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2025-04-03T20:16:29Z

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Ein '''Produktmaß''' ist in der [[Mathematik]] ein spezielles [[Maß (Mathematik)|Maß]] auf dem Produkt von Maßräumen. Es ist dadurch charakterisiert, dass es einem [[Kartesisches Produkt|kartesischen Produkt]] von Mengen das Produkt der Maße der einzelnen Mengen zuordnet. So ist das <math>n</math>-dimensionale [[Lebesgue-Borel-Maß]] auf dem <math>\R^n</math> gerade das <math>n</math>-fache Produktmaß des eindimensionalen Lebesgue-Borel-Maßes. In der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] werden Produkte von [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]en zur Modellierung von [[Stochastisch unabhängige Ereignisse|stochastischer Unabhängigkeit]] verwendet.

==Konstruktion des Produktmaßes==
=== Einführung ===
Wenn man an die gewohnten reellen Zahlengeraden (also die <math>x</math>- und <math>y</math>-Achse) mit dem eindimensionalen Lebesgue-Maß <math>\lambda_1</math> denkt, so ist es naheliegend, ein Maß <math>\lambda_2</math> auf der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> so zu definieren, dass für messbare Mengen <math>A, B \subseteq \R</math> gilt
:<math>\lambda_2(A \times B) = \lambda_1(A) \cdot \lambda_1(B).</math>
Dann ergibt sich insbesondere für das zweidimensionale Maß eines [[Rechteck]]s
:<math>R = \{(x,y)\in\R^2 \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\} = [a,b] \times [c,d]</math>
die Formel <math>\lambda_2(R) = (b-a) \cdot (d-c)</math>, also die bekannte Formel, nach der die Fläche eines Rechtecks gleich dem Produkt seiner Seitenlängen ist.

Da bereits einfachste [[Geometrische Figur|geometrische Figuren]], wie Dreiecke oder Kreise, nicht als kartesische Produkte dargestellt werden können, muss die Mengenfunktion <math>\lambda_2</math> noch zu einem Maß auf einer [[σ-Algebra]] fortgesetzt werden.

=== Produkte zweier Maße ===
Für zwei beliebige [[Messraum (Mathematik)|Messräume]] <math>(\mathbb{X}_1,\mathcal{A}_1)</math> und <math>(\mathbb{X}_2,\mathcal{A}_2)</math> ist zunächst die [[Produkt-σ-Algebra]] <math>\mathcal{A}=\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2</math> zu definieren. Diese ist die vom Produkt von <math>\mathcal{A}_1</math> und <math>\mathcal{A}_2</math>

:<math>\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2 := \left\{A_1\times A_2 \mid A_1\in\mathcal{A}_1, A_2\in\mathcal{A}_2\right\}</math>

erzeugte <math>\sigma</math>-Algebra, also die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, welche <math>\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2</math> enthält. (Dieser Schritt ist nötig, weil das Produkt <math>\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2</math> selbst im Allgemeinen keine <math>\sigma</math>-Algebra ist, sondern nur ein [[Halbring (Mengensystem)|Halbring]].)

Seien nun <math>(\mathbb{X}_1,\mathcal{A}_1,\mu_1)</math> und <math>(\mathbb{X}_2,\mathcal{A}_2,\mu_2)</math> zwei Maßräume. Man möchte dann analog zum obigen Beispiel auf der Produkt-σ-Algebra <math>\mathcal{A}=\sigma(\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2)</math> ein Maß <math>\mu</math> definieren, welches <math>\mu(A_1\times A_2)=\mu_1(A_1)\mu_2(A_2)</math> erfüllt für alle <math>A_1\in\mathcal{A}_1, A_2\in\mathcal{A}_2</math>. Ein Maß <math>\mu</math>, das diese Bedingung erfüllt, wird dann ''Produktmaß'' genannt. Solch ein Maß <math>\mu</math> existiert stets, wie man etwa mit dem [[Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zeigen kann. Allerdings ist so ein Maß nicht notwendig eindeutig bestimmt. Wenn es sich jedoch um zwei [[σ-endlich]]e Maßräume handelt, dann ist auch <math>\mathcal{A} = \mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2</math> σ-endlich und auf <math>\mathcal{A}</math> existiert genau ein Produktmaß <math>\mu</math>. Es wird mit <math>\mu = \mu_1 \otimes \mu_2</math> bezeichnet. Das Produktmaß lässt sich in diesem Fall nach dem [[Prinzip von Cavalieri]] als [[Lebesgue-Integral|Integral]] darstellen: Für <math>A \in\mathcal{A}</math> gilt
:<math>\begin{align}\mu\left(A\right) &= \int_{\mathbb{X}_1} \mu_2\left(\left\{x_2\in \mathbb{X}_2\mid\left(x_1,x_2\right)\in A \right\}\right) d\mu_1(x_1)\\ &= \int_{\mathbb{X}_2} \mu_1\left(\left\{x_1\in \mathbb{X}_1\mid\left(x_1,x_2\right)\in A \right\}\right) d\mu_2(x_2).\end{align}</math>

=== Produkte endlich vieler Maße ===
Sei <math>((\mathbb{X}_i,\mathcal{A}_i,\mu_i))_{i\in I}</math> mit <math>I=\{1,\ldots,n\}</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Familie von Maßräumen. Ein auf der dazugehörigen [[Produkt-σ-Algebra]] definiertes Maß <math>\textstyle \mu \colon \bigotimes_{i\in I}\mathcal{A}_i \rightarrow [0,\infty]</math> heißt dann Produktmaß von <math>(\mu_i)_i\in I</math>, wenn für alle <math> \prod_{i\in I}A_i\in\prod_{i\in I}\mathcal{A}_i</math>
:<math>\mu\left(\prod_{i\in I}A_i\right)=\prod_{i\in I}\mu_i(A_i)</math>
gilt. Die Existenz von <math>\mu</math> zeigt man mittels [[Vollständige Induktion|vollständiger Induktion]] über <math>n</math> mit Hilfe des Produkts zweier Maße. Analog hierzu erhält man die Eindeutigkeit von <math>\mu</math> nach dem Fortsetzungssatz, wenn <math>\mu_i</math> für alle <math>i \in I</math> <math>\sigma</math>-endlich ist.

Entsprechend definiert man mit <math>\textstyle \bigotimes_{i\in I}(\mathbb{X}_i,\mathcal{A}_i,\mu_i):=(\prod_{i\in I}\mathbb{X}_i,\bigotimes_{i\in I}\mathcal{A}_i,\bigotimes_{i\in I}\mu_i)</math> den ''Produktmaßraum'' von <math>((\mathbb{X}_i,\mathcal{A}_i,\mu_i))_{i\in I}</math>.

== Bemerkungen ==
* Mit Hilfe dieser Definition kann das [[Prinzip von Cavalieri]] in seiner allgemeinsten Form auf dem <math>\R^n</math> für jede [[Fast sichere Eigenschaften|(fast überall)]] Lebesgue-messbare Teilmenge formuliert werden.
* Auch die Sätze von [[Satz von Fubini|Fubini und Tonelli]] gelten unter der Voraussetzung σ-endlicher Maßräume ganz allgemein (also nicht unbedingt nur für den euklidischen Raum) für messbare Funktionen.
* Für die Eindeutigkeitsaussage von <math>\mu_1\otimes\mu_2</math> ist wirklich notwendig, dass ''beide'' Maßräume <math>\sigma</math>-endlich sind. Setzt man nämlich <math>\mathbb{X}_1:=\mathbb{X}_2:=[0,1], \mathcal{A}_1:=\mathcal{A}_2:=\mathfrak{B}(\R)|_{[0,1]}</math> (die auf [0,1] eingeschränkte borelsche σ-Algebra) und wählt für <math>\mu_1</math> das Lebesguemaß, für <math>\mu_2</math> das nicht σ-endliche [[Zählmaß (Maßtheorie)|Zählmaß]], so gibt es mindestens drei verschiedene Produktmaße auf <math>\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2=\mathfrak{B}(\R^2)|_{[0,1]^2}</math>, obwohl immer noch einer der Maßräume <math>\sigma</math>-endlich ist.
* Das Produktmaß zweier [[Vollständiges Maß|vollständiger Maße]] ist im Allgemeinen nicht wieder vollständig, beispielsweise ist <math>\{0\}\times A</math> für jede Teilmenge <math>A\subseteq\mathbb{R}</math> eine <math>\lambda^2</math>-[[Nullmenge]], aber nur für <math>A\in\mathcal{L}(\R)</math> liegt diese Menge in <math>\mathcal{L}(\R)\otimes\mathcal{L}(\R)</math>, d. h., es gilt <math>\mathcal{L}(\R)\otimes\mathcal{L}(\R)\subsetneq\mathcal{L}(\R^2)</math>
* Im Gegensatz dazu gilt für die Borelsche σ-Algebra <math>\mathfrak{B}(\R^m)\otimes\mathfrak{B}(\R^n)=\mathfrak{B}(\R^{m+n})</math> für alle <math>n,m\in\mathbb{N}</math>.
* Sind <math>(\Omega_1, \Sigma_1, P_1)</math> und <math>(\Omega_2, \Sigma_2, P_2)</math> zwei [[Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsräume]], die jeweils ein [[Zufallsexperiment]] beschreiben, dann modelliert das Produkt <math>(\Omega_1 \times \Omega_2, \Sigma_1 \otimes \Sigma_2, P_1 \otimes P_2)</math> das gemeinsame Experiment, das darin besteht, die beiden Einzelexperimente [[Stochastisch unabhängige Ereignisse|unabhängig]] voneinander durchzuführen.

== Unendliche Produktmaße ==
In der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] ist man insbesondere an der Existenz von unendlichen Produktmaßen interessiert, sprich an Produkten von abzählbar oder überabzählbar vielen [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]en. Diese ermöglichen das Untersuchen von Grenzwerten oder wichtige Konstruktionen wie die von [[U.i.v.|unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen]] oder [[Produktmodell (Stochastik)|Produktmodelle in Stochastik]] und [[Produktmodell (Statistik)|Statistik]].

=== Definition ===
Beide Definitionen greifen auf die Konstruktionen des endlichen Produktmaßes zurück.

==== Abzählbare Indexmenge ====
Für eine abzählbar unendliche Indexmenge <math> I </math>, hier exemplarisch <math> I=\N </math>, lässt sich die obige Produktformel nicht mehr explizit formulieren. Man fordert stattdessen, dass sie für die ersten <math> n </math> Wahrscheinlichkeitsmaße gilt, und dies für beliebiges <math> n \in \N </math>. Sind also Wahrscheinlichkeitsräume <math> (\Omega_i, \mathcal A_i , P_i) </math> für <math> i \in \N </math> gegeben, so heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß <math> P </math> auf
:<math> (\Omega^{\N}, \mathcal A^{\N}):= \left( \prod_{i=0}^\infty \Omega_i, \bigotimes_{i=0}^\infty \mathcal A_i \right) </math>

das Produktmaß der <math> P_i </math>, wenn für alle <math> A_i \in \mathcal A_i </math> und alle <math> n \in \N </math> gilt, dass
:<math> P\left( A_0 \times A_1 \times \dots \times A_n \times \prod_{i=n+1}^\infty \Omega_i\right)= P_0(A_0)\cdot P_1(A_1) \cdot \dots \cdot P_n(A_n) </math>

ist.

==== Überabzählbare Indexmenge ====
Für eine überabzählbar unendliche Indexmenge <math> I </math> stößt das obige Vorgehen an seine Grenzen, da eine Definition über die ersten <math> n </math> Maße nicht mehr sinnvoll ist. Stattdessen betrachtet man [[Projektion (Mengenlehre)|Projektionen]] eines Wahrscheinlichkeitsmaßes <math> P </math> von dem überabzählbaren Produktraum auf die endlichen Produkträume. Das [[Bildmaß]] unter einer solchen Projektion soll dann mit dem endlichen Produkt der Wahrscheinlichkeitsmaße übereinstimmen.

Sind also nun Wahrscheinlichkeitsräume <math> (\Omega_i, \mathcal A_i, P_i ) </math> für <math> i \in I </math> gegeben und ist
:<math> (\Omega^I, \mathcal A^I):= \left( \prod_{i \in I} \Omega_i, \bigotimes_{i \in I} \mathcal A_i \right) </math>

der überabzählbare Produktraum und
:<math> \pi_J: \Omega^I \to \Omega^J \text{ definiert durch } \pi_J(\omega)=\omega|_J </math>

die Projektion auf die Komponenten aus <math> J \subset I </math>. Dann heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß <math> P </math> das Produktmaß der <math>( P_i )_{i \in I}</math>, wenn für jede endliche Teilmenge <math> J \subset I </math> das Bildmaß <math> P_{\pi_J}=P \circ (\pi_J)^{-1} </math> mit dem endlichen Produktmaß von <math> (P_i)_{i \in J} </math> übereinstimmt. Es soll also
:<math> P_{\pi_J}= \bigotimes_{i \in J}P_i </math>

gelten. Insbesondere ist die Definition für abzählbare Produkte ein Spezialfall dieser Definition mit <math> J= \{0,1, \dots, n\} </math>.

=== Existenz und Eindeutigkeit ===
Sowohl die Existenz eines Produktmaßes als auch die Eindeutigkeit liefert der [[Satz von Andersen-Jessen]]. Es existieren unterschiedlichste Beweise zur Existenz von Produktmaßen, die sich nach dem Grade ihrer Allgemeinheit und ihren Voraussetzungen unterscheiden. So existieren beispielsweise eigene Sätze über die Existenz eines Produktmaßes beim unendlich oft wiederholten Münzwurf. Der Satz von Andersen-Jessen liefert die Existenz und Eindeutigkeit aber für beliebige Indexmengen und ohne spezielle Voraussetzungen zu stellen und beantwortet die Frage somit zur Gänze.

=== Abgrenzung ===
Produktmaße sollte man nicht mit ''Maßen auf einem Produktraum'' verwechseln. Diese finden Anwendung in der Theorie [[stochastischer Prozess]]e und unterscheiden sich von den Produktmaßen insbesondere dadurch, dass die obigen Produktformeln, die der [[Stochastisch unabhängige Ereignisse|stochastischen Unabhängigkeit]] entsprechen, nicht mehr gelten müssen. Typisches Beispiel hierfür wäre ein [[Markow-Prozess]]: Es stellt sich die Frage, ob ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Produkt des [[Zustandsraum (Stochastik)|Zustandsraumes]] existiert, das den Prozess als gesamtes beschreibt. Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß ist dann aber sicher kein Produktmaß im obigen Sinne, da sich Markow-Prozesse eben durch ihre Abhängigkeit auszeichnen und dementsprechend die obigen Produktformeln nicht gelten werden.

Wichtige dieser Existenzsätze für Maße auf Produkträumen sind der [[Satz von Ionescu-Tulcea]] und der [[Erweiterungssatz von Kolmogorov]]. Der erstere liefert die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, das mittels [[Markow-Kern]]en definiert wird, der zweitere die Existenz eines Maßes mit vorgegebenen [[Randverteilung]]en, die mittels [[Projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen|projektiver Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] bestimmt werden. Beide Sätze lassen sich auch zur Konstruktion von Produktmaßen als Spezialfälle verwenden. Allerdings liefern sie keine so allgemeinen Ergebnisse wie der Satz von Andersen-Jessen. So gilt der Erweiterungssatz von Kolmogorov beispielsweise nur für [[Borel-Isomorphie|borelsche]] [[Messraum (Mathematik)|Messräume]].

=== Wichtige Sätze ===
* Der [[Satz von Kakutani (Maßtheorie)|Satz von Kakutani]] gibt hinreichende Bedingungen damit abzählbar unendliche Produktwahrscheinlichkeitsmaße [[Äquivalenz (Maßtheorie)|äquivalent]] sind.

== Literatur ==

*{{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage=2., durchgesehene |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Heidelberg Dordrecht London New York |Jahr=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6 |Seiten=}}
*{{Literatur|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
*{{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
{{SORTIERUNG:Produktmass}}
[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]

Produktmaß - Versionsgeschichte

81.221.168.24: /* Wichtige Sätze */ Tippfehler