein solches Axiomsystem, das nur mit den Grundbegriffen „Punkt“, „Gerade“ und „[[Inzidenzgeometrie|Inzidenz]]“ auskommt, lautet:

# (Geradenaxiom) Sind <math>P</math> und <math>Q</math> zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau eine Gerade <math>PQ</math>, die mit <math>P</math> und <math>Q</math> [[Inzidenz (Geometrie)|inzidiert]].
# ([[Axiom von Veblen-Young]]) Sind <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> vier Punkte, so dass <math>AB</math> und <math>CD</math> mit einem gemeinsamen Punkt inzidieren, so inzidieren auch <math>AC</math> und <math>BD</math> mit einem gemeinsamen Punkt.
# (1. Reichhaltigkeitsaxiom) Jede Gerade inzidiert mit mindestens drei Punkten.
# (2. Reichhaltigkeitsaxiom) Es gibt mindestens zwei verschiedene Geraden.

Eine [[Inzidenzstruktur]], die diese Axiome erfüllt, heißt dann '''eine projektive Geometrie'''.

Das 1. Axiom ist eine Kurzfassung der ''Inzidenzaxiome'' '''I.1''' und '''I.2'''.

Das 2. Axiom ersetzt das Parallelenaxiom. Wenn man im Rahmen der übrigen Axiome den Begriff „Ebene“ geeignet definiert, besagt es gerade, dass zwei Geraden einer Ebene sich immer schneiden. Ersetzt man es durch das einfachere (und strengere) Axiom

: 2E. Sind <math>g</math> und <math>h</math> zwei verschiedene Geraden, so gibt es genau einen Punkt, der mit <math>g</math> und <math>h</math> inzidiert,

so heißt die entsprechende Struktur eine [[projektive Ebene]].

Die Reichhaltigkeitsaxiome 3. und 4. ersetzen das Hilbert-Axiom '''I.8'''. Strukturen, die nur die Axiome 1. bis 3., aber nicht 4. erfüllen, heißen '''ausgeartete projektive Geometrien'''. (Es sind ausnahmslos projektive ''Ebenen''.)

[[Datei:Fano plane.svg|mini|''Die'' [[Fano-Ebene]] erfüllt das Fano-''Axiom nicht''!]]
Da sowohl das Anordnungsaxiom '''III.4''' als auch das [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie#Axiome der Stetigkeit (Gruppe V)|Vollständigkeitsaxiom]] '''V.2''' fehlen, sind [[Endliche Menge|endliche]] Modelle für projektive Geometrien möglich.

Das einfachste nicht-entartete Beispiel ist die [[Fano-Ebene]], die aus sieben Punkten und sieben Geraden besteht; im nebenstehenden Bild sind die „Punkte“ die dick markierten Punkte, die „Geraden“ sind die Strecken sowie der Kreis.

Eine Punktmenge eines projektiven Raumes <math>\mathbb{P}</math>, die mit zwei verschiedenen Punkten stets auch alle Punkte auf deren (nach Axiom 1. eindeutigen) [[Verbindungsgerade]]n enthält, heißt [[Linearmenge]].<ref name="Beutelspacher" /> Linearmengen spielen die Rolle der projektiven Unterräume in der projektiven Geometrie, man schreibt daher auch <math>L\leq \mathbb{P}</math>, wenn <math>L</math> eine Linearmenge ist.
* Der einfachste (wenn auch nicht kleinste) Typ einer Linearmenge ist eine Punktreihe, also die Punktmenge auf ''einer'' Geraden.
* Eine beliebige Punktmenge <math>M</math> des Raumes ''erzeugt'' eine wohlbestimmte ''minimale'' Linearmenge
::<math>\langle M\rangle :=\bigcap_{M\subseteq L \leq \mathbb{P}} L,\quad</math> die Schnittmenge aller Linearmengen, in denen <math>M</math> als Teilmenge enthalten ist.
* Ist <math> \langle M \rangle =L </math> und für jeden Punkt <math>B\in M:\; \langle M\setminus\{B\}\rangle \neq L </math>, dann heißt <math>M</math> ein ''minimales Erzeugendensystem'' oder auch eine ''Punktbasis'' von <math>L</math>.<ref name="Beutelspacher" /> Die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Anzahl]] der Elemente <math>m</math> einer solchen Punktbasis von <math>L</math> ist unabhängig von der Wahl der Punktbasis. Die Zahl <math>d=m-1</math> heißt die ''projektive Dimension'' von <math>L</math>, sie kann <math>-1, 0</math>, eine [[natürliche Zahl]] oder allgemeiner eine unendliche [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein, im letzten Fall nennt man die Linearmenge oft nur ''unendlichdimensional''.
; Beispiele:
# Die leere Menge ist nach der genannten Definition selbst eine Linearmenge: Sie enthält die Punkte aller erforderlichen Verbindungsgeraden, nämlich keine. Ihre Dimension ist <math>d=\# \empty-1=-1</math>.
# Ebenso ist jede einpunktige Menge eine Linearmenge, also ist ihre Dimension jeweils <math>0</math>.
# Jede Punktreihe ist eine eindimensionale Linearmenge, denn sie wird von zwei beliebigen, verschiedenen Punkten der Trägergeraden erzeugt.
Diese drei Typen von Linearmengen erfüllen (zusammen mit der höchstens einen Geraden, die durch zwei verschiedene Punkte der Linearmengen geht und der auf diese Teilstruktur eingeschränkten Inzidenz) die ersten drei Inzidenzaxiome (mehr oder weniger trivial) aber nicht das 4. sind also ausgeartete projektive Räume.
Eine Linearmenge, die drei Punkte enthält, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, erfüllt auch das vierte Inzidenzaxiom und ist damit selbst ein projektiver Raum. Die Dimension dieser Linearmenge ist dann mindestens 2.<ref name="Beutelspacher" />
Man beachte dazu, dass der Begriff ''Ebene'' in der obigen Beschreibung axiomatisch zu verstehen ist und nicht direkt mit dem Dimensionsbegriff für Linearmengen zusammenhängt. ''Ausgeartete projektive Ebenen'', die Linearmengen in einem projektiven Raum sind, gehören stets einem der drei oben genannten Typen an und haben deshalb als Linearmengen eine projektive Dimension <math>d\in\{-1,0,1\}</math>.<ref name="Beutelspacher" /> Der Gesamtraum ist natürlich ebenfalls eine Linearmenge und hat dementsprechend eine wohlbestimmte Dimension.

=== Zusatzaxiome ===
==== Schließungseigenschaften ====
Als zusätzliche Axiome sind zwei klassische [[Schließungssatz|Schließungssätze]], der [[Satz von Desargues]] und der [[Satz von Pappos]] besonders wichtig: Diese Axiome sind jeweils äquivalent dazu, dass sich die Geometrie über einer durch die Axiome bestimmten Klasse von [[Ternärkörper]]n koordinatisieren lässt:
* Genau dann, wenn in jeder zweidimensionalen Linearmenge des Raumes der Satz von Desargues gilt, ist der Raum durch einen [[Schiefkörper]] koordinatisierbar. Diese Bedingungen sind für mindestens dreidimensionale Räume stets erfüllt. Diese letzte Aussage ist ein Satz von [[David Hilbert]].<ref name="Grula">{{Literatur|Autor=David Hilbert|Titel=Grundlagen der Geometrie|Verlag=Teubner|Ort=Stuttgart|ISBN=3-519-00237-X|Datum=1999|Auflage=14|JahrEA=1899|Online={{archive.org|grunddergeovon00hilbrich}}}}</ref><ref name="Beutelspacher" />
* Genau dann, wenn in jeder zweidimensionalen Linearmenge des Raumes der Satz von Pappos gilt, ist der Raum durch einen kommutativen [[Körper (Algebra)|Körper]] koordinatisierbar.<ref name="Grula" /> Diese Bedingungen sind auch für drei- und höherdimensionale ''nicht immer'' erfüllt.<ref>Historisch ist dazu noch anzumerken, dass, anders als die Implikation: „Aus dem Satz von Pappos folgt der Satz von Desargues“, der [[Satz von Hessenberg (Geometrie)|Satz von Hessenberg]] aus der Tatsache, dass jeder Schiefkörper ein Körper ist, nicht trivial folgt: Nur der desarguessche Satz eignet sich (nach heutigem Kenntnisstand) für die Einführung von Koordinaten. Deshalb muss die Gültigkeit des Satzes von Hessenberg in beliebigen projektiven Räumen ''koordinatenfrei'' bewiesen werden.</ref>

Die Schließungssätze wurden (implizit) als ''Sätze'', die in der reellen zwei- oder dreidimensionalen Geometrie gelten, von den Mathematikern, nach denen sie benannt sind, bewiesen. Implizit deshalb, weil es zu ihrer Zeit weder eine axiomatische Beschreibung des modernen [[Körper (Algebra)|algebraischen Körperbegriffs]] noch gar des Körpers der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] gab. Ein modernes „Nicht-Schließungs-Axiom“ ist das [[Fano-Axiom]]. Es ist bei der Untersuchung von [[Quadrik]]en von großer Bedeutung. Für diese Untersuchungen muss man meist auch das Axiom von Pappos fordern. Gilt auch noch das Fano-Axiom, dann hat der Koordinatenkörper des Raumes nicht die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] <math>2</math>, das heißt, eine [[quadratische Gleichung]] hat „meistens“ keine oder zwei Lösungen und man kann zum Beispiel bei einem [[Kegelschnitt]] zwischen [[Tangente]]n und Nichttangenten sinnvoll unterscheiden.

==== Ordnungseigenschaften und Topologische Eigenschaften ====
Ein projektiver Raum ist ''angeordnet'', wenn auf jeder Geraden eine [[Trennbeziehung]] ''so'' definiert ist, dass diese Relation bei beliebigen [[Projektivität]]en erhalten bleibt. Die Trennbeziehung setzt die oben beschriebene [[Seiteneinteilung|hilbertsche affine Anordnung]] projektiv fort: Liegt ein Punkt <math>B\in g</math> ''affin zwischen'' den Punkten <math>A,C\in g</math>, dann ''trennt'' das Punktepaar <math>A,C</math> den Punkt <math>B</math> vom Fernpunkt <math>H_{\infty}\cap \bar{g}</math> der (projektiv abgeschlossenen) Geraden <math>\bar{g}</math>. Die Zwischenbeziehung auf den affinen Geraden genügt dem [[Axiom von Pasch]]. Bildet man aus der [[Ordnungstopologie]] auf einer beliebigen Geraden <math>g</math> die [[Produkttopologie]] <math>g^d</math> (<math>d\geq 2</math> ist die Dimension des affinen Raumes), dann ist dies für den Raum auf Grund des Axioms von Pasch eine „verträgliche“ Topologie: Die [[Affinität (Mathematik)|Affinitäten]] des Raumes sind bezüglich dieser Topologie [[Stetige Funktion|stetig]].

Diese Topologie lässt sich nun (zunächst auf einzelnen Geraden) fortsetzen, indem man die affinen ''Mengen von Zwischenpunkten'' („offene Intervalle“) bei beliebiger Wahl des Fernpunktes auf <math>\bar{g}</math> zur [[Basis (Topologie)|Basis]] einer Topologie auf der projektiven Geraden macht und den Raum mit der entsprechenden Produkttopologie versieht. Damit wird eine projektive ''Ebene'' zu einer [[Topologische projektive Ebene|topologischen projektiven Ebene]] und ein höherdimensionaler Raum (genauer: die Menge seiner Punkte) zu einem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]], in dem die Projektivitäten [[Homöomorphismus|Homöomorphismen]] sind.

Eine solche Anordnung der affinen und projektiven Räume ist nur dann möglich (notwendige Bedingung), wenn in einem Koordinatenternärkörper <math>(K,T,0,1)</math> gilt: Ist <math>a+a+\cdots +a=0</math> bei irgendeiner Beklammerung dieser „Summe“ mit mehr als einem Summanden (im Ternärkörper muss das [[Assoziativgesetz]] für die Addition nicht gelten, <math>(K,+,0)</math> ist eine [[Quasigruppe|Loop]]) dann ist <math>a=0</math>. Daraus folgt für jeden angeordneten Raum: Er und sein Koordinatenbereich ist unendlich. Ist der Raum zusätzlich desarguessch, erfüllt also das Desarguessche Schließungsaxiom, dann hat sein Koordinatenschiefkörper die Charakteristik 0.

Allgemeiner kann man eine Topologie auf einem topologischen Raum auch axiomatisch definieren, dies ist für den zweidimensionalen Fall im Artikel [[Topologische projektive Ebene]] dargestellt. Jeder projektive Raum lässt im Sinne der dort dargestellten Forderungen wenigstens eine Topologie, nämlich die [[diskrete Topologie]] zu. Dies ist in der Regel keine „interessante“ Topologie.

Auf projektiven Räumen über Schiefkörpern oder Körpern <math>S</math> wie dem Körper der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\Complex</math> und dem reellen [[Quaternion]]enschiefkörper, die endlichdimensionale Vektorräume über einem [[Geordneter Körper|angeordneten Unterkörper]] <math>K</math> (in den Beispielen <math>K=\R</math>) sind, kann man im affinen Ausschnitt (genauer eigentlich: in der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] der [[Projektive Perspektivität|projektiven Perspektivitäten]] mit einer festen Fixpunkthyperebene <math>H_{\infty}</math> und beliebigen ''Zentren'' auf dieser Hyperebene) eine Topologie einführen: Diese Gruppe, die [[Affine Translationsebene|''affine Translationsgruppe'']] ist ein (Links-)vektorraum über <math>S</math> und damit auch über <math>K</math>, dadurch lässt sich die Ordnungstopologie, die von der Anordnung der <math>K</math>-Geraden stammt, auch auf den affinen und projektiven Raum über <math>S</math> übertragen.

== Eigenschaften ==
Im Folgenden verstehen wir unter einem projektiven Raum eine Struktur aus Punkten und Geraden mit einer [[Inzidenzrelation]], welche die oben genannten Axiome von Veblen-Young erfüllt und in der es zwei punktfremde Geraden gibt; die projektiven Ebenen sind also ausgeschlossen. Dann gelten die folgenden Sätze:

In jedem projektiven Raum der Dimension <math> \geq 3 </math> gilt der [[Satz von Desargues]]: Sind <math> O, A, B, C, A', B', C' </math> verschiedene Punkte, so dass <math> O,A,A' </math>, <math> O,B,B' </math> und <math> O,C,C' </math> drei verschiedene Geraden bestimmen, so liegen die drei Schnittpunkte von <math> AB </math> mit <math> A'B' </math>, <math> BC </math> mit <math> B'C' </math> und <math> CA </math> mit <math> C'A' </math> auf einer Geraden. Mit Hilfe dieses Satzes lässt sich zeigen: Jeder projektive Raum lässt sich durch homogene Koordinaten in einem [[Modul (Mathematik)|Linksvektorraum]] <math> V </math> über einem [[Schiefkörper]] <math> K </math> beschreiben. Der Linksvektorraum <math> V </math> ist mindestens vierdimensional, seine Dimension kann aber auch eine beliebige unendliche [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein. Der Schiefkörper <math> K </math> ist kommutativ, also ein [[Körper (Algebra)|Körper]] genau dann, wenn in der Geometrie dieses Raumes der [[Satz von Pappos|Satz von Pappos(-Pascal)]] gilt. Das ist in endlichen desarguesschen Ebenen immer der Fall (weil endliche Schiefkörper nach dem [[Satz von Wedderburn]] notwendig kommutativ sind).

Von Interesse sind in der synthetischen Geometrie vor allem die „nichtdesarguesschen“ Ebenen, in denen der Satz von Desargues nicht gilt, insbesondere die endlichen unter ihnen. Die Ordnung einer endlichen projektiven Ebene ist die um 1 verminderte Anzahl der Punkte auf einer, also jeder, Geraden. Es ist eine unbewiesene Vermutung, dass jede endliche projektive Ebene von Primzahlpotenzordnung ist (wie die desarguesschen Ebenen). Ein [[Satz von Bruck-Ryser-Chowla|Satz von Bruck und Ryser]] schließt viele Ordnungen aus. Er sagt: Wenn <math> n = 4k+1 </math> oder <math> n = 4k+2 </math> Ordnung einer projektiven Ebene ist, dann ist <math> n </math> Summe zweier Quadratzahlen. Die folgenden Zahlen sind daher nicht Ordnungen projektiver Ebenen: <math>6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46,\ldots</math>

Mit großem Computereinsatz wurde gezeigt, dass keine projektive Ebene der Ordnung <math>10</math> existiert. Die kleinsten Ordnungen, für welche die Frage der Existenz oder Nichtexistenz ungelöst ist, sind <math>12, 15, 18, 20.</math> Die kleinste Ordnung einer nichtdesarguesschen projektiven Ebene ist <math>9</math>, vergleiche dazu den Abschnitt [[Ternärkörper#Beispiele der Ordnung 9|Beispiele der Ordnung 9]] im Artikel [[Ternärkörper]].

== Literatur ==
<references />
* D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: ''Anschauliche Geometrie.'' Mit einem Anhang: ''Einfachste Grundbegriffe der Topologie'' von Paul Alexandroff. Reprint der 1932 Ausgabe. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt, 1973
* W. Massey: ''Algebraic topology: An introduction.'' Harcourt, Brace & World, Inc., New York 1967.
* R. Hartshorne: ''Algebraic geometry.'' Graduate Texts in Mathematics, No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. ISBN 0-387-90244-9

== Weblinks ==
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Projective_space Projective Space] in der [[Encyclopaedia of Mathematics]]
* [https://www.math.kth.se/math/GRU/2014.2015/SF2724/ProjectiveSpaces.pdf Algebra and Geometry through Projective Spaces]

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Projektiver Raum - Versionsgeschichte

imported>Christian1985: /* Definition */