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Die '''Produktionsfunktion''' stellt in der [[Betriebswirtschaftslehre]] und [[Produktionstheorie]] den Zusammenhang zwischen dem mengenmäßigen [[Ertrag]] ([[Ausbringung]], {{enS|Output}}) und den für die Erzielung dieses Ertrages eingesetzten [[Produktionsfaktor]]mengen ({{enS|Input}}) bei einer gegebenen [[Produktionstechnologie]] her. Präziser formuliert ordnet eine Produktionsfunktion möglichen Faktoreinsatzmengen die jeweils maximale Produktionsmenge zu.
Hinter den Produktionsfunktionen der Produktionstheorie stehen keine empirisch ermittelten Sachverhalte über industrielle oder handwerkliche [[Produktionsverfahren]]. Es werden vielmehr [[Produktionsstruktur]]en erdacht, die aus Verhältnissen zwischen Produktionsfaktoren und [[Produkt (Wirtschaft)|Produkten]]/[[Dienstleistung]]en bestehen.<ref>[https://books.google.de/books?id=LtOdCgAAQBAJ&pg=PA346&dq=Produktionsfunktion+pareto+1906&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwicp5z05Z_2AhXOkIkEHTVeCVYQ6AF6BAgBEAE#v=onepage&q=Produktionsfunktion%20pareto%201906&f=false Dieter Schneider, ''Theorie der Unternehmung'', Band 3, 1997, S. 346]</ref> Diese auf [[Vilfredo Pareto]] zurückgehende Funktion<ref>Vilfredo Pareto, ''Manuale di economia politica'', 1906, S. 1 ff.</ref> enthält Aussagen über [[Produktivität]]sbeziehungen in [[Unternehmen]].<ref>[https://books.google.de/books?id=KaHPBgAAQBAJ&pg=PA190&dq=Produktionsfunktion+pareto&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjC85jW35_2AhXlTN8KHZ4oAF4Q6AF6BAgEEAE#v=onepage&q=Produktionsfunktion%20pareto&f=false Edmund Heinen, ''Betriebswirtschaftliche Kostenlehre: Kostentheorie und Kostenentscheidungen'', 1983, S. 190]</ref>

Mit Produktionsfunktionen befasst sich nicht nur die Betriebswirtschaftslehre, sondern auch die [[Volkswirtschaftslehre]]. Technisch wird die Produktionsfunktion mit einer [[Input-Output-Analyse]] ermittelt.

== Entstehungsgeschichte ==
Das klassische [[Ertragsgesetz]] gilt als älteste Produktionsfunktion und wird – bei der Kategorisierung als Produktionsfunktion – mit dem Buchstaben A versehen.<ref>[[Günter Wöhe]]/[[Ulrich Döring]], ''[[Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre]]'', 25. Auflage, 2013, S. 305; ISBN 3-8006-3795-2</ref> Als sein Begründer gilt [[Anne Robert Jacques Turgot]] (1766).<ref>Anne Robert Jacques Turgot, ''Réflections sur la Formation et la Distribution des Richesses'', 1766, S. 46 ff.</ref> Der [[Betriebswirt]] [[Erich Gutenberg]] ging 1951 noch davon aus, dass das für die [[Agrarproduktion]] aufgestellte Ertragsgesetz auch im [[Industriebetrieb]] gilt.<ref>Erich Gutenberg, ''Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre'', 1. Auflage, 1951, S. 233</ref> In der 2. Auflage seines grundlegenden Buchs von 1955 verwarf er die Gültigkeit des Ertragsgesetzes, es galten nunmehr limitationale Produktionsbeziehungen,<ref>Erich Gutenberg, ''Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre'', 2. Auflage, 1955, S. 215</ref> die er mit dem Buchstaben B versah.

Im Anschluss an Gutenberg schlugen mehrere Autoren weitere Produktionsfunktionen vor, die mit nachfolgenden Buchstaben des Alphabets in chronologischer Reihenfolge benannt wurden und wegen des impliziten Alleinvertretungsanspruchs andere Typen aus dem Blickfeld drängten.<ref>[https://books.google.de/books?id=LOzPBgAAQBAJ&pg=PA100&dq=Pichler-Produktionsfunktion&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjr7N2K8Z_2AhWDUt8KHf46BqcQ6AF6BAgJEAE#v=onepage&q=Pichler-Produktionsfunktion&f=false Harald Dyckhoff, ''Betriebliche Produktion'', 1992, S. 100]</ref><ref>[https://books.google.de/books?id=S2-EBwAAQBAJ&pg=PA458&dq=Produktionsfunktion+lexikon&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwidvfTj6J_2AhUOn-AKHVSNB-8Q6AF6BAgFEAE#v=onepage&q=Produktionsfunktion%20lexikon&f=false Volker Häfner, ''Gabler Volkswirtschafts-Lexikon'', 1983, S. 457 ff.]</ref> Das trifft vor allem auf die 1953 entwickelte [[Pichler-Produktionsfunktion]] zu, die keinen Buchstaben erhielt. Sie geht von einem [[Mehrproduktunternehmen]] mit einer mehrstufigen Produktion aus, wobei die Input-Output-Beziehungen in Produktionsstufen erfasst werden, in denen mehrere Input-Güterarten zu mindestens einer Output-Güterart kombiniert werden.<ref>[[Otto Pichler (Ingenieur)|Otto Pichler]], ''Anwendung der Matrizenrechnung auf betriebswirtschaftliche Aufgaben'', in: Ingenieur-Archiv, 1953, S. 119 ff.</ref> Der Ingenieur Pichler sorgte mit seinem Aufsatz für eine Annäherung der [[Ingenieurwissenschaften]] an die Betriebswirtschaftslehre.

Es folgten [[Edmund Heinen]] und seine 1965 formulierte [[Heinen-Produktionsfunktion]] mit dem Buchstaben C<ref>Edmund Heinen, ''Betriebswirtschaftliche Kostenlehre'', 1965, S. 220 ff.</ref> und [[Josef Kloock]] mit der 1969 entstandenen [[Kloock-Produktionsfunktion]] (Typ D).<ref>Josef Kloock, ''Zur gegenwärtigen Diskussion der betriebswirtschaftlichen Produktionstheorie und Kostentheorie'', in: [[Zeitschrift für Betriebswirtschaft]], Ergänzungsheft I, 1969, S. 49–82</ref> [[Hans-Ulrich Küpper]] führte 1979 mit seiner [[Küpper-Produktionsfunktion]] ein dynamisches Modell (Typ E) ein.<ref>Hans-Ulrich Küpper, ''Dynamische Produktionsfunktion der Unternehmung auf der Basis des Input-Output-Ansatzes'', in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft 49, 1979, S. 93–106</ref> Die [[Matthes-Produktionsfunktion]] (Typ F) von [[Winfried Matthes]] ergänzte 1979 Typ E um strukturelle, [[Produktionsprozess|prozesstechnische]], [[Soziologie|soziale]] und insbesondere [[Finanzen|finanzielle]] [[Nebenbedingung]]en.<ref>Winfried Matthes, ''Dynamische Einzelproduktionsfunktion der Unternehmung (Produktionsfunktion vom Typ F)'', Betriebswirtschaftliches Arbeitspapier Nr. 2, Seminar für Fertigungswirtschaft der [[Universität zu Köln]], 1979, S. 1 ff.</ref> Der Typ G aus dem Jahre 2008 ist eine Erweiterung des Typs F durch Matthes selbst<ref>Winfried Matthes, ''Prozessmodell vom Typ G: Erweiterung der Produktionsfunktion Typ F'', Betriebswirtschaftlicher Forschungsbericht Nr. 13, 2008, S. 1 ff.</ref> und wird heute nicht als ein eigenständiger Typ angesehen.<ref>[https://books.google.de/books?id=9CokBAAAQBAJ&pg=PA336&dq=Produktionsfunktion+lexikon&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwidvfTj6J_2AhUOn-AKHVSNB-8Q6AF6BAgIEAE#v=onepage&q=Produktionsfunktion%20lexikon&f=false Springer Fachmedien Wiesbaden (Hrsg.), ''Kompakt-Lexikon Wirtschaftstheorie'', 2013, S. 326 f.]</ref>

== Betriebswirtschaftslehre ==
Produktionsfunktionen werden nach formal-rechnerischen Eigenschaften dahingehend untergliedert, ob der Anteil eines Produktionsfaktors an einem Produkt bei steigender [[Ausbringungsmenge]] gleich bleibt (''konstante Produktionskoeffizienten'') oder sich ändert (''variable Produktionskoeffizienten'').<ref>Dieter Schneider, ''Theorie der Unternehmung'', Band 3, 1997, S. 346</ref>

=== Arten ===
Unterschieden werden allgemein die limitationale und substitutionale Produktionsfunktion:<ref>Günter Wöhe/Ulrich Döring, ''Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre'', 25. Auflage, 2013, S. 288 f.</ref>
* Bei der ''limitationalen Produktionsfunktion'' gibt es für jede Ausbringungsmenge nur eine einzige mögliche Kombination der Produktionsfaktoren.
* Bei der ''substitutionalen Produktionsfunktion'' können die eingesetzten Faktormengen im Produktionsprozess untereinander ersetzt, also substituiert werden.
Kann der Produktionsfaktor [[Arbeit (Betriebswirtschaftslehre)|Arbeit]] in vielen [[Wirtschaftszweig]]en (begrenzt) durch [[Maschine]]n ersetzt werden (wegen [[Automatisierung]]; [[Rationalisierungsinvestition]]), liegt eine substitutionale Produktionsfunktion vor. Von einer limitationalen Produktionsfunktion wird in vielen Industrien auszugehen sein ([[Automobilhersteller|Automobilherstellung]]), wo beispielsweise der Faktor [[Werkstoff (Produktion)|Werkstoffe]] nicht durch Arbeit substituierbar ist.<ref>Günter Wöhe/Ulrich Döring, ''Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre'', 25. Auflage, 2013, S. 289</ref>

Zudem kann nur bei der limitationalen Produktionsfunktion unterschieden werden:
* ''Linear-limitational'': Die Produktionsfaktoren stehen in einem festen Verhältnis zueinander und in einem festen Verhältnis zur Ausbringung. Hierzu gehört die [[Leontief-Produktionsfunktion]].
* ''Nichtlinear-limitational'': Die Produktionsfaktoren stehen in keinem festen Verhältnis zueinander, aber in einem festen Verhältnis zur Ausbringung. Hierzu gehört die [[Gutenberg-Produktionsfunktion]].

=== Typen ===

{| class="wikitable"
!Produktionstyp !!Name !! Begründer <br />(Jahr) !!Inhalt
|-
| A || [[Ertragsgesetz]] || [[Anne Robert Jacques Turgot]] (1766) || Werden alle Produktionsfaktoren konstant gehalten (Größe der [[Ackerfläche]], Menge des [[Saatgut]]s und [[Dünger]]s), so ist bei zunehmendem Einsatz von Arbeit zunächst mit steigenden, aber ab einem gewissen Punkt mit abnehmendem [[Grenzertrag|Ertragszuwachs]] zu rechnen.
|-
| B ||[[Gutenberg-Produktionsfunktion]] || [[Erich Gutenberg]] (1955) || Input- und Outputmengen werden mit Hilfe der Intensität der zu verarbeitenden [[Betriebsmittel (Produktion)|Betriebsmittel]] in Beziehung gesetzt; für eine gegebene Leistungsintensität des Betriebsmittels gelten dann limitationale Produktionszusammenhänge zwischen Input und Output.
|-
| C ||[[Heinen-Produktionsfunktion]] || [[Edmund Heinen]] (1965) || Produktionsprozesse werden in Elementarvorgänge zerlegt, die Beziehungen zwischen technischen und ökonomischen Leistungen lassen sich eindeutig aufstellen.
|-
| D || [[Kloock-Produktionsfunktion]] || [[Josef Kloock]] (1969) || Der Betrieb wird in Teilbereiche zerlegt, mehrstufige Produktionsprozesse mit zyklischen Verflechtungen aufgezeigt und Input-Output-Matrizen aufgestellt.
|-
| E ||[[Küpper-Produktionsfunktion]] || [[Hans-Ulrich Küpper]] (1979) || Input-Output-Matrizen werden dynamisiert durch Berücksichtigung der Dauer des Produktionsprozesses.
|-
| F ||[[Matthes-Produktionsfunktion]] || [[Winfried Matthes]] (1979) || Ein dynamisches Produktionsmodell wird mit Hilfe eines [[Netzplantechnik|Netzplanes]] entwickelt, dieses wird dann mit der Produktionsfunktion von Heinen und den Anpassungsformen kombiniert.
|}

Die [[Produktionsfunktion vom Typ A]], besser bekannt als Ertragsgesetz, wurde durch [[Johann Heinrich von Thünen]] 1842 statistisch in der Agrarproduktion nachgewiesen.<ref>Johann Heinrich von Thünen, ''Der isoli[e]rte Staat in Beziehung auf Landwirtschaft und Nationalökonomie'', Teil I, 1842, S. 1 ff.</ref>
Typ C ist eine Weiterentwicklung von Typ B. Sie gilt für limitationale und substitutionale Produktionsprozesse sowie für [[Einproduktunternehmen|Einprodukt-]] und [[Mehrproduktunternehmen]].<ref>Edmund Heinen, ''Betriebswirtschaftliche Kostenlehre'', 1965, S. 220 ff.</ref> Die Produktionsfunktion vom Typ D stellt wiederum eine Weiterentwicklung von Typ C dar und ist eine Verallgemeinerung, aus der sich B und C als Spezialfälle ableiten lassen.<ref>Josef Kloock, ''Zur gegenwärtigen Diskussion der betriebswirtschaftlichen Produktionstheorie und Kostentheorie'', in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft, Ergänzungsheft I, 1969, S. 49–82</ref> Typ G ist eine Erweiterung von Typ F durch Matthes und kein eigenständiger Typ.

=== Mathematische Darstellung ===
Da es sich bei der Produktionsfunktion um eine [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktion]] handelt, gilt formal im Einproduktunternehmen:<ref>[[Egbert Kahle]], ''Produktionsfunktionen'', in: Wolfgang Lück (Hrsg.), ''Lexikon der Betriebswirtschaft'', 1990, S. 914</ref>
:<math>x = f (r_1 \text{…} r_n)</math>.
Dabei stellt <math>x</math> die Ausbringungsmenge und <math> r_1 \text{…} r_n</math> die verschiedenen Kombinationen von Faktoreinsatzmengen dar.

=== Beschreibung ===
Eine Produktionsfunktion wird durch das verwendete [[Produktionsverfahren]] für ein Produkt bestimmt. Dabei unterscheidet man folgende Arten:

;Substitutional
[[Datei:Produktionsgebirge.png|mini|Cobb-Douglas-Produktionsfunktion]]
Bei einer substitutionalen Produktionsfunktion kann ein Produktionsfaktor (zumindest innerhalb bestimmter Grenzen) durch einen anderen oder die Kombination von anderen Produktionsfaktoren ersetzt (substituiert) werden.

Ein weiteres Kennzeichen der Substitutionalität ist, dass die Output-Menge durch veränderte Einsatzmengen nur eines Faktors bei Konstanz der übrigen Faktormengen beeinflusst werden kann. Hinsichtlich der Substitutionalität kann man zwischen der totalen und der peripheren Substitutionalität unterscheiden. ''Totale Substitutionalität'' liegt vor, wenn ein Faktor vollständig durch einen anderen ersetzt werden kann. Dabei kann die Einsatzmenge des Faktors auch null betragen. Analytisch berechenbar durch Auflösen der Produktionsfaktoren und durch die Ableitung der [[Isoquante]]ngleichung. ''Periphere Substitutionalität'' ist dadurch gekennzeichnet, dass der Austausch der Produktionsfaktoren nur innerhalb bestimmter Grenzen möglich ist.

Eine Untergruppe bilden die so genannten [[CES-Produktionsfunktion]]en, die sich durch eine konstante Substitutionselastizität auszeichnen. Das bekannteste und in der [[Volkswirtschaftslehre]] am häufigsten verwendete Beispiel einer substitutionalen Produktionsfunktion ist die [[Cobb-Douglas-Funktion|Cobb-Douglas-Produktionsfunktion]].

;Ertragsgesetzlich
[[Datei:Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion.svg|mini|Verlauf der Ausbringungsmenge, ertragsgesetzlicher Kurvenverlauf]]
Hierbei handelt es sich um die älteste Produktionsfunktion. Sie beruht auf Beobachtungen in der [[Landwirtschaft]] und wurde von Turgot als [[Ertragsgesetz|''Gesetz vom abnehmenden Bodenertrag'']] formuliert. Seine Beobachtungen zeigten, dass das Produktionsergebnis durch die Erhöhung des [[Arbeitseinsatz|Arbeitseinsatzes]] bei konstanten übrigen Produktionsfaktoren zunächst steigt, aber ab einer bestimmten Faktoreinsatzmenge die Ausbringungsmenge stetig fällt.

;Limitational
[[Datei:Limitationale Produktionsfunktion.svg|mini|Verlauf der Ausbringungsmenge, limitationale Produktionsfunktion]]
Hierbei stehen die Faktoren in einem bestimmten Einsatzverhältnis, d. h., der Ertrag steigt nur dann, wenn beide Faktoren vermehrt eingesetzt werden. Dies gilt jedoch nur, wenn beide Faktoren im gleichen Maße vorhanden sind, d. h., wenn ein Faktor im Überschuss da ist, so gilt dies nicht. In diesem Falle reicht die Erhöhung des anderen Faktors, um die Ausbringungsmenge zu erhöhen. Dies gilt so lange, bis der Überschussfaktor verbraucht ist. Um eine weitere Steigerung der Ausbringungsmenge zu erreichen, müssen also wieder beide Faktoren erhöht werden. Bis zu diesem Zeitpunkt erhöht sich der Ertrag nicht. Dies ist in dem Knick der Ertragsfunktion zu erkennen. Effizient ist diese Produktion jedoch nur, wenn kein Faktor verschwendet wird, d. h., wenn das richtige Einsatzverhältnis eingehalten wird.

== Volkswirtschaftslehre ==
[[Datei:Cobb-Douglas-Produktionsfunktion.svg|mini|Verlauf der Ausbringungsmenge, Cobb Douglas]]
In der Volkswirtschaftslehre werden drei Produktionsfunktionen beschrieben, die [[CES-Funktion]], die [[Cobb-Douglas-Funktion]] und die [[Leontief-Produktionsfunktion]].<ref>Verlag Dr. Th. Gabler (Hrsg.), ''Gablers Wirtschafts-Lexikon'', Band 4, 1983, Sp. 837</ref> Allgemeinster Fall ist die CES-Funktion, deren konstante [[Substitutionselastizität]] alle Werte von Null bis unendlich annehmen kann. Die übrigen Funktionen sind Spezialfälle der CES-Funktion, weil ihre konstante Substitutionselastizität nur 1 (Cobb-Douglas-Funktion) bzw. 0 (Leontief-Produktionsfunktion) betragen kann. Diesen Produktionsfunktionen liegen [[volkswirtschaftliche Kennzahl]]en zugrunde, nämlich das [[Bruttoinlandsprodukt]] (BIP) sowie die gesamtwirtschaftlichen Produktionsfaktoren [[Arbeit (Volkswirtschaftslehre)|Arbeit]], [[Kapital]] und der sich aus Vergangenheitswerten von BIP, Arbeit und Kapital ergebende [[Distributionsfaktor]].<ref>Egbert Kahle, ''Produktionsfunktionen'', in: Wolfgang Lück (Hrsg.), ''Lexikon der Betriebswirtschaft'', 1990, S. 914</ref>

== Weitere Entwicklungen ==
Die Theorie der Produktionsfunktionen wurde insbesondere durch Einbeziehung der [[Umwelt]] als natürlichem Produktionsfaktor weiterentwickelt.

Als nachteilig hat sich die unscharfe Trennung zwischen den Größen In- und Output (oder auch [[Arbeitseinsatz|Einsatz]] und [[Ausbringung]]) und der eigentlichen [[Transformation (Betriebswirtschaft)|Transformation]] erwiesen. Neuere Ansätze der Produktionstheorie trennen die [[Bestandsgröße]]n In- und Output von den Transformationgrößen [[Verbrauch]] und Herstellung. Schließlich bedeutet die Hereinnahme von Faktoren in den Betrieb nicht zwangsläufig auch deren Verbrauch in der Produktion (z. B. durch [[Schwindung|Schwund]]). Umgekehrt muss ein erzeugtes Gut nicht als Output den Betrieb verlassen (z. B. durch [[Fehlproduktion|Ausschuss]]).

Die Transformation lässt sich gut durch die ingenieurwissenschaftlichen Funktionen des technischen Verbrauchs und der technischen Erzeugung beschreiben, wodurch die Integration der [[Ingenieurwissenschaften]] in die betriebswirtschaftliche Produktionsfunktion gelingt.

Im Gegensatz zu den volks- und betriebswirtschaftlichen Produktionsfunktionen steht in den ingenieurwissenschaftlichen Funktionen neben Verbrauch und Erzeugung insbesondere die technische Einstellung und technische Auslegung von Produktionssystemen im Vordergrund.

== Literatur ==
* Dirk Diedrichs, Marco Ehmer und Nikolaus Rollwage: ''Mikroökonomie mit Kontrollfragen und Lösungen''. WRW-Verlag, 2005. ISBN 3-927250-71-6
* Daniel Rubinfeld und Robert Pindyck: ''Mikroökonomie''. Pearson Studium, 2003. ISBN 3-8273-7282-8

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4047354-5}}

[[Kategorie:Produktionsfunktion| ]]
[[Kategorie:Betriebswirtschaftslehre]]
[[Kategorie:Produktionstheorie]]
[[Kategorie:Volkswirtschaftslehre]]

Produktionsfunktion - Versionsgeschichte

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