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2022-09-02T19:23:34Z

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Eine '''projektive Ebene''' ist in der [[Geometrie]] eine Punkte und Geraden umfassende [[Inzidenzstruktur]]. Eine projektive Ebene über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> besteht aus den 1-dimensionalen [[Untervektorraum|Unterräumen]] des 3-dimensionalen [[Vektorraum]]es <math>K^3</math> als Punkten und den 2-dimensionalen Unterräumen von <math>K^3</math> als Geraden. Abstrakt kann man projektive Ebenen im Wesentlichen durch zwei Forderungen (Axiome) charakterisieren, nämlich dass je zwei Geraden einen (eindeutigen) Schnittpunkt und je zwei Punkte eine (eindeutige) [[Verbindungsgerade]] besitzen. Da diese Forderungen sehr schwach sind, gibt es viele Beispiele, die diese erfüllen. Erst durch weitere Einschränkungen, z. B. durch den [[Satz von Desargues]], erhält man algebraisch gut beschreibbare Beispiele, deren Eigenschaften im Rahmen der [[projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] untersucht werden. Neben projektiven Ebenen gibt es, wie in der [[Affine Geometrie|affinen Geometrie]], auch [[Projektiver Raum|projektive Räume]].

== Motivation ==
Lehrsätze zur Geometrie der aus der Schule bekannten (affinen) Ebene, in denen Geraden vorkommen, müssen in ihren Formulierungen fast immer zwischen parallelen und sich schneidenden Geraden unterscheiden. Die Konstruktion der projektiven Ebene soll die affine Ebene so erweitern, dass diese Unterscheidung nicht mehr notwendig wird, weil alle Geraden sich schneiden. Für diesen Zweck nimmt man Punkte im Unendlichen als Schnittpunkte paralleler Geraden zur Ebene hinzu, und zwar einen Punkt im Unendlichen für jede Menge paralleler Geraden (jede Richtung).

Man kann dies wie folgt mathematisch realisieren. Man bette die affine Ebene <math>\R^2</math> mittels
:<math>j\colon\R^2\to\R^3, (x,y)\mapsto(x,y,1)</math>
in den 3-dimensionalen euklidischen Raum <math>\R^3</math> ein. Dann gibt es durch jeden Punkt der Bildebene eine eindeutige [[Ursprungsgerade]] (Gerade durch den Nullpunkt). Allerdings schneiden nicht alle Ursprungsgeraden die Bildebene, nämlich die in der Ebene <math>\left\{(x,y,0)\in\R^3\right\}</math> liegenden Geraden tun dies nicht.

Nun sollten die Punkte im Unendlichen gerade den Mengen paralleler Geraden im <math>\R^2</math> entsprechen und diese wiederum entsprechen [[bijektiv|eineindeutig]] den Ursprungsgeraden im <math>\R^2</math> (jede Gerade ist zu einer eindeutigen Ursprungsgerade parallel) oder, was dasselbe ist, in <math>\left\{(x,y,0)\in\R^3\right\}</math>. Wir stellen also fest, dass die Punkte im Unendlichen eindeutig den in der Ebene <math>\left\{(x,y,0)\in\R^3\right\}</math> liegenden Ursprungsgeraden und die Punkte im <math>\R^2</math> bzw., was dasselbe ist, in der Ebene <math>\left\{(x,y,1)\in\R^3\right\}</math> eindeutig den ''nicht'' in der Ebene <math>\left\{(x,y,0)\in\R^3\right\}</math> liegenden Ursprungsgeraden entsprechen.

Daraus ergibt sich die Definition der (reellen) projektiven Ebene als Menge der Ursprungsgeraden im <math>\R^3</math>. Die so definierte projektive Ebene enthält sowohl die affine Ebene als auch die Punkte im Unendlichen (Äquivalenzklassen paralleler Geraden) der Ebene. (Eine analoge Definition kann man über beliebigen Körpern <math>K</math> statt <math>\R</math> durchführen.)

Formal kann man dies definieren als <math>(\R^3\setminus\left\{(0,0,0)\right\})/\sim</math>, wobei zwei Vektoren <math>v_1,v_2\in \R^3\setminus\left\{(0,0,0)\right\}</math> als äquivalent angesehen werden, wenn sie linear abhängig sind, also <math>v_2=kv_1</math> für eine reelle Zahl <math>k</math> gilt. Man notiert den einem Punkt <math>(x,y,z)\in\R^3</math> entsprechenden Punkt der projektiven Ebene mit <math>\left[x : y : z\right]</math>. Es gilt dann also
:<math>\left[kx : ky : kz\right]=\left[x : y : z\right]</math>
für alle <math>k\in\R\setminus\left\{0\right\}</math>. Einen Punkt <math>\left[0 : 0 : 0\right]</math> gibt es nicht, weil <math>(0,0,0)</math> keine Ursprungsgerade definiert.

Die Punkte der projektiven Ebene entsprechen also den Ursprungsgeraden im <math>\R^3</math>, die Geraden der projektiven Ebene entsprechen den Ursprungsebenen im <math>\R^3</math>. Man kann zeigen, dass je zwei (unterschiedliche) Geraden der projektiven Ebene sich in genau einem Punkt schneiden (und dass es zu je zwei unterschiedlichen Punkten der projektiven Ebene genau eine durch diese Punkte verlaufende Gerade gibt). Die in der affinen Ebene bestehende Sonderrolle [[Parallelität (Geometrie)|paralleler Geraden]] ist also in der projektiven Ebene aufgehoben, alle Punkte und Geraden sind gleichberechtigt.

== Projektive Ebene über einem Körper ==

Es sei <math>K</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]]. Die projektive Ebene <math>KP^2</math> ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im <math>K^{3}</math>. Formal definiert man dies wie folgt.

Auf <math>K^{3}\setminus\{0\}</math> sei die [[Äquivalenzrelation]]
:<math>x \sim y \Leftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus\{0\}\colon x = \lambda y</math>
definiert. In Worten heißt dies, dass <math>x</math> genau dann äquivalent zu <math>y</math> ist, wenn es ein <math>\lambda \in K^*:=K\setminus\{0\}</math> gibt, so dass <math>x = \lambda y</math> gilt. Alle Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung – der Ursprung ist nicht enthalten – werden also miteinander identifiziert und nicht mehr unterschieden. Der [[Faktorraum|Quotientenraum]] <math>\left(K^{3}\setminus\{0\}\right)/\sim</math> wird projektive Ebene genannt und mit <math>K P^{2}</math> notiert.

Geraden im <math>K^3</math> entsprechen also Punkten der projektiven Ebene, Ebenen im <math>K^3</math> entsprechen Geraden der projektiven Ebene. Punkte und Geraden der projektiven Ebene bilden eine [[Inzidenzstruktur]]. Zu je zwei Punkten <math>x,y\in KP^2</math> gibt es eine eindeutige Gerade <math>\overline{xy}</math>, zu je zwei Geraden gibt es einen eindeutigen Schnittpunkt.

Falls der Körper <math>K</math> aus dem Kontext klar ist, wird die projektive Ebene häufig auch nur mit <math>P^2</math> oder <math>P</math> bezeichnet.
=== Homogene Koordinaten ===
Jeder Punkt der projektiven Ebene kann in [[Homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] als
:<math>\left[x:y:z\right]</math>
mit <math>x,y,z\in K, (x,y,z)\not=(0,0,0)</math> dargestellt werden, wobei <math>\left[x:y:z\right]=\left[\lambda x:\lambda y:\lambda z\right]</math> für alle <math>\lambda\in K\setminus \{0\}</math> gilt und diese Darstellung ansonsten aber eindeutig ist.

=== Gerade im Unendlichen ===
Die affine Ebene <math>K^2</math> sitzt auf natürliche Weise in der projektiven Ebene als Menge aller 1-dimensionalen Unterräume, die ''nicht'' in der x-y-Ebene enthalten sind, also als
:<math>K^2\cong \left\{\left[x:y:1\right]\in KP^2\right\}</math>.
Ihr Komplement bildet die sogenannte ''[[projektive Gerade]] im Unendlichen''
:<math>KP^1\cong \left\{\left[x:y:0\right]\in KP^2\right\}</math>.
Analog kann man auch zu jedem anderen 2-dimensionalen Unterraum <math>E\subset K^3</math> eine Zerlegung <math>KP^2=E\cup P(E)</math> konstruieren. Die entsprechende Teilmenge <math>E\subset KP^2</math> heißt ''affine Karte''.

=== Automorphismen ===
Die Gruppe der projektiven Transformationen ist die [[projektive lineare Gruppe]] <math>\operatorname{PGL}(3,K)</math>. Zu je zwei geordneten 4-Tupeln von Punkten in <math>KP^2</math> gibt es eine eindeutige projektive Transformation, welche das eine 4-Tupel in das andere überführt.

Im Fall <math>K=\R</math> hat man einen Isomorphismus <math>\operatorname{PGL}(3,\R)=\operatorname{SL}(3,\R)</math>.

=== Duale Ebene ===
Für einen fest gewählten Körper <math>K</math> bezeichnen wir mit <math>P^*</math> den Raum der Geraden in der projektiven Ebene <math>P</math> (also der 2-dimensionalen Unterräume in <math>K^3</math>). Die Inzidenzrelation auf <math>P^*</math> ordnet zwei Geraden ihren eindeutigen Schnittpunkt zu.

Eine ''Dualitätsabbildung'' ist eine projektiv-lineare Abbildung von <math>P</math> auf <math>P^*</math>, also ein [[Homöomorphismus]], der [[kollineare Punkte]] auf sich schneidende Geraden abbildet. Jede Dualität <math>\Delta\colon P\to P^*</math> induziert eine duale Abbildung <math>\Delta^*\colon P^*\to P</math> vermittels <math>\Delta^*(\overline{pq})=\Delta(p)\cap\Delta(q)</math>. Eine Dualitätsabbildung vertauscht insbesondere die Begriffe „Punkt“ und „Gerade“ in <math>P</math>: Sie bildet Punkte von <math>P</math> auf Punkte in <math>P^*</math>, also Geraden in <math>P</math> ab und ist verträglich mit den Inzidenzrelationen.

Eine ''Polarität'' ist eine von einem [[Skalarprodukt]] auf <math>K^3</math> induzierte Dualitätsabbildung: Jedem 1-dimensionalen Unterraum <math>l\subset K^3</math> ordnet man den bzgl. des Skalarproduktes orthogonalen 2-dimensionalen Unterraum <math>e\subset K^3</math> zu, dies definiert eine Abbildung <math>\Delta\colon P\to P^*</math>.

== Projektive Ebenen in Topologie, Differentialgeometrie und endlicher Geometrie ==
=== Reelle projektive Ebene ===

==== Die reelle projektive Ebene als Quotientenmenge einer Sphäre ====

In mancher Hinsicht, insbesondere was die [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] angeht, kann man eine reelle projektive Ebene auffassen als das, was man erhält, wenn man auf einer Sphäre (Oberfläche einer Kugel im 3-dimensionalen Raum) jeweils Antipoden, also Punkte der Sphäre, die an beiden Enden eines Durchmessers liegen, „gleichsetzt“. Genauer ausgedrückt heißt das: Man nimmt als Punkte der projektiven Ebene jeweils Antipodenpaare und als Geraden derselben die Großkreise, also die Kreise, die Schnitt der Sphäre mit einer durch den Sphärenmittelpunkt gehenden gewöhnlichen Ebene sind. Damit wird die reelle projektive Ebene auch topologisch zur [[Quotiententopologie]] der Kugel.

Das ''projektive Tangentialbündel'' <math>P(T\R P^2)</math> der projektiven Ebene <math>P=\R P^2</math> ist die [[Fahnenmannigfaltigkeit]]
:<math>\operatorname{Flag}(R^3)=\left\{(l,e)\in P\times P^*\colon l\in e\right\}</math>.
Mittels der durch ein Skalarprodukt definierten Polarität kann man Ebenen in <math>V=\R^3</math> als 1-Formen <math>e\in P(V^*)</math> auffassen und das projektive Tangentialbündel dann auch definieren als
:<math>\operatorname{Flag}(\R^3)=\left\{(l,e)\in P(V)\times P(V^*)\colon e(l)=0\right\}</math>.

==== Die reelle projektive Ebene als nicht-orientierbare Fläche ====
[[Bild:ProjectivePlaneAsSquare.svg|mini|Durch die angegebene Identifizierung der Seiten erhält man die reelle projektive Ebene.]]
Die [[Topologische Sphäre|Sphäre]] selbst ist eine [[Orientierte Fläche|orientierbare]] [[Fläche (Mathematik)|Fläche]], die durch diesen Prozess der Quotientenbildung entstehende projektive Ebene ist es nicht mehr, da die Antipodenabbildung als Spiegelung um den Mittelpunkt keine Drehung und damit keine orientierungserhaltende Abbildung ist.

Die reelle projektive Ebene (in diesem Zusammenhang meist nur als ''projektive Ebene'' bezeichnet) ist das einfachste Beispiel einer nicht-orientierbaren Fläche, sie ist die nicht-orientierbare Fläche vom Geschlecht 1. Jede andere nicht-orientierbare Fläche erhält man als [[zusammenhängende Summe]] von einer (in diesem Zusammenhang auch als [[Kreuzhaube]] bezeichneten) projektiven Ebene oder zwei projektiven Ebenen mit einer Anzahl von Tori, oder auch äquivalent als zusammenhängende Summe projektiver Ebenen – das folgt aus der [[Klassifikation der Flächen]] und der Identität <math>T^2\sharp \R P^2=\R P^2\sharp\R P^2\sharp\R P^2</math>.

Die Zerlegung <math>\R P^2=\R^2\cup P(\R^2)=\R^2\cup\R P^1=\R^2\cup\R^1\cup \R^0</math> liefert eine Zerlegung von <math>\R P^2</math> als [[CW-Komplex]] mit jeweils einer Zelle in Dimensionen 2,1,0. Mit dieser Zerlegung lassen sich die [[Homologiegruppe]]n berechnen, man erhält:
:<math>H_0(\R P^2)=\Z, H_1(\R P^2)=\Z/2\Z, H_2(\R P^2)=0</math>.

==== Immersionen der reellen projektiven Ebene in den 3-dimensionalen Raum ====
[[Datei:BoysSurfaceTopView.PNG|mini|Bryant-Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche]]
Die reelle projektive Ebene kann als Fläche im dreidimensionalen Raum bildlich dargestellt werden. Beispiele hierfür sind die [[Boysche Fläche]] und die [[Steinersche Flächen#Beispiele|römische Fläche]]. Genau wie bei der ebenfalls nicht-orientierbaren [[Kleinsche Flasche|Kleinschen Flasche]] ist eine [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] der projektiven Ebene in den dreidimensionalen Raum ohne Selbstdurchdringung nicht möglich.

Unter den [[Immersion (Mathematik)|Immersionen]] der projektiven Ebene in den <math>\R^3</math> realisiert die Bryant-Kusner-Parametrisierung die Immersion minimaler [[Willmore-Energie]].

=== Komplexe projektive Ebene ===
Die komplexe projektive Ebene ist von grundlegender Bedeutung in algebraischer Geometrie und algebraischer Topologie.

Durch ein [[homogenes Polynom]] <math>P\in \Complex\left[x,y,z\right]</math> definierte Teilmengen
:<math>V(P)=\left\{\left[x:y:z\right]\in \Complex P^2\colon P(x,y,z)=0\right\}</math>
heißen [[Algebraische Kurve]]n, sie sind [[Riemannsche Fläche]]n und die einfachsten Beispiele [[Algebraische Varietät|Algebraischer Varietäten]].

Die Zerlegung <math>\Complex P^2=\Complex^2\cup P(\Complex^2)=\Complex^2\cup\Complex P^1=\Complex^2\cup\Complex^1\cup \Complex^0</math> liefert eine Zerlegung von <math>\Complex P^2</math> als [[CW-Komplex]] mit jeweils einer Zelle in Dimensionen 4,2,0. Mit dieser Zerlegung lassen sich die [[Homologiegruppe]]n berechnen, man erhält:
:<math>H_0(\Complex P^2)=\Z, H_1(\Complex P^2)=0, H_2(\Complex P^2)=\Z, H_3(\Complex P^2)=0, H_4(\Complex P^2)=\Z</math>.
Die zweite Homologiegruppe <math>H_2(\Complex P^2)</math> ist [[gruppenisomorphismus|isomorph]] zu den ganzen Zahlen <math>\Z</math> und die von einer glatten algebraischen Kurve definierte Homologieklasse entspricht unter diesem Isomorphismus dem Grad des definierenden Polynoms. Das Geschlecht einer durch ein Polynom vom Grad <math>d</math> definierten Riemannschen Fläche ist <math>g=\frac{1}{2}(d-1)(d-2)</math>. Die mittels [[Seiberg-Witten-Theorie]] bewiesene [[Thom-Vermutung]] besagt, dass algebraische Kurven die Flächen minimalen [[Geschlecht (Fläche)|Geschlechts]] in ihren Homologieklassen sind.

Die komplexe projektive Ebene ist von Bedeutung in der [[Kobordismustheorie]] und der Theorie [[Charakteristische Klasse|charakteristischer Klassen]]. Für den orientierbaren Kobordismusring <math>\Omega_*^{SO}</math> gilt
:<math>\Omega_*^{SO}\otimes\Q=\Q\left[\Complex P^{2i}\colon i\ge 1\right]</math>,
insbesondere wird die 4-dimensionale orientierte Kobordismusgruppe von <math>\Complex P^2</math> erzeugt.

Die [[Hopf-Faserung]] realisiert die komplexe projektive Ebene als [[Basis (Faserbündel)|Basis]] eines [[Faserbündel]]s
:<math>S^1\to S^5\to \Complex P^2</math>.

Die komplexe projektive Ebene ist ein [[homogener Raum]] <math>U(3)/(U(1)\times U(2))</math> und sogar ein [[Hermitescher symmetrischer Raum|Hermitescher]] [[Symmetrischer Raum]] mit der [[Fubini-Study-Metrik]]. Die [[Kähler-Mannigfaltigkeit|Kähler-Form]] dieser Metrik ist <math>\omega = i\partial\overline{\partial}\log |\mathbf{Z}|^2</math>. Die [[Schnittkrümmung]] erfüllt die Ungleichung <math>1\le K\le 4</math>, dabei wird die maximale Schnittkrümmung von komplexen Unterräumen <math>\Complex P^1\subset \Complex P^2</math> und die minimale Schnittkrümmung von total-reellen Unterräumen <math>\R P^2\subset \Complex P^2</math> realisiert.

=== Projektive Ebene über einem endlichen Körper ===
Es sei <math>F_q</math> ein endlicher Körper mit <math>q</math> Elementen, dann hat die projektive Ebene <math>q^2+q+1</math> Punkte und ebenso viele Geraden. Jede Gerade hat <math>q+1</math> Punkte und jeder Punkt liegt auf <math>q+1</math> Geraden. Die projektive Ebene über <math>F_q</math> ist also ein 2-<math>(q^2+q+1,q+1,1)</math>-[[Blockplan]].

Ein Beispiel ist die [[Fano-Ebene]], die man für <math>q=2</math> erhält.

== Projektive Ebenen als Inzidenzstruktur ==
=== Definition ===
Eine [[Inzidenzstruktur]] heißt projektive Ebene, falls gilt:
* Zu je zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die mit beiden inzidiert.
* Zu je zwei verschiedenen Geraden gibt es genau einen Punkt, der mit beiden inzidiert.
* Es gibt ein [[Fano-Axiom#Vollständiges Viereck|vollständiges Viereck]], d. h. vier Punkte, von denen keine drei mit derselben Geraden inzidieren.

=== Beispiele ===

[[Datei:Fano plane.svg|mini|rechts|Das Minimalmodell einer projektiven Ebene: die [[Fano-Ebene]]]]
* Wenn man in den dreidimensionalen [[Vektorraum|Vektorräumen]] über den [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] oder den [[komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] die zweidimensionalen Unterräume als Geraden und die eindimensionalen Unterräume als Punkte auffasst, erhält man [[Modelltheorie|Modelle]] einer projektiven Ebene. Die Inzidenzrelation ist die gewöhnliche [[Teilmenge|Inklusion]] <math>\subseteq</math>. Diese Ebenen zusammen mit den ähnlich gewonnenen Ebenen über den [[Quaternionen]] oder den [[Oktonionen]] werden auch als ''klassische Ebenen'' bezeichnet. Statt der reellen oder komplexen Zahlen kann man einen beliebigen Körper <math>
K</math> nehmen, sogar einen [[Schiefkörper]] wie die Quaternionen.
* Eine projektive Ebene ist genau dann als projektive Ebene über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] realisierbar, wenn in ihr der [[Satz von Pappus]] gilt.
* Eine projektive Ebene ist genau dann als projektive Ebene über einem [[Schiefkörper]] realisierbar, wenn in ihr der [[Satz von Desargues]] gilt. Solche projektiven Ebenen über Schiefkörpern werden daher als ''desarguessche projektive Ebenen'' bezeichnet.
* Die kleinstmögliche endliche projektive Ebene (Minimalmodell) besteht aus sieben Geraden und sieben Punkten (s. Abb.). In diesem Fall ist <math>K</math> der Körper, der nur aus der 0 und der 1 besteht und in dem 1+1=0 ist, also der [[Restklassenkörper]] <math>\mathbb{F}_2</math>.
* Es existieren auch ''nichtdesarguessche projektive Ebenen''. Sie können durch (endliche oder unendliche) [[Ternärkörper]] in ähnlicher Weise koordinatisiert werden, wie die desarguesschen durch Schiefkörper. → Siehe auch [[Klassifikation projektiver Ebenen]].

=== Anmerkungen ===

==== Dualitätsprinzip ====

Man kann zeigen, dass es in einer projektiven Ebene stets vier Geraden gibt, von denen keine drei durch denselben Punkt gehen.
Hieraus und aus der symmetrischen Formulierung der beiden ersten Axiome ist ersichtlich, dass man durch Vertauschen der Bezeichnungen Punkt und Gerade wieder eine projektive Ebene erhält. Die Punkte und Geraden von <math>\mathfrak{P}</math> bilden die Geraden und Punkte der zu <math>\mathfrak{P}</math> ''dualen Ebene'' <math>\mathfrak{P}^{\star}</math>.
Als Dualitätsprinzip bezeichnet man die Tatsache, dass universelle Aussagen über projektive Ebenen auch dann richtig bleiben, wenn man in ihren Formulierungen die Rollen von Punkten und Geraden vertauscht.

==== Zusammenhang mit affinen Ebenen ====

Nimmt man bei einer [[affine Ebene|affinen Ebene]] <math>\mathfrak{A}=\langle P,\mathcal{L},\textbf{F} \rangle</math> für jede Schar paralleler Geraden einen weiteren [[Fernelement|''uneigentlichen Punkt'']] zu <math>P</math> hinzu, welcher mit genau den Geraden seiner Schar inzidieren soll, und erweitert man <math>\mathcal{L}</math> um die [[Fernelement|''uneigentliche Gerade'']] <math>W</math>, die genau diese Punkte enthält, so bekommt man eine projektive Ebene, den ''projektiven Abschluss'' <math>\overline{\mathfrak{A}}</math> von <math>\mathfrak{A}</math>. Umgekehrt erhält man einen ''affinen Anteil'' <math>\mathfrak{P}^{W}</math> einer projektiven Ebene <math>\mathfrak{P}</math> durch Streichen einer beliebigen Geraden <math>W</math> mit allen ihren Punkten. Dabei ist zu beachten:
# Die durch Streichen von zwei unterschiedlichen Geraden aus einer projektiven Ebene entstehenden affinen Ebenen müssen nicht zueinander isomorph sein.
# Insbesondere liefert der Abschluss einer affinen Ebene durch eine Ferngerade und anschließendes Streichen einer anderen Geraden (auch ''Schlitzen längs einer Geraden'' genannt) in der so gebildeten projektiven Ebene stets eine neue affine Ebene, die aber nicht unbedingt zur ursprünglichen affinen Ebene isomorph ist.

Die projektiven Ebenen, bei denen alle geschlitzten Ausschnitte doch zueinander isomorphe affine Ebenen sind, sind genau die [[Moufangebene]]n.

==== Endliche projektive Ebenen ====
Wie das oben beschriebene Minimalmodell zeigt, können projektive Ebenen endlich sein, d. h. nur endlich viele Punkte und Geraden enthalten. Enthält eine Gerade <math>n+1</math> Punkte, so enthalten alle Geraden <math>n+1</math> Punkte, durch jeden Punkt gehen <math>n+1</math> Geraden und insgesamt gibt es <math>n^2+n+1</math> Geraden und <math>n^2+n+1</math> Punkte. <math>n</math> heißt in diesem Fall die ''Ordnung'' der Ebene. Eine endliche projektive Ebene der Ordnung <math>n</math> lässt sich [[Kombinatorik|kombinatorisch]] als ein ''symmetrischer'' <math>2-\left(n^2+n+1,n+1,1\right)</math>-[[Blockplan]] auffassen. Die kleinstmögliche Ordnung einer endlichen projektiven Ebene ist zwei. Für jede Ordnung, die eine Primzahlpotenz <math>p^n\, (n\geq 1)</math> ist, lässt sich eine endliche projektive Ebene als projektive Ebene über dem endlichen Körper der entsprechenden Ordnung konstruieren. Ob es eine solche Ebene gibt, deren Ordnung keine Primzahlpotenz ist, ist ein ungelöstes Problem.
Teilresultate:
Die Nichtexistenz einer projektiven Ebene der Ordnung 10 wurde mit großem Computereinsatz bewiesen.<ref>C.W.H.Lam: [http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Lam305-318.pdf The Search for a Finite Projective Plane of Order 10]</ref>
Der [[Satz von Bruck-Ryser-Chowla]] besagt: Ist die Ordnung einer projektiven Ebene <math>n = 4k+1</math> oder <math>4k+2</math>, so ist <math>n</math> Summe zweier ganzer Quadratzahlen. Danach gibt es keine projektiven Ebenen der Ordnungen 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46,.... Ob es solche der Ordnungen 12, 15, 18, 20, 24, 28,... gibt, ist unbekannt.

Eine besondere Klasse von endlichen projektiven Ebenen der Ordnung ''n'' lässt sich durch eine Menge von nur <math>n+1</math> natürlichen Zahlen vollständig beschreiben: Die Ebenen, die von einer [[Differenzenmenge]] abstammen. Bekannt ist, dass jede desarguessche endliche Ebene dieser Klasse angehört und es wird vermutet, dass jede Ebene dieser Klasse desarguessch ist.

=== Klassifikation ===

==== Schließungssätze ====

Naheliegend ist eine [[Klassifikation]] der projektiven Ebenen rein aufgrund des Begriffes der Inzidenz. Dies geschieht durch die Feststellung, ob bestimmte geometrische Sätze der Form {{"|wenn eine bestimmte Konfiguration von Inzidenzen vorliegt, so gilt auch eine weitere Inzidenz}} in einer Ebene gelten. Beispiele für solche ''Schließungssätze'' sind die aus der reellen Ebene bekannten (und dort gültigen) Sätze von [[Satz von Desargues|Desargues]] und [[Satz von Pappos|Pappos]] (manchmal auch Satz von Pappos-Pascal genannt). Ebenen, in denen die genannten Sätze gelten, werden als ''Desarguessche Ebenen'' bzw. ''Pappossche Ebenen'' bezeichnet. Eine Ebene, in der der ''kleine'' projektive Satz von Desargues allgemeingültig ist, heißt [[Moufangebene]]. Jede pappossche Ebene ist desarguesch und jede desarguesche Ebene eine Moufangebene.

==== Koordinatisierung ====
{{Hauptartikel|Ternärkörper}}
Zur Nutzbarmachung von Methoden der Algebra ist ein weiteres in der Geometrie übliches Verfahren die Einführung von [[Koordinaten]]. Diese stellen einen Zusammenhang zwischen der geometrischen Struktur der Ebene und der algebraischen eines zugrundegelegten Koordinatenbereichs her. In jeder projektiven Ebene können Koordinaten eingeführt werden: Dazu wird eine projektive Punktbasis in der Ebene ausgewählt, die eine Gerade zur Ferngeraden bestimmt (→ siehe [[Projektives Koordinatensystem]]). Dann kann auf der affinen Ebene, die durch Ausschneiden dieser Ferngeraden entsteht, als Koordinatenmenge ein [[Ternärkörper]] mit einer ''Ternärverknüpfung'', die sich rein geometrisch beschreiben lässt, konstruiert werden. Die Rechenregeln in einem [[Körper (Algebra)|Körper]] gelten im zugehörigen Koordinatenbereich, dem Ternärkörper, im Allgemeinen nicht.

Es besteht ein direkter Zusammenhang zwischen der geometrischen Struktur der Ebene und der algebraischen des Koordinatenbereichs, welcher in gewisser Weise die Ebenen charakterisiert. Die [[Moufangebene]]n sind z. B. genau die projektiven Ebenen, deren Koordinatenbereich ein [[Alternativkörper]] ist, die desarguesschen Ebenen sind genau die, die einen [[Schiefkörper]] als Koordinatenbereich haben. Ist der Koordinatenbereich ein [[Körper (Algebra)|''kommutativer'' Körper]], dann ist die Ebene pappossch. In diesem Fall verwendet man meist homogene Koordinaten (→ siehe den Hauptartikel [[Homogene Koordinaten]]). Aus dem [[Satz von Wedderburn]] ergibt sich, dass endliche desarguessche Ebenen immer pappossch sind. [[Ruth Moufang]] gelang der Beweis, dass sogar jede ''endliche Moufangebene'' pappossch ist.

==== Kollineationen ====
{{Hauptartikel|Klassifikation projektiver Ebenen}}
Die ''geradentreuen Bijektionen'' sind die strukturerhaltenden Abbildungen (oder [[Isomorphismus|Isomorphismen]]) zwischen projektiven Ebenen. Eine solche Bijektion bildet die Punkte auf die Punkte und die Geraden auf die Geraden in der Weise ab, dass die Inzidenz erhalten bleibt. Die [[Kollineation]]en, das sind die geradentreuen Bijektionen einer projektiven Ebene auf sich selbst, bilden eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die sogenannte ''Kollineationsgruppe'' der Ebene. Beispiele für Kollineationen, die in der geschlitzten projektiven Ebene, also als ''affine'' Kollineationen [[Gruppenoperation|operieren]], sind [[Parallelverschiebung|Translationen]] oder [[Drehung]]en und allgemeiner [[Affinität (Mathematik)|Affinitäten]].

Auf der projektiven Ebene selbst ist die Gruppe der [[Projektivität]]en eine Untergruppe der Kollineationsgruppe. Diese Untergruppe wird in der synthetischen Geometrie definiert als Erzeugnis der Teilmenge der [[Projektive Perspektivität|Perspektivitäten]] in der Kollineationsgruppe, Die Untersuchung der Operationen bestimmter [[Untergruppe]]n der Kollineationsgruppe auf der Ebene stellt eine weitere Möglichkeit der Klassifikation dar.

== Literatur ==
* [[David Hilbert]], [[Stefan Cohn-Vossen]]: ''Anschauliche Geometrie''. Springer, Berlin u. a. 1932.
* [[Anatole Katok]]; Vaughn Climenhaga: ''Lectures on surfaces. (Almost) everything you wanted to know about them.'' Student Mathematical Library, 46. American Mathematical Society, Providence, RI; Mathematics Advanced Study Semesters, University Park, PA, 2008. ISBN 978-0-8218-4679-7
* Jean Gallier; Dianna Xu: ''A guide to the classification theorem for compact surfaces.'' Geometry and Computing, 9. Springer, Heidelberg, 2013. ISBN 978-3-642-34363-6; ISBN 978-3-642-34364-3
* [[Günter Pickert]]: ''Projektive Ebenen''. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1975, ISBN 3-540-07280-2.
* Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: ''Projective Planes''. Springer, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-90044-6.
* [[Hanfried Lenz]]: ''Vorlesungen über projektive Geometrie''. Geest & Portig, Leipzig 1965.
* Wendelin Degen und Lothar Profke: ''Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie'', Teubner, Stuttgart, 1976, ISBN 3-519-02751-8
* [[Peter Dembowski]]: ''Finite geometries''. Springer, Berlin u. a. 1968.
* Helmut Salzmann et al.: ''Compact projective planes''. de Gruyter, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-11-011480-1.

== Weblinks ==
* [http://www.math.fu-berlin.de/altmann/LEHRE/xx19_WS_MathEntd/P2_vanStratenLabs.pdf Die reelle projektive Ebene] (Duco van Straten, Oliver Labs, Uni Mainz)
* [http://www.ams.org/notices/200710/tx071001294p.pdf Survey of Non-Desarguesian Planes] (Charles Weibel, Notices of the AMS 2007)
* [http://www.ams.org/journals/tran/1943-054-02/S0002-9947-1943-0008892-4/S0002-9947-1943-0008892-4.pdf Projective Planes] (Marshall Hall, Transactions of the AMS 1943)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4175884-5}}

[[Kategorie:Projektive Geometrie]]
[[Kategorie:Inzidenzstruktur]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]
[[Kategorie:Endliche Geometrie]]
[[Kategorie:Algebraische Varietät]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]

Projektive Ebene - Versionsgeschichte

imported>Balticbuchonia: /* Schließungssätze */ Komma