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2020-05-01T06:56:34Z

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In der [[Mathematik]] ist eine '''proendliche''' oder '''profinite Gruppe''' eine [[topologische Gruppe]] G, die der [[Limes (Kategorientheorie)|inverse (projektive) Limes]] eines Systems von endlichen Gruppen ist. Dieser Limes wird in der Kategorie der topologischen Gruppen gebildet; hierbei betrachtet man jede endliche Gruppe als topologische Gruppe mit der [[diskrete Topologie|diskreten Topologie]]. Eine topologische Gruppe ist genau dann proendlich, wenn sie [[Hausdorffsch]], [[kompakter Raum|kompakt]] und [[total unzusammenhängend]] ist.

== Beispiele ==
* Jede endliche Gruppe ist offensichtlich auch proendlich (wähle als System endlicher Gruppen nur die Gruppe selbst).
* Die [[p-adische Zahl|p-adischen Zahlen]] <math>\Z_p</math> und die [[proendliche Zahl|proendlichen Zahlen]] <math>\widehat{\Z}</math> sind Beispiele für unendliche proendliche Gruppen.
* Jede [[Galoisgruppe]] einer Galoiserweiterung L|K (versehen mit der [[Krulltopologie]]) ist proendlich.
* Ist G eine beliebige Gruppe, dann erhält man eine proendliche Gruppe Ĝ, die '''[[proendliche Vervollständigung]]''' oder '''proendliche Komplettierung''' von G, indem man den inversen Limes der G/H nimmt, wobei H alle Normalteiler von G von endlichem [[Index (Gruppentheorie) |Index]] durchläuft.

== Literatur ==
* [[John Cassels]], Albrecht Froehlich: ''Algebraic Number Theory. Proceedings of an instructional conference''. Academic Press, London 1993, ISBN 0-12-163251-2 (Nachdr. d. Ausg. London 1965).
* [[Jürgen Neukirch]]: ''Algebraische Zahlentheorie''. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-37547-0 (Nachdr. d. Ausg. Berlin 1992).
*Laurent Bartholdi: ''Profinite Groups'', [https://publications.mfo.de/handle/mfo/1258 Mathematical Snapshots, Oberwolfach 2016]

[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Topologie]]

Proendliche Gruppe - Versionsgeschichte

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