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2025-01-05T17:22:48Z

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{{Dieser Artikel|erläutert den Projektionssatz der Funktionalanalysis; zu anderen Bedeutungen siehe [[Projektionssatz (Begriffsklärung)]].}}

Der '''Projektionssatz''' ist einer der wichtigsten Sätze der [[Funktionalanalysis]]. In letzter Konsequenz werden mit ihm [[Partielle Differentialgleichung|partielle Differentialgleichungen]] konstruktiv gelöst. Er ist ein Beispiel dafür, wie in der Funktionalanalysis [[Geometrie|geometrische]] Überlegungen zu besonders weitreichenden Resultaten führen. Letztlich wird ein [[Vektor]] bezüglich eines gegebenen [[Untervektorraum]]s in zwei Komponenten zerlegt. Dabei liegt eine Komponente in dem gegebenen Untervektorraum und die andere ist senkrecht dazu. Man sagt, die erste Komponente ist die [[Orthogonalprojektion]] des Vektors auf den Untervektorraum.

== Aussage ==
Sei <math>\mathcal M\subset\mathcal H</math> ein [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossener]] Untervektorraum eines [[Hilbertraum]]s <math>\mathcal H</math> mit dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>. Dann gibt es für alle <math>f\in\mathcal H</math> genau ein
<math>f_1\in\mathcal M</math> und genau ein <math>f_2\in\mathcal M^\perp</math> mit <math>f = f_1 + f_2</math>.<ref>R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'', Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, Satz 11.7</ref>

Dabei ist <math>\mathcal M^\perp := \{ g\in\mathcal H\mid \langle f,g \rangle=0 </math> für alle <math>f\in\mathcal M\}</math> das [[Komplementärraum|orthogonale Komplement]] von <math>\mathcal{M}</math>. Der Name Projektionssatz rührt daher, dass durch die Zuordnung <math>f\mapsto f_1</math> die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\mathcal{M}</math> gegeben ist.

== Beweisskizze ==
Zunächst betrachtet man zu einem <math>f \in \mathcal H \setminus \mathcal M</math> den Abstand <math>d:=\inf\{\|f-m\| : m\in \mathcal M\}</math> zu <math>\mathcal M</math>.

Es existiert eine Folge <math>m_j\in \mathcal M</math>, mit <math>\|f-m_j\|\rightarrow d</math>. Mit Hilfe der [[Parallelogrammgleichung]] zeigt man, dass <math>m_j</math> eine [[Cauchyfolge]] ist. Da <math>\mathcal M</math> abgeschlossen und <math>H</math> vollständig ist, konvergiert <math>m_j</math> gegen ein <math>m\in \mathcal M</math> mit <math>\|f-m\|=d>0</math>.

Nun zeigt man, dass <math>f-m</math> senkrecht auf <math>\mathcal M</math> steht, also dass <math>\langle f-m,m'\rangle =0</math> für alle <math>m'\in \mathcal M</math> gilt. Mit <math>f=m+(f-m)</math> erhält man <math>\mathcal H= \mathcal M + \mathcal M^\perp</math>.
Da für <math>g \in \mathcal M\cap \mathcal M^\perp</math> gilt <math>\langle g,g\rangle =0</math>, also <math>g = 0</math>, ist die Summe direkt.

== Konsequenzen ==
Man beachte, dass der Beweis lediglich von den Hilbertraumaxiomen Gebrauch macht und in dieser Hinsicht elementar, wenn auch sehr abstrakt ist. Damit gilt der Projektionssatz in jedem Hilbertraum. Neben den oben angesprochenen Konsequenzen ist durch diesen Satz das Funktionieren des [[Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren|Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens]] gesichert. Der Projektionssatz führt zur Existenz eines vollständigen [[Orthonormalsystem]]s in Hilberträumen. Schließlich ist der Projektionssatz eines der wichtigsten Werkzeuge beim Beweis des [[Darstellungssatz von Fréchet-Riesz|Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz]].

== Verallgemeinerung ==
Sei <math>C\subset\mathcal H</math> eine abgeschlossene, [[Konvexe Menge|konvexe]], nichtleere Teilmenge eines Hilbertraums. Dann gibt es für jedes <math>f\in\mathcal H</math> genau ein <math>f_1\in C</math>, so dass der Abstand minimal wird, es gilt also <math>\|f-f_1\|=\mathrm{min}\{\|f-g\|\colon g\in C \}</math>.<ref>R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'', Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, Satz 11.4</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Projektionssatz - Versionsgeschichte

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