imported>Mathze: /* Beweis */

2025-12-10T17:17:08Z

Beweis

Neue Seite

Die '''Produktregel''' oder '''Leibnizregel''' (nach [[Gottfried Wilhelm Leibniz]]) ist eine grundlegende [[Ableitungsregel]]. Mit ihr wird die [[Differentialrechnung#Ableitungsberechnung|Ableitung]] eines [[Produkt (Mathematik)|Produktes]] von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In [[Differentialrechnung#Lagrange-Notation|Lagrange-Notation]] lautet die Produktregel

:<math>(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'</math>

Der Vorteil dieser Regel liegt darin, dass es im Allgemeinen einfacher ist, die Ableitungen beider [[Faktor (Mathematik)|Faktoren]] ''separat'' zu berechnen, als jene des gesamten Produkts auf einmal.

Zum Beispiel kann mit der Produktregel die Ableitung der Funktion <math>f(x) = x^2 \cdot \ln(x)</math> schnell berechnet werden, wenn die Ableitungen der Faktoren <math>x^2</math> und <math>\ln(x)</math> schon bekannt sind, die sich als <math>2 \cdot x</math> sowie <math>\tfrac{1}{x}</math> berechnen lassen mithilfe der [[Differentialrechnung#Ableitungen elementarer Funktionen|Ableitungsregeln elementarer Funktionen]]. Für den Fall, dass eine der beiden Funktionen [[Konstante Funktion|konstant]] ist, geht die Produktregel in die einfachere [[Faktorregel]] über.

Neben ihrer Bedeutung für explizite Berechnungen hat die Produktregel auch theoretische Konsequenzen. Der hinter ihr stehende [[Satz (Mathematik)|mathematische Satz]] besagt, dass [[Differenzierbarkeit]], also die Eigenschaft von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], eine [[Ableitungsfunktion]] zu haben, stabil unter Produktbildung ist. Wenn also Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> (in einem Punkt) differenzierbar sind, dann auch ihr [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] <math>f\cdot g</math>.

Das Analogon hinsichtlich [[Addition]] ist die [[Summenregel]] und das Analogon hinsichtlich der [[Division (Mathematik)|Division]] ist die [[Quotientenregel]].

Im Rahmen der [[Integralrechnung]] kann die Produktregel dazu verwendet werden, die [[partielle Integration]] herzuleiten. Ähnlich wie die [[Integration (Mathematik)|Integration]] gemäß dem [[Fundamentalsatz der Analysis]] als Umkehroperator der [[Differentiation]] gesehen werden kann, entspricht die partielle Integration dem Umkehroperator der Produktregel.

== Einführende Erklärung ==
[[Datei:DifferentialExample01.svg|mini|350px|Graphische Darstellung der Approximation von <math>x \mapsto x^2</math> durch <math>x \mapsto 2x-1</math>. Letztere ist die ''[[Tangente]]'' von <math>x \mapsto x^2</math> an der Stelle <math>x = 1</math>. Durch dieses Prinzip kann der [[Normalparabel]] an der Stelle <math>x=1</math> die „Steigung“ 2 zugeordnet werden.]]

Ist eine Funktion <math>f</math> in einem Punkt differenzierbar, so ist es möglich, sie in diesem Bereich relativ gut durch eine [[lineare Funktion]] <math>L(x) = a \cdot x+b</math> anzunähern. Der Vorteil daran ist, dass man Begriffe wie ''[[Steigung]]'', also das Maß, um wie viel Einheiten sich ein Vorgang ändert, wenn man den Eingabewert verändert, für lineare Funktionen verstanden hat. Indes ist es zu Beginn nicht klar, wie zum Beispiel die Steigung einer Funktion wie <math>f(x) = x^2</math> im Punkt <math>x=1</math> zu begreifen ist. Durch die Annäherung mittels einer linearen Funktion, quasi als gedankliche Hilfestellung, kann man aber den Begriff der Steigung auch auf [[Kurve (Mathematik)|Kurven]], also nicht-lineare Vorgänge, ausweiten. Die Steigung am Punkt einer Kurve entspricht dann per Definition der Steigung der linearen Funktion, welche die Kurve dort am besten annähert, aber die Steigung einer linearen Funktion ist wegen der Gradlinigkeit des Schaubildes gut verstanden. Auf diese Weise können auch komplizierten, nicht-linearen Vorgängen lokale [[Veränderungsrate]]n zugeordnet werden. Dieser Vorgang entspricht dem [[Differentialrechnung#Prinzip der Differentialrechnung|Kerngedanken der Differentialrechnung]].

Der Gedanke hinter der Produktregel fußt nun wiederum auf einem einfachen Mechanismus. Sind zum Beispiel die Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> separat im Punkt <math>x=0</math> im Sinne der Differentialrechnung gut verstanden, können sie durch [[Lineare Funktion|lineare Funktionen]]
:<math> f(x) \approx A \cdot x + a \qquad </math> und <math>\qquad g(x) \approx B \cdot x + b \qquad</math> für <math>x</math> fast gleich 0
angenähert werden. Dabei haben die Näherungen, wie man aus der Erfahrung mit linearen Funktionen weiß, die Steigungen <math>A</math> bzw. <math>B</math>. Das Prinzip der [[Differentialrechnung]] ordnet also den „schwierigen Kurven“ von <math>f</math> und <math>g</math> im Punkt <math>x=0</math> ebenfalls die Steigungen <math>A</math> und <math>B</math> zu. In kurzer Schreibweise:
:<math>f'(0) = A</math> bzw. <math>g'(0) = B</math>
Die [[Approximation|Näherungen]] <math>A \cdot x + a</math> und <math>B \cdot x + b</math> sind so gewählt, dass sie im Punkt <math>x=0</math> selbst perfekt sind ([[Tangente]]nprinzip), es herrscht dann im Grenzfall sogar Gleichheit: <math>f(0) = A\cdot 0 + a = a</math> bzw. <math>g(0) = B\cdot 0 + b = b</math>, also kurz
:<math>f(0) = a</math> bzw. <math>g(0) = b</math>

Es ist nun naheliegend, dass sich ihr [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] <math>f(x) \cdot g(x)</math> über das ''Produkt dieser Näherungen'' wieder annähert. Zum Beispiel sind, zunächst ''einzeln betrachtet'', die Zahlen <math>2{,}1</math> und <math>5{,}1</math> gute Näherungen für die Zahlen <math>2</math> und <math>5</math>, also ist deren Produkt <math>2{,}1 \cdot 5{,}1 = 10{,}71</math> eine Näherung für <math>2 \cdot 5 = 10,</math> kurz
:<math>2 \cdot 5 \approx 2{,}1 \cdot 5{,}1</math>
Nehmen nun <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> gedanklich den Platz von <math>2</math> und <math>5</math>, sowie <math>A \cdot x + a</math> und <math>B \cdot x + b</math> von <math>2{,}1</math> und <math>5{,}1</math> in der oberen Anschauung ein, gilt diesem Gedanken folgend
:<math>f(x) \approx A \cdot x + b \quad</math> und <math>\quad g(x) \approx B \cdot x + b \implies f(x) \cdot g(x) \approx (A \cdot x + a) \cdot (B \cdot x + b)</math>
Durch [[Ausmultiplizieren]] von <math>(A \cdot x + a) \cdot (B \cdot x + b)</math> und anschließendes termweises Zusammenfassen erhält man daraus
:<math>f(x) \cdot g(x) \approx A \cdot B \cdot x^2 + A \cdot b \cdot x + B \cdot a \cdot x + a \cdot b = A \cdot B \cdot x^2 + (A \cdot b + B \cdot a) \cdot x + a \cdot b</math>
Der Term <math>A \cdot B \cdot x^2</math> ist für <math>x \approx 0</math> verschwindend gering. Daher kann er bei der ''linearen Näherung'' des Produktes ignoriert werden:
:<math>f(x) \cdot g(x) \approx (A \cdot b + B \cdot a) \cdot x + a \cdot b</math>
Auf der rechten Seite steht nun wieder eine lineare Näherung. Die Steigung von <math>f \cdot g</math> im Punkt <math>x=0</math> ist also
:<math>A \cdot b + B \cdot a = f'(0) \cdot g(0) + g'(0) \cdot f(0)</math>

Exakt dieselbe Überlegung gilt für beliebige feste Punkte <math>x=x_0</math>, wenn man oben <math>x</math> durch <math>x - x_0</math> in den Näherungstermen ersetzt. Die analytische Gestalt der Produktregel ist also das Resultat des mittleren Termes von <math>(A \cdot x + b) \cdot (B \cdot x + a) = (f'(0) \cdot x + f(0)) \cdot (g'(0) \cdot x + g(0))</math> in ausmultiplizierter Form.

== Aussage der Produktregel ==
Sind die [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>u</math> und <math>v</math> von einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>D</math> in die Menge der [[Reelle Zahl|reellen]] oder der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] an einer Stelle <math>a \in D</math> [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]], so ist auch die durch

: <math>f(x) = u(x)\cdot v(x)</math> für alle <math>x\in D</math>

definierte Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x=a</math> differenzierbar, und es gilt<ref>Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]: ''Analysis 1'', Dritte Auflage, Birkhäuser, S. 321.</ref>

: <math>f'(a) = u'(a)\cdot v(a) + u(a)\cdot v'(a)</math>

oder kurz:

: <math>(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'</math>

Letztere Schreibweise ist besonders dann in Gebrauch, wenn <math>u</math> und <math>v</math>, also damit auch <math>f</math>, im gesamten [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] differenzierbar sind.

== Geschichte ==
[[Datei:Christoph Bernhard Francke - Bildnis des Philosophen Leibniz (ca. 1695).jpg|mini|Gottfried Wilhelm Leibniz]]

Als Entdecker der Produktregel wird in der Literatur häufig [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] genannt, der sie in seiner bahnbrechenden ''Nova Methodus pro Maximis et Minimis'' (1684), dem ersten Werk über das [[Kalkül]] der [[Infinitesimalrechnung]], zusammen mit [[Summenregel|Summen-]] und [[Quotientenregel]] publizierte.<ref>{{Literatur |Autor=Gottfried Wilhelm Leibniz |Titel=Nova Methodus pro Maximis et Minimis |Sammelwerk=Acta Eruditorum |Band=3 |Datum=1684 |Seiten=467 |Online=https://archive.org/details/s1id13206500/page/n499/mode/2up}}</ref><ref>John Stillwell: ''Mathematics and Its History'', Springer, S. 171.</ref> Allerdings hatte Leibniz bereits im November 1675 in einem Manuskript mit dem Titel ''Pro methodo tangentium inversa et aliis tetragonisticis specimina et inventa'' die Regel
:<math>\overline{\mathrm{d}x} y = \overline{\mathrm{d}xy} - x\overline{\mathrm{d}y}</math>
formuliert und diese „einen äußerst bemerkenswerten und für alle Kurven geltenden Satz“ bezeichnet.<ref>J. M. Child: [http://dynref.engr.illinois.edu/rvc_Child_1920.pdf ''The Early Mathematical Manuscripts Of Leibniz''], S. 107.</ref> Hierbei nutzte er seine eigens eingeführte Notation für infinitesimale Größen. In einer weiteren Arbeit vom 11. Juli 1677 lieferte Leibniz schließlich erste Beweise für sowohl die Produkt- als auch die [[Quotientenregel]]. Um <math>\mathrm{d}(xy) = x\mathrm{d}y+y\mathrm{d}x</math> zu zeigen, schreibt Leibniz
:<math> \mathrm{d}(xy) = (x + \mathrm{d}x)(y + \mathrm{d}y) - xy = x\mathrm{d}y + y\mathrm{d}x + \mathrm{d}x \mathrm{d}y</math>
und argumentiert, dass die Größe <math>\mathrm{d}x \mathrm{d}y</math> „unendlich viel kleiner“ sei verglichen zum Rest, womit nur noch <math>x\mathrm{d}y + y\mathrm{d}x</math> überbleibt.<ref>Charles Henry Edwards: ''The Historical Development of the Calculus'', Springer, S. 255–256.</ref> Auch war Leibniz im Jahr 1710 im Stande, eine allgemeine Form der Produktregel zu formulieren. Diese bezieht sich auf ''höhere Ableitungen'' eines Produktes, also zweite, dritte, vierte usw. Ableitung. Leibniz schrieb:<ref>Gottfried Wilhelm Leibniz: [https://archive.org/details/leibnizensmathe07leibgoog/page/n394/mode/2up ''Mathematische Schriften V''], S. 379–380.</ref>
:<math>p^e(x+y) = 1\, p^ex\, p^0y + \frac{e}{1} \, p^{e-1}x \, p^1y + \frac{e \cdot e-1}{1 \cdot 2} \, p^{e-2}x \, p^2 y + \frac{e \cdot e-1 \cdot e-2}{1 \cdot 2 \cdot 3} \, p^{e-3}x \, p^3 y + \frac{e \cdot e-1 \cdot e-2 \cdot e-3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \, p^{e-4}x \, p^4 y \, + </math> etc.,
:<math>d^e(x+y) = 1\, d^ex\, d^0y + \frac{e}{1} \, d^{e-1}x \, d^1y + \frac{e \cdot e-1}{1 \cdot 2} \, d^{e-2}x \, d^2 y + \frac{e \cdot e-1 \cdot e-2}{1 \cdot 2 \cdot 3} \, d^{e-3}x \, d^3 y + \frac{e \cdot e-1 \cdot e-2 \cdot e-3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \, d^{e-4}x \, d^4 y \, + </math> etc.,
wobei er die Notationen <math>p^k</math> für die <math>k</math>-te [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] und <math>d^k</math> für das <math>k</math>-te [[Differential (Mathematik)|Differential]] verwendete. Leibniz erkannte, dass die allgemeine Produktregel in direkter Verbindung zum [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]] stand und sich diese durch die Analogie zwischen dimensionsgebundener Homogenität (im Sinne gleicher Potenzen in Polynomen) und Potenzen unendlich kleiner Größen ausdrückt.<ref>H. J. M. Bos: [https://www.tau.ac.il/~corry/teaching/toldot/download/Bos1974.pdf ''Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus''], Arch. Hist. Exact Sci. 14, 1975, S. 33.</ref> In einer Leibniz-Übersetzung im Jahr 1920 behauptete J. M. Child jedoch, dass [[Isaac Barrow]] die Produktregel, wie auch andere Techniken, zuvor entwickelt habe. Dort heißt es:

{{Zitat
|Text=[[Isaac Newton|Newton]], with his great knowledge of and inclination toward geometrical reasoning, backed with his personal intercourse with Barrow, could appreciate the finality of Barrow’s proofs of the differentiation of a product, quotient, power, root, logarithm and exponential, and the trigonometrical functions, in a way that Leibniz could not.
|Autor=J. M. Child
|Übersetzung=Newton, mit seiner großen Kenntnis und Neigung zu geometrischem Denken, unterstützt durch seinen persönlichen Verkehr mit Barrow, konnte die Bedeutung von Barrows Beweisen für die Differenzierung eines Produkts, eines Quotienten, einer Potenz, einer Wurzel, eines Logarithmus und eines Exponentials sowie der trigonometrischen Funktionen in einer Weise schätzen, wie es Leibniz nicht konnte.
|ref=<ref>J. M. Child: [http://dynref.engr.illinois.edu/rvc_Child_1920.pdf ''The Early Mathematical Manuscripts Of Leibniz''], S. 28–29, Fußnote 58.</ref>}}

Bereits im Jahr 1916 hatte Child eine englische Übersetzung von Teilen der ''Lectiones Geometricae'' von Barrow veröffentlicht,<ref>J. M. Child: ''Geometrical Lectures of Isaac Barrow.'' Chicago, London, 1916.</ref> in deren Vorwort er Barrow zum eigentlichen und einzigen Erfinder der Differential- und Integralrechnung erhoben hatte. Damit ging Child nach Einschätzung von [[Thomas Sonar]] jedoch zu weit, denn man könne aus Barrows geometrischen Konstruktionen den [[Fundamentalsatz der Analysis|Hauptsatz]] zwar herauslesen, allerdings hätte Child dies aus der Position des heutigen, mathematisch gebildeten Menschen getan. Barrow wäre es laut Sonar hingegen versagt geblieben, diese tiefe Einsicht aus seinen eigenen Arbeiten zu gewinnen.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis'', Springer, S. 330.</ref>

== Anwendungsbeispiele ==
Im Folgenden sei stets <math>f(x) = u(x) \cdot v(x)</math>
* Ist <math>u(x)=x</math> und <math>v(x)=x,</math> so ist <math>f(x) = x \cdot x = x^2</math> und man erhält aus der Kenntnis von <math>u'(x)=1</math> und <math>v'(x)=1</math> mit der Produktregel
:: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \ x^2 = f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2 \cdot x</math>
* Ist <math>u(x) = 2 \cdot x</math> und <math>v(x) = \frac{6}{x}</math>, so ist <math>f(x) = 2 \cdot x \cdot \frac{6}{x} = 12</math> und wegen <math>u'(x) = 2</math> und <math>v'(x) = -\frac{6}{x^2}</math> folgt daraus
:: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \ 12 = f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 2 \cdot \frac{6}{x} + (2 \cdot x) \cdot \left(-\frac{6}{x^2}\right) = \frac{12}{x} - \frac{12}{x} = 0</math>
* Ist <math>u(x) = 4 \cdot x^2</math> und <math>v(x) = 2 \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)</math>, so ist <math>f(x) = 8 \cdot x^2 \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)</math> und wegen <math>u'(x) = 8 \cdot x</math> und <math>v'(x) = 2 \cdot \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)</math> folgt daraus
:: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \ 8 \cdot x^2 \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 8 \cdot x \cdot 2 \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 4 \cdot x^2 \cdot 2 \cdot \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 8 \cdot x \cdot \left(2 \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + x \cdot \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)</math>
* Verwendet man die Kurznotation <math>(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'</math> so erhält man beispielsweise für die [[Ableitung (Mathematik)|Ableitung]] folgender Funktion
:: <math>
\begin{align}
f(x) &= (x^2 - 4) \cdot (x^3 + 1) \\
f'(x) &= 2 \cdot x \cdot (x^3 + 1) + (x^2-4) \cdot 3 \cdot x^2 \\
\end{align}
</math>
:Ausmultipliziert ergibt sich <math> f'(x) = 5 \cdot x^4 - 12 \cdot x^2 + 2 \cdot x </math>

== Erklärung und Beweis ==
[[Datei:Produktregel.PNG|mini|Geometrische Veranschaulichung des Beweises der Produktregel.]]
[[Datei:Schema Règle produit.png|mini|300px|rechts|Die beiden hellblauen Streifen ergeben in Kombination die Produktregel.]]

Das Produkt <math>u\cdot v</math> zweier reeller an einer Stelle <math>x</math> [[Differenzierbarkeit|differenzierbarer]] [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>u</math> und <math>v</math> hat an der Stelle <math>x</math> den Wert <math>u(x)\cdot v(x),</math> der als [[Flächeninhalt]] eines [[Rechteck]]s mit den Seiten <math>u(x)</math> und <math>v(x)</math> gedeutet werden kann. Ändert sich nun <math>x</math> um <math>\Delta x,</math> so ändert sich <math>u(x)</math> um <math>\Delta u(x)</math> und <math>v(x)</math> um <math>\Delta v(x).</math> Die Änderung <math>\Delta(u(x)\cdot v(x))</math> des Flächeninhalts <math>u(x)\cdot v(x)</math> setzt sich dann (siehe Abbildung) zusammen aus

: <math>\Delta(u(x)\cdot v(x))=u(x)\cdot \Delta v(x)+v(x)\cdot\Delta u(x)+\Delta u(x)\cdot\Delta v(x).</math>

Dividiert man durch <math>\Delta x,</math> so ergibt sich mit

: <math>{\Delta(u(x)\cdot v(x))\over \Delta x} = u(x)\cdot {\Delta v(x)\over \Delta x} + v(x)\cdot {\Delta u(x)\over \Delta x} + {\Delta u(x)\over \Delta x}\cdot \Delta v(x)</math>

der [[Differenzenquotient]] der Produkt- oder Flächeninhaltsfunktion <math>u\cdot v</math> an der Stelle <math>x</math>.

Für <math>\Delta x</math> gegen 0 konvergiert <math>\Delta v(x)</math> und damit der ganze letzte Summand gegen 0, sodass man an der Stelle <math>x</math>

: <math>(u\cdot v)'=u\cdot v'+v\cdot u'</math>

erhält, wie behauptet. Dies ist auch im Wesentlichen die Argumentation, wie sie sich in einem ersten Beweis der Produktregel 1677 in einem Manuskript von Gottfried Wilhelm Leibniz findet. Die Produktregel, die er dort gemeinsam mit der [[Quotientenregel]] beweist, war damit eine der ersten Regeln zur Anwendung der [[Infinitesimalrechnung]], die er herleitete. Er benutzte allerdings keinen Grenzwert, sondern noch [[Differential (Mathematik)|Differentiale]] und schloss, dass <math>\Delta u\cdot\Delta v</math> wegfällt, weil es im Vergleich zu den anderen Summanden infinitesimal klein sei. [[Leonhard Euler]] benutzte noch dasselbe Argument, erst bei [[Augustin Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] findet sich ein [[Beweis (Mathematik)|Beweis]] mit [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwerten]], der den heutigen Maßstäben an [[mathematische Strenge]] genügt:

=== Beweis ===

Gegeben sei die Funktion <math>f</math> durch <math>f(x) = u(x) \cdot v(x)</math> Die [[Differentialrechnung|Ableitung]] von <math>f</math> an einer Stelle <math>x</math> ist dann durch den Grenzwert des Differenzenquotienten

: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac {u(x+\Delta x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{\Delta x}</math>

gegeben. Addition und [[Subtraktion]] des Terms <math>\tfrac {u(x)\cdot v(x+\Delta x)}{\Delta x}</math> liefert

: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\cdot v(x+\Delta x)+ \lim_{\Delta x \to 0} u(x)\cdot \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}</math>

Das Ausführen der beiden Grenzübergänge liefert die Produktregel <math>f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)</math>.

== Verallgemeinerungen ==
Bei allen Betrachtungen und Verallgemeinerungen der Produktregel ist darauf zu achten, dass die Faktoren <math>u,v \colon D \to Z</math> beziehungsweise alle Faktoren <math>f_1, f_2, \ldots, f_k \colon D \to Z </math> an der betrachteten Stelle <math>x \in D</math> [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] sind. Ansonsten kann die Ableitung des Produkts an der Stelle <math>x \in D</math> eine [[Definitionslücke]] haben.

=== Mehrfache Differentiation ===
Auch die Regel für [[Ableitung (Mathematik)|Ableitungen]] der Ordnung <math>n</math> ([[Differentialrechnung#Höhere Ableitungen|höhere Ableitungen]]) für ein [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] aus zwei [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>u,v \colon D \to \mathbb{R}</math> war schon Gottfried Wilhelm Leibniz bekannt und wird entsprechend manchmal ebenfalls als ''Leibnizregel'' bezeichnet. Sie ergibt sich aus der Produktregel mithilfe [[Induktion (Mathematik)|vollständiger Induktion]]:<ref name=":02">{{Internetquelle |autor=Alexander Grigoryan |url=https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/a2lect.pdf |titel=Analysis II |hrsg=Universität Bielefeld |seiten=43 |sprache= |abruf=2025-11-03}}</ref><ref>Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis 1'', Dritte Auflage, Birkhäuser, S. 325.</ref>

: <math>(u \cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot u^{(k)} \cdot v^{(n-k)}</math>

Das Symbol <math>\sum</math> ist das [[Summe#Notation mit dem Summenzeichen|Summenzeichen]] für [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]]. Die hier auftretenden Ausdrücke der Form <math>\tbinom{n}{k}</math> sind [[Binomialkoeffizient]]en. Die obige Formel enthält die eigentliche Produktregel als Spezialfall <math>n = 1</math> und impliziert, dass der <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>C^n(D, \R)</math> der <math>n</math>-mal [[Differenzierbare Funktion|differenzierbaren Funktionen]] auf <math>D</math> sogar eine <math>\R</math>-[[Algebra über einem Körper|Algebra]] ist. Einfach gesprochen folgt also, dass wenn <math>u</math> und <math>v</math> jeweils <math>n</math>-mal differenzierbar sind, dies auch auf ihr Produkt <math>u \cdot v</math> zutrifft.

'''Bemerkung''': Diese Verallgemeinerung für die mehrfache Differentiation eines Produkts aus zwei Funktionen hat auffallende Ähnlichkeit zum [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]
: <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot a^k \cdot b^{n-k}</math>
Diese Ähnlichkeit ist kein Zufall. Der übliche [[Induktionsbeweis]] läuft in beiden Fällen vollkommen analog. Man kann die Leibnizregel aber auch mit dem [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]] beweisen.

=== Produkte von endlich vielen differenzierbaren Funktionen ===
Wird die erste [[Ableitung (Mathematik)|Ableitung]] eines Produkts <math>\textstyle f = \prod_{j=1}^k f_j</math> von endlich vielen [[Differenzierbarkeit|differenzierbaren]] Funktionen betrachtet, dann gilt folgende allgemeinere Gleichung

: <math>f'= \sum_{j=1}^k f_j' \cdot \prod_{\ell=1 \atop \ell\neq j}^k f_\ell = f'_1 \cdot f_2 \cdot f_3 \cdot \ldots \cdot f_k + f_1 \cdot f'_2 \cdot f_3 \cdot \ldots \cdot f_k + \ldots + f_1 \cdot f_2 \cdot f_3 \cdot \ldots \cdot f_k'</math>

wobei <math>\prod</math> das [[Produktzeichen]] für [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]] ist. Haben die Funktionen keine [[Nullstelle]]n, so kann man diese Regel auch in der übersichtlichen Form
: <math>\frac{f'}{f} = \frac{\left(\prod_{j=1}^k f_j \right)'}{\prod_{j=1}^k f_j} = \frac{(f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_k)'}{f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_k} = \frac{f_1'}{f_1} + \frac{f_2'}{f_2} + \cdots + \frac{f_k'}{f_k} = \sum_{j=1}^k \frac{f_j'}{f_j}</math>
schreiben. Derartige Brüche bezeichnet man als [[logarithmische Ableitung]]en. Hintergrund dabei ist die [[Gleichung]]<math>\log(f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_k) = \log(f_1) + \log(f_2) + \ldots + \log(f_k)</math>.

Für die mehrfache Differentiation von mehr als zwei Faktoren lässt sich ganz entsprechend das [[Multinomialtheorem]] verwenden. Es gilt

: <math>\left(\prod_{j=1}^k f_j \right)^{(n)} = (f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_k)^{(n)} = \sum_{n_1 + n_2 + \ldots + n_k = n} \binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_k} \cdot \prod_{j=1}^k f_j^{(n_j)}</math>

mit den [[Multinomialkoeffizient]]en <math>\textstyle \binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_k}</math>.

Die Anzahl der Summanden, die dabei insgesamt addiert werden, also die Anzahl der Lösungen der [[Gleichung]] <math>n_1 + n_2 + \ldots + n_k = n</math> für [[Natürliche Zahl|natürliche Zahlen]] <math>n_1, n_2, \ldots, n_k</math> ist <math>\textstyle \binom{k + n - 1}{n}</math>, siehe ''[[Kombination (Kombinatorik)#Kombination mit Wiederholung|Kombination mit Wiederholung]]''.

=== Komplexe Differenzierbarkeit ===
Die Produktregel gilt auch für [[Komplexe Differenzierbarkeit|komplex differenzierbare]] Funktionen. Ist <math>U\subseteq\mathbb C</math> eine [[Offene Menge|offene]] [[Teilmenge]] der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] und <math>u, v \colon U \to \mathbb C</math> komplex differenzierbare Funktionen in <math>z_0 \in \C</math>, dann ist <math>u \cdot v</math> ebenfalls komplex differenzierbar in <math>z_0</math> und es gilt
: <math>(u \cdot v)'(z_0) = u'(z_0) \cdot v(z_0) + u(z_0) \cdot v'(z_0)</math>
Insbesondere gilt: Sind <math>u</math> und <math>v</math> [[Holomorphe Funktion|holomorph]] in <math>U</math>, so folgt <math>(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'</math> in ganz <math>U</math> und die Funktion <math>z \mapsto u(z) \cdot v(z)</math> ist erneut holomorph in <math>U</math>.

=== Produkte von Skalaren, Vektoren und Matrix-Vektor-Produkte ===
Beim [[Beweis (Mathematik)|Beweis]] der Produktregel werden aus den Werten von <math>u</math> [[Linearkombination]]en ([[Summe]]n, [[Differenz (Mathematik)|Differenzen]], [[Produkt (Mathematik)|Produkte]] mit Zahlen) gebildet, ebenso aus den Werten von <math>v.</math> Die Rollen von <math>u</math> und <math>v</math> sind dabei klar getrennt: <math>u</math> ist der linke Faktor, <math>v</math> der rechte. Der Beweis überträgt sich deswegen auf alle Produktbildungen, die sowohl im linken als auch im rechten Faktor linear sind. Insbesondere gilt die Produktregel auch für

* das Produkt von Skalar und Vektor ([[Skalarmultiplikation]]):
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\alpha(x) \cdot \vec u(x))=\frac{\mathrm d\alpha}{\mathrm dx}\vec u(x)+\alpha(x)\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dx}</math>
* das [[Skalarprodukt]] von zwei Vektoren:
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\vec u(x)\cdot \vec v(x))=\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dx}\cdot\vec v(x)+\vec u(x)\cdot\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dx}</math>
* das [[Vektorprodukt]] (Kreuzprodukt) von zwei Vektoren:
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\vec u(x)\times \vec v(x))=\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dx}\times\vec v(x)+\vec u(x)\times\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dx}</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Ilja Nikolajewitsch Bronstein |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=661}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Josiah Willard Gibbs]] |Titel=Vector Analysis. A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics |Verlag=Charles Scribner's Sons |Ort=New York City |Datum=1901 |Seiten=118 |Online=https://archive.org/details/vectoranalysiste00gibbiala/page/118/mode/2up?view=theater}}</ref>
* [[Matrix-Vektor-Produkt]]e.

Vektoren bzw. Matrizen sind dabei als Funktionen einer unabhängigen Variablen zu verstehen.

=== Höherdimensionaler Definitionsbereich ===
Verallgemeinert man auf [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] mit höherdimensionalem [[Definitionsbereich]], so lässt sich die Produktregel wie folgt formulieren: Es seien <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> eine [[Offene Menge|offene Teilmenge]], <math>u,v\colon U\to\mathbb R</math> differenzierbare Funktionen und <math>x\in\mathbb R^n</math> ein [[Richtungsvektor]]. Dann gilt die Produktregel für die [[Richtungsableitung]]:<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis 2'', Zweite Auflage, Birkhäuser, S. 175.</ref>
: <math>\frac {\mathrm d}{\mathrm dx}(u \cdot v) = \left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}u \right)\cdot v + u \cdot \frac {\mathrm d}{\mathrm dx}v</math>
Entsprechend gilt für die [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]]
: <math>\nabla(u \cdot v) = (\nabla u) \cdot v + u \cdot \nabla v</math>
In der Sprache der [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeiten]] lauten diese beiden Aussagen:
* Sind <math>x</math> ein Tangentialvektor und <math>u, v</math> lokal differenzierbare Funktionen, dann gilt
:: <math>x(u \cdot v) = xu \cdot v + u\cdot xv</math>
* Sind <math>u,v</math> lokal differenzierbare Funktionen, so gilt die folgende Beziehung zwischen den [[äußere Ableitung|äußeren Ableitungen]]:
:: <math>\mathrm d(u \cdot v) = v \ \mathrm du + u \ \mathrm dv</math>

==== Höhere partielle Ableitungen ====
Sei <math>\alpha, \beta \in \mathbb{N}^{n}_{0}</math>, <math>U\subseteq \mathbb{R}^n</math> und <math>u, v \in C^{n} (U, \mathbb{R})</math>. Dann gilt:<ref>Lawrence C. Evans: ''Partial Differential Equations.'' ISBN 0-8218-0772-2, 19. Auflage, S. 12.</ref>
: <math>D^{\alpha}(u \cdot v)=\sum_{\beta \leq \alpha} \binom{\alpha}{\beta} \cdot D^{\beta}(u) \cdot D^{\alpha - \beta}(v)</math>

=== Allgemeine differenzierbare Abbildungen ===
Es seien <math>U\subseteq\mathbb R</math> ein offenes [[Intervall (Mathematik)|Intervall]], <math>B</math> eine [[Banachalgebra]] (z. B. die [[Algebra]] der reellen oder komplexen <math>(n\times n)</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]]) und <math>u,v\colon U\to B</math> [[Differenzierbare Funktion|differenzierbare Funktionen]]. Dann gilt:
: <math>(u\cdot v)'=u'\cdot v + u\cdot v'</math>
Dabei bezeichnet der [[Operator (Mathematik)|Operator]] <math>\cdot</math> die Multiplikation in der Banachalgebra.

Sind allgemeiner <math>B^{\prime}</math> und <math>B''</math> [[Banachraum|Banachräume]], <math>u\colon U\to B'</math> und <math>v\colon U\to B''</math> differenzierbare Funktionen, so gilt ebenfalls eine Produktregel, wobei die Funktion des Produktes von einer [[Bilinearform]] <math>A\colon B'\times B''\to\mathbb R</math> übernommen wird. Von dieser wird verlangt, dass sie [[Stetige Funktion|stetig]] ist, also [[Beschränkter Operator|beschränkt]]:

: <math>|A(b',b'')|\leq C\cdot\|b'\|\cdot\|b''\|</math> für alle <math>b'\in B',b''\in B''</math>
mit einer festen Konstante <math>C</math>. Dann gilt die Produktregel
: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}A(u(x),v(x))=A(u'(x),v(x))+A(u(x),v'(x)).</math>
Entsprechende Aussagen gelten für höherdimensionale Definitionsbereiche.

=== Leibniz-Regel für dividierte Differenzen ===
Die Leibnizregel lässt sich auf [[dividierte Differenzen]] übertragen:<ref>De Boor: ''Divided Differences. Surveys in Approximation Theory.'' Band 1, 2005, S. 46–69.</ref>
: <math>[x_0,\ldots,x_n] (u \cdot v) = \sum_{j=0}^n ([x_0,\ldots,x_j]u)\cdot([x_j,\ldots,x_n]v)</math>
Der Spezialfall
: <math>[x,x](u \cdot v) = [x,x]u \cdot [x]v + [x]u \cdot [x,x]v = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) </math>
: mit <math>n = 1</math> und <math>x = x_0 = x_1</math> schließt die originale Leibnizregel mit ein.
=== Derivationen ===
{{Hauptartikel|Derivation (Mathematik)}}

Allgemein nennt man Abbildungen <math>D,</math> welche die Produktregel
: <math>D(u \cdot v) = v\cdot D(u) + u\cdot D(v)</math>
erfüllen, [[Derivation (Mathematik)|Derivationen]]. Die Reihenfolge der Faktoren ist hier für den Fall einer Derivation <math>A\to M</math> mit einer [[Algebra über einem Körper|Algebra]] <math>A</math> und einem <math>A</math>-[[Modul (Mathematik)|Linksmodul]] <math>M</math> gewählt.

Im Zusammenhang mit <math>\mathbb Z</math>- oder <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>-[[Graduierung (Algebra)|graduierten]] Algebren („[[Superalgebra|Superalgebren]]“) muss der Begriff der Derivation jedoch durch den der [[Antiderivation]] ersetzt werden. Die entsprechende Gleichung lautet dann
: <math>D(u \cdot v) = D(u)\cdot v + (-1)^{|u|}\cdot u\cdot D(v)</math>
für homogene Elemente <math>u,\ v.</math> Dabei bezeichnet <math>|u|</math> den Grad von <math>u.</math> Das prominenteste Beispiel einer Antiderivation ist die [[äußere Ableitung]] für [[Differentialform]]en
: <math>\mathrm d(\omega\wedge\eta)=\mathrm d\omega\wedge\eta+(-1)^{|\omega|}\cdot\omega\wedge\mathrm d\eta.</math>

== Siehe auch ==
* [[Faktorregel]]
* [[Partielle Integration]]
* [[Summenregel]]
* [[Quotientenregel]]
* [[Kettenregel]]
* [[Fundamentalsatz der Analysis]]

== Literatur ==
Die Produktregel für Funktionen wird in jedem Buch erläutert, das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt.

* [[Otto Forster]]: ''Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2.
* Otto Forster: ''Analysis 2. Differentialrechnung im '''R'''<sup>n</sup>. Gewöhnliche Differentialgleichungen.'' 6. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2005, ISBN 3-528-47231-6.
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis.'' 2 Bde. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
* Charles Henry Edwards Jr.: ''The Historical Development of the Calculus.'' Springer, New York 1979, ISBN 0-387-90436-0.

== Weblinks ==
* {{Webarchiv|url=http://www.integralgott.de/diffr/dregelprod.htm | wayback=20080229132524 | text=Herleitung der Produktregel und zahlreiche Beispiele}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Lesenswert|26. September 2006|21914677}}

[[Kategorie:Analysis]]

Produktregel - Versionsgeschichte

imported>Mathze: /* Beweis */