2001:638:A07:132:FFFF:198B:47F7:546 am 28. April 2023 um 14:05 Uhr

2023-04-28T14:05:48Z

Neue Seite

Die '''projektive Hierarchie''' wird im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] untersucht; sie ist eine nach einem bestimmten Bildungsgesetz stufenweise aufgebaute Hierarchie von Mengen, deren unterste Stufe mit den [[Borelmenge]]n beginnt. Das ursprüngliche Interesse lag zwar in der Untersuchung der Teilmengen des [[Kontinuum (Mathematik)|Kontinuums]], das heißt der Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], es hat sich aber gezeigt, dass man die Theorie ebenso leicht für [[Polnischer Raum|polnische Räume]] entwickeln kann, insbesondere lässt sich dann der [[Baire-Raum (speziell)|Baire-Raum]] im unten vorgestellten Bildungsgesetz verwenden. Die projektive Hierarchie wurde 1925 von [[Nikolai Nikolajewitsch Lusin|Lusin]] und [[Wacław Sierpiński|Sierpiński]] eingeführt.<ref>N. Lusin: ''Sur un problème de M. Emile Borel et les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue: les ensembles analytiques'', Comptes Rendus Acad. Sci. Paris (1925), Band 180, Seiten 1318–1320</ref><ref>W. Sierpinski ''Sur une classe d’ensembles'', Fundamenta Methematicae (1925), Band 7, Seiten 237–243</ref>

== Definition ==
Die nun folgende [[rekursive Definition]] lehnt sich strukturell an die [[Borel-Hierarchie]] an, zur Unterscheidung wird hier als oberer Index eine Eins verwendet. <math>X</math> stehe für einen polnischen Raum, <math>\mathcal{N}=\omega^ {\omega}</math> sei der Baire-Raum, das heißt das <math>\omega</math>-fache [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] von <math>\omega</math>, versehen mit der [[Produkttopologie]], wobei <math>\omega</math> die in der Mengenlehre übliche Bezeichnung für die Menge der natürlichen Zahlen ist.

*<math>\Sigma^1_1:=\mathcal{A}</math>, die Klasse aller [[Analytische Menge|analytischen Mengen]].
*<math>\Pi^1_n:=\left\{S \subseteq X | X \setminus S \in \Sigma^1_n \right\}</math> für <math>n\in \N</math>, das heißt, die <math>\Pi^1_n</math>-Mengen sind die Komplemente der <math>\Sigma^1_n</math>-Mengen.
*<math>\Sigma^1_{n+1}</math> sei die Klasse aller Mengen der Form <math>p_1(A)</math>, wobei <math>p_1 \colon X\times \mathcal{N}\rightarrow X</math> die Projektion auf die erste Komponente sei und <math>A</math> eine <math>\Pi^1_n</math>-Menge.
*<math>\Delta^1_n:=\Sigma^1_n \cap \Pi^1_n</math> für <math>n\in \N</math>.<ref>Y.N. Moschovakis: ''Descriptive Set Theory'', North Holland 1987, ISBN 0-444-70199-0, Kapitel 1E: "The projective sets"</ref><ref>[[Thomas Jech]]: ''Set Theory.'' 3. millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, (11.12): "The Hierarchy of Projective Sets"</ref>

Eine Menge, die in einem der <math>\Delta^1_n</math> oder äquivalent der <math>\Sigma^1_n</math> oder <math>\Pi^1_n</math> liegt, heißt '''projektive Menge'''.

== Bemerkungen ==
* Obige Definition ist rekursiv. Man beginnt mit <math>\Sigma^1_1</math> als Klasse der analytischen Mengen, erklärt damit <math>\Pi^1_1</math> als Klasse der Komplemente und daraus mittels der angegebenen Projektionstechnik <math>\Sigma^1_2</math>. Damit ist dann wieder <math>\Pi^1_2</math> als Klasse der Komplemente erklärt, woraus sich dann wieder mittels obiger Projektionstechnik <math>\Sigma^1_3</math> ergibt, und so weiter. Das Projektionsverfahren zur Definition von <math>\Sigma^1_{n+1}</math> ist Namensgeber für die projektive Hierarchie. <math>\Delta^1_n</math> ist erklärt, sobald <math>\Sigma^1_n</math> und <math>\Pi^1_n</math> erklärt sind.

* Die Verwendung des Baire-Raums lässt sich prinzipiell vermeiden, denn dieser ist [[Homöomorphismus|homöomorph]] zum Raum der [[Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]], die man mit einer [[Vollständiger Raum|vollständigen]] [[Metrischer Raum|Metrik]] versehen kann. Der Beweis zur vollständigen Metrisierbarkeit der irrationalen Zahlen ist im Wesentlichen der Nachweis, dass <math>G_\delta</math>-Mengen in polnischen Räumen wieder polnische Räume sind. Die zu konstruierende Metrik ist nicht die [[Euklidischer Abstand|euklidische Metrik]]; daher ist die Verwendung des Baire-Raums natürlicher.

== Eigenschaften ==
Die Mengen in <math>\Pi^1_1</math> sind definitionsgemäß die Komplemente von analytischen Mengen, sie werden daher auch koanalytisch genannt. Die Mengen aus <math>\Delta^1_1</math> sind analytische Mengen, deren Komplemente ebenfalls analytisch sind. Nach einem Satz von Suslin sind dies genau die Borelmengen.

Die oben angegebenen Klassen erfüllen folgende Inklusionen

[[Bild:ProjectiveHierarchyInclusions.png|rahmenlos|500px|center]]

Auf einem [[überabzählbar]]en polnischen Raum sind alle angegebenen Inklusionen echt.<ref>Y.N. Moschovakis: ''Descriptive Set Theory'', North Holland 1987, ISBN 0-444-70199-0, Theorem 1E.1 und 1E.3</ref> Für einen höchstens abzählbaren polnischen Raum dagegen sind alle Mengen gleich der [[Potenzmenge]] des Raumes.

Alle Klassen <math>\Sigma^1_n, \Pi^1_n</math> und <math>\Delta^1_n</math> sind abgeschlossen bezüglich abzählbarer Durchschnitte und abzählbarer Vereinigungen, insbesondere ist <math>\Delta^1_n</math> eine [[σ-Algebra]].<ref>Y.N. Moschovakis: ''Descriptive Set Theory'', North Holland 1987, ISBN 0-444-70199-0, Corollary 1F.2</ref> Die projektiven Mengen als Ganzes hingegen bilden für überabzählbare polnische Räume keine <math>\sigma</math>-Algebra. Die projektive Hierarchie lässt sich jedoch analog zur Borel-Hierarchie zu einer (seltener als die projektive Hierarchie betrachteten) Hierarchie von <math>\Delta^1_\alpha, \Sigma^1_\alpha, \Pi^1_\alpha</math> für beliebige abzählbare [[Ordinalzahl]]en <math>\alpha</math> fortsetzen. Die Vereinigung all dieser Mengen bildet die <math>\sigma</math>-Algebra der '''<math>\sigma</math>-projektiven Mengen'''.<ref>{{Literatur|Autor=[[Alexander S. Kechris]]|Titel=Classical Descriptive Set Theory|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|Jahr=1994|ISBN=0-387-94374-9|Ort=Berlin|Seiten=341}}</ref>

Ist <math>f\colon X\rightarrow Y</math> eine [[Messbare Funktion|Borel-Funktion]] zwischen polnischen Räumen und gehört <math>A\subset Y</math> zu einer der Klassen <math>\Sigma^1_n, \Pi^1_n</math> oder <math>\Delta^1_n</math>, so auch <math>f^{-1}(A)</math>.<ref>Y.N. Moschovakis: ''Descriptive Set Theory'', North Holland 1987, ISBN 0-444-70199-0, Theorem 1G.1</ref>

Jede <math>\Sigma^1_1</math>-Menge in <math>\R</math> ist Lebesgue-messbar und jede <math>\Sigma^1_1</math>-Menge hat die [[Baire-Eigenschaft]]. Da sich diese Eigenschaften auf Komplemente übertragen, gilt das auch für <math>\Pi^1_1</math>-Mengen. Ferner hat jede [[Überabzählbarkeit|überabzählbare]] <math>\Sigma^1_1</math>-Menge eine perfekte Teilmenge und daher die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] des Kontinuums. Für höhere Stufen der projektiven Hierarchie sind diese Eigenschaften in der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] mit Auswahlaxiom nicht mehr beweisbar. Gödel hat gezeigt, dass es unter der Annahme des [[Konstruierbarkeitsaxiom]]s eine Menge in <math>\Delta^1_2</math> gibt, die nicht Lebesgue-messbar ist, und eine überabzählbare <math>\Sigma^1_2</math>-Menge, die keine perfekte Teilmenge enthält.<ref>[[Thomas Jech]]: ''Set Theory.'' 3. millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Corollary 25.28, Corollary 25.28</ref> Weitergehende Aussagen erfordern zum Teil stärkere Axiome, die über die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre hinausgehen, wie in den Kapiteln 25 (''Descriptive Set Theory'') und 32 (''More Descriptive Set Theory'') des unten angegebenen Lehrbuchs von Thomas Jech ausgeführt wird.<ref>[[Thomas Jech]]: ''Set Theory.'' 3. millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Kapitel 25, 32</ref> Diese Eigenschaften hängen eng mit der [[Determiniertheit (Mengenlehre)|Determiniertheit]] bestimmter Spiele zusammen. Tatsächlich lassen sie sich für Borelmengen aus der [[Borel-Determiniertheit]] folgern, welche in ZFC gilt. Nimmt man zusätzlich zu ZF das [[Determiniertheitsaxiom]] an, dessen relative Konsistenz zu ZF jedoch nicht in ZFC beweisbar ist und das im Widerspruch zum Auswahlaxiom steht, so sind sogar alle Teilmengen der reellen Zahlen Lebesgue-messbar, enthalten eine nicht-leere perfekte Teilmenge und besitzen die Baire-Eigenschaft. Die Forderung dieser Eigenschaften ist für die Klasse der projektiven Mengen dagegen zusammen mit dem Auswahlaxiom möglich, indem man die Determiniertheit eines jeden Spieles, dessen Gewinnmenge eine projektive Teilmenge des Baire-Raums ist, fordert ([[Axiom der projektiven Determiniertheit]]). Dieses wiederum folgt aus bestimmten Axiomen über die Existenz [[große Kardinalzahl|großer Kardinalzahlen]]. Bereits die Determiniertheit eines jeden Spieles mit analytischer Gewinnmenge lässt sich jedoch in ZFC nicht beweisen.<ref>Kechris, S. 205 ff.</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]]

Projektive Hierarchie - Versionsgeschichte

2001:638:A07:132:FFFF:198B:47F7:546 am 28. April 2023 um 14:05 Uhr