imported>Godung Gwahag am 27. August 2018 um 16:18 Uhr

2018-08-27T16:18:22Z

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'''Projektive Abbildungen''' sind Abbildungen, welche Geraden in Geraden überführen. Sie sind in der [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] das Analogon zu den [[lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]].

== Definition ==
Der [[projektiver Raum|projektive Raum]] <math>P(V)</math> zu einem <math>K</math>-[[Vektorraum]] <math>V</math> ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt in <math>V</math>, das heißt der [[ Faktorraum|Quotientenraum]] <math>V\setminus\{0\}/\sim</math> bezüglich der Äquivalenzrelation <math>x \sim y \Leftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus\{0\}\colon x = \lambda y</math>.
<br>Seien nun <math>V_1</math> und <math>V_2</math> Vektorräume und <math>P(V_1)</math> und <math>P(V_2)</math> die zugehörigen projektiven Räume, dann heißt eine Abbildung

:<math>\pi \colon P(V_1) \longrightarrow P(V_2)</math>

'''projektiv''' oder '''projektiv-linear''', wenn es eine [[Injektive Abbildung|injektive]] [[lineare Abbildung]]

:<math> \tilde{\pi} \colon V_1 \longrightarrow V_2 </math>

mit

:<math>\pi( \langle x \rangle ) = \langle \tilde{\pi}(x) \rangle</math> für alle <math>\langle x \rangle \in P(V_1)</math>

gibt.

Bei einzelnen Autoren findet man auch folgende (nicht äquivalente) Definition:
<br>Seien <math>P(V_1)</math> und <math>P(V_2)</math> projektive Räume und <math>Z</math> ein [[Projektiver Teilraum|projektiver Unterraum]] von <math>P(V_1)</math>, dann heißt eine Abbildung

:<math>\pi \colon P(V_1)\setminus Z \longrightarrow P(V_2)</math>

'''projektiv''', wenn es eine [[lineare Abbildung]]

:<math> \tilde{\pi} \colon V_1 \longrightarrow V_2 </math>

mit

:<math>\pi( \langle x \rangle ) = \langle \tilde{\pi}(x) \rangle</math> für alle <math>\langle x \rangle \in P(V_1)\setminus Z</math>

und <math>P(\operatorname{Kern}(\tilde{\pi})) = Z</math> gibt. Der Unterraum <math>Z</math> wird als der ''Ausnahmeraum'' bezeichnet.

Dieser Artikel bezieht sich im Folgenden auf die erste Definition.

=== Beispiel ===

Ein Beispiel einer projektiven Abbildung (zwischen projektiven Räumen unterschiedlicher Dimension) ist die ''Veronese-Einbettung'' <math>i:P(K^2)\rightarrow P(K^3)</math>.
: <math>i([x:y])=[x^2:xy:y^2]</math>.

== Projektive lineare Gruppe ==
{{Hauptartikel|Projektive lineare Gruppe}}
Die invertierbaren projektiven Abbildungen eines projektiven Raumes <math>P(V)</math> auf sich bilden eine Gruppe, die als ''projektive lineare Gruppe'' <math> \mathrm{PGL}(V) </math> bezeichnet wird. Die Elemente dieser Gruppe sind insbesondere geradentreu, also [[Kollineation]]en.

Die ''projektive lineare Gruppe'' <math> \mathrm{PGL}(V) </math> über einem Vektorraum <math> V </math> über einem Körper <math> K </math> ist die [[Faktorgruppe]] <math> \mathrm{GL} (V) /K^\times </math>, wobei <math> K^\times </math> die normale (sogar [[Zentrum (Algebra)|zentrale]]) Untergruppe der skalaren Vielfachen <math> k \cdot \mathrm{id}_V </math> der [[Identische Abbildung|Identität]] <math> \mathrm{id}: V \rightarrow V </math> ist mit <math> k </math> aus <math> K \setminus \{0\} </math>. Die Bezeichnungen <math> \mathrm{PGL}(n, K)</math> usw. entsprechen denen der allgemeinen linearen Gruppe. Wenn <math> K </math> ein endlicher Körper ist, sind <math> \mathrm{PGL}(n,K)</math> und <math> \mathrm{SL}(n,K)</math> gleichmächtig, aber im Allgemeinen nicht isomorph.

Projektive Abbildungen erhalten die Inzidenzstruktur.

Der Name stammt aus der [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]], wo das Analogon zur allgemeinen linearen Gruppe die projektive lineare Gruppe ist, zum <math>n</math>-dimensionalen projektiven Raum über <math> K </math> gehört dabei die Gruppe <math> \mathrm{PGL}(n+1,K)</math>, sie ist die Gruppe aller [[Projektivität]]en des Raumes.

=== Gebrochen-lineare Transformationen ===

Im Fall der projektiven Gerade <math>KP^1:=P(K^2)</math> handelt es sich bei den projektiven Abbildungen genau um die gebrochen-linearen Transformationen.

Nach der Identifikation von <math>P(K^2)</math> mit <math>K\cup\left\{\infty\right\}</math> (durch <math>[x_0:x_1] \leftrightarrow x_0x_1^{-1}</math>) wirkt <math>PGL(2,K)</math> auf <math>P(K^2)</math> durch
<math>\left( \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right) z = \frac{az+b}{cz+d}</math>.

=== Möbiustransformationen ===

Ein Spezialfall ist die Gruppe der [[Möbiustransformation]]en, die <math> \mathrm{PGL}(2 , \mathbb C)</math>. Dies sind die projektiven Abbildungen des <math>P(\mathbb C^2)</math>. [[Diskrete Untergruppe|Diskrete Gruppen]] von Möbiustransformationen werden als [[Kleinsche Gruppe]]n bezeichnet. [[Fuchssche Gruppe]]n sind Kleinsche Gruppen, welche den projektiven Unterraum <math>P(\mathbb R^2)\subset P(\mathbb C^2)</math> auf sich abbilden.

== Eigenschaften ==

Projektive Abbildungen bilden projektive Teilräume auf projektive Teilräume ab.

Projektive Abbildungen erhalten das [[Doppelverhältnis]] von 4-Tupeln kollinearer Punkte. Diese Eigenschaft kann als kennzeichnendes Merkmal der [[Projektive Geometrie | projektiven Geometrie]] angesehen werden. Siehe dazu: [[Erlanger Programm]].
Diese Zusammenhänge waren schon im Altertum bekannt und finden sich z. B. bei [[Pappos]]. Sie sind der entscheidende Grund dafür, dass der Begriff ''Doppelverhältnis'' überhaupt entwickelt wurde.

== Siehe auch ==
* [[Projektivität]]
* [[Kollineation]]

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Heiner Zieschang|Titel=Lineare Algebra und Geometrie|Verlag=Springer|Jahr=1997|ISBN=9-783-51902-230-5}}

[[Kategorie:Geometrische Abbildung]]
[[Kategorie:Projektive Geometrie]]

Projektive Abbildung - Versionsgeschichte

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