imported>Mathze: Überarbeitung der Einleitung, um der Vielzahl von Produkten in der Mathematik gerecht zu werden (siehe Diskussionsseite)

2026-02-07T07:55:00Z

Überarbeitung der Einleitung, um der Vielzahl von Produkten in der Mathematik gerecht zu werden (siehe Diskussionsseite)

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Unter einem '''Produkt''' versteht man das Ergebnis einer [[Multiplikation]] sowie auch einen [[Term]], der eine Multiplikation darstellt. Die verknüpften Elemente heißen ''Faktoren''.

In diesem Sinne ist die Multiplikation eine Abbildung der Form
:<math> \cdot \colon A \times B \;\rightarrow\; C, </math>
wobei man das Produkt <math>c\in C</math> von <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> meist als <math>c= a\cdot b</math> oder unter Auslassung des [[Malzeichen|Malzeichens]] als <math>c=a b</math> notiert. Sowohl das Ergebnis <math>c</math> als auch der Term <math>a\cdot b</math> wird als Produkt von <math>a</math> und <math>b</math> bezeichnet.

Abgeleitet vom [[latein]]ischen Wort ''producere'' in der Bedeutung ''(her-)vorbringen'' ist „Produkt“ ursprünglich die Bezeichnung des Ergebnisses einer [[Multiplikation]] zweier Zahlen (von lat.: ''multiplicare'' = vervielfachen).<ref>Auftreten in [[Albertus Magnus]]’ Metaphysicorum in der Form ''productum'', so Jeff Miller: [https://jeff560.tripod.com/p.html ''Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)''] mit Verweis auf ''The Oxford English Dictionary,'' Second Edition (abgerufen am 10. Mai 2023.)</ref> Der Begriff der Multiplikation geht weit über die Multiplikation von Zahlen hinaus. So treten multiplikative Verknüpfungen in zahlreichen mathematischen Gebieten und [[Mathematische Struktur|Strukturen]] auf; entsprechend häufig ist von „Produkten“ die Rede.

== Produkte zweier Zahlen ==
Hier ist stets <math>A = B = C</math>, d. h., das Produkt zweier Zahlen ist wieder eine Zahl. Produkte werden hier zusätzlich als [[Assoziativgesetz|assoziativ]] vorausgesetzt, d. h.:

:<math> (a\cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \quad \text{für alle } a, b, c \in A</math>

=== Produkt zweier natürlicher Zahlen ===
[[Datei:Three by Four.svg|mini|3 mal 4 ergibt 12]]
Ordnet man etwa [[Spielstein]]e in einem rechteckigen Schema in ''r'' Reihen zu je ''s'' Steinen an, so benötigt man dafür

:<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \sum_{j=1}^r s </math>

Spielsteine. Die Multiplikation ist hier eine Kurzschreibweise für die mehrfache Addition von ''r'' Summanden (entsprechend den ''r'' Reihen), die sämtliche den Wert ''s'' tragen (in jeder Reihe stehen ''s'' Steine). Man kann die Gesamtzahl aber auch dadurch berechnen, dass man die Zahl ''s'' (entsprechend der Anzahl der hintereinander in einer Spalte stehenden Steine) insgesamt ''r'' Mal (entsprechend der Anzahl ''r'' solcher nebeneinander angeordneter Spalten von Steinen) addiert (man benötigt hierfür ''r − 1'' Pluszeichen). Damit ist bereits die Kommutativität der Multiplikation zweier [[Natürliche Zahl|natürlicher Zahlen]] gezeigt.

Zählt man die Zahl 0 zu den natürlichen Zahlen, so bilden diese einen [[Halbring (Algebraische Struktur)|Halbring]]. Zu einem [[Ring (Algebra)|Ring]] fehlen die inversen Elemente bzgl. der Addition: Es gibt keine natürliche Zahl ''x'' mit der Eigenschaft <math>3 + x = 0</math>.

Ein Produkt, bei dem die Zahl 0 als ein Faktor auftritt, hat stets den Wert 0: Eine Anordnung von 0 Reihen von Spielsteinen umfasst unabhängig von der Zahl der Steine pro Reihe keinen einzigen Stein.

=== Produkt zweier ganzer Zahlen ===
Durch Hinzufügen der negativen ganzen Zahlen erhält man den Ring <math>\Z</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]]. Zwei ganze Zahlen werden multipliziert, indem man ihre jeweiligen [[Betragsfunktion|Beträge]] multipliziert und mit folgendem [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] versieht:

:<math>\begin{array}{|c|c c|}\hline
\cdot & - & + \\ \hline
- & + & - \\
+ & - & + \\ \hline
\end{array}
</math>

In Worten ausgedrückt besagt diese Tabelle:
* Minus mal Minus ergibt Plus
* Minus mal Plus ergibt Minus
* Plus mal Minus ergibt Minus
* Plus mal Plus ergibt Plus

Für eine streng formale Definition über Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen vergleiche man den Artikel über [[ganze Zahl]]en.

=== Produkt zweier Brüche ===
In den ganzen Zahlen kann man uneingeschränkt addieren, subtrahieren und multiplizieren. Die [[Division (Mathematik)|Division]] durch eine von 0 verschiedene Zahl ist nur möglich, falls der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist. Diese Einschränkung lässt sich mit dem Übergang zum [[Körper (Algebra)|Körper]] der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]], also zur Menge <math>\Q</math> aller [[Bruchrechnung|Brüche]], aufheben. Das Produkt zweier Brüche erfordert im Gegensatz zu ihrer Summe nicht die Bildung eines [[Hauptnenner]]s:

:<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math>

Gegebenenfalls lässt sich das Ergebnis noch [[kürzen]].

=== Produkt zweier reeller Zahlen ===
Wie bereits [[Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2|Euklid]] nachweisen konnte, gibt es keine rationale Zahl, deren Quadrat Zwei ergibt. Ebenso ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser, also die [[Kreiszahl]] π, nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellbar. Beide „Lücken“ werden durch eine sogenannte [[Reelle Zahl#Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen|Vervollständigung]] im Übergang zum Körper der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> geschlossen. Da eine exakte Definition des Produktes in der hier gebotenen Kürze nicht möglich erscheint, sei nur kurz die Idee skizziert:

Jede reelle Zahl lässt sich als ein unendlicher Dezimalbruch auffassen. So gilt etwa <math> \sqrt{2} = 1{,}4142\ldots</math> und <math>\pi=3{,}1415\ldots</math> Die rationalen Näherungswerte – etwa 1,41 und 3,14 – lassen sich problemlos miteinander multiplizieren. Durch sukzessive Erhöhung der Anzahl der Nachkommastellen erhält man – in einem nicht in endlicher Zeit durchführbaren Prozess – eine Folge von Näherungswerten für das Produkt <math>\sqrt{2}\cdot\pi = 4{,}4428\ldots</math>

=== Produkt zweier komplexer Zahlen ===
Selbst über der Menge der reellen Zahlen gibt es unlösbare Gleichungen wie etwa <math>x^2=-1</math>. Sowohl für negative wie auch für positive Werte von <math>x</math> ist das Quadrat auf der linken Seite stets eine positive Zahl. Durch den Übergang zum Körper <math>\Complex</math> der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], der oft auch als [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]], also Hinzufügen von <math>\mathrm i = \sqrt{-1}</math> bezeichnet wird, entsteht aus der reellen [[Zahlengerade]]n die sogenannte [[Komplexe Zahl#Komplexe Zahlenebene|gaußsche Zahlenebene]].
Zwei Punkte dieser Ebene, also zwei komplexe Zahlen, werden unter Beachtung von <math>\mathrm i^2=-1</math> formal multipliziert:

:<math>\begin{align}
(a + b\,\mathrm i)\cdot (c+d\,\mathrm i)
& = a\cdot c + a \cdot d\,\mathrm i + b\cdot c \,\mathrm i + b\cdot d \cdot \mathrm i^2\\
& = (a \cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d + b\cdot c) \,\mathrm i
\end{align}</math>

==== Geometrische Deutung ====
[[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten]]
Eine komplexe Zahl lässt sich auch in ebenen [[Polarkoordinaten]] schreiben:
:<math> a + b\,\mathrm i = r \cdot ( \cos(\varphi) + \mathrm i \sin(\varphi) ) = r \cdot \mathrm e ^{\mathrm i \varphi} </math>
Ist ferner
:<math> c + d\,\mathrm i = s \cdot ( \cos(\psi) + \mathrm i \sin(\psi) ) = s \cdot \mathrm e ^{\mathrm i \psi}, </math>
so gilt aufgrund der [[Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme|Additionstheoreme]] für Sinus und Kosinus:
:<math> (a \cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d + b\cdot c) \,\mathrm i = r\cdot s \cdot ( \cos(\varphi+\psi) + \mathrm i \sin(\varphi+\psi) ) = r\cdot s \cdot \mathrm e ^{\mathrm i (\varphi+\psi)} </math>

Geometrisch bedeutet das: Multiplikation der Längen bei gleichzeitiger Addition der Winkel.

=== Produkt zweier Quaternionen ===
Selbst die komplexen Zahlen lassen sich noch algebraisch erweitern. Es entsteht ein reell vierdimensionaler Raum, die sogenannten [[William Rowan Hamilton|hamiltonschen]] [[Quaternion]]en <math>\mathbb H</math>. Die zugehörigen Multiplikationsregeln werden im Artikel Quaternion ausführlich dargestellt. Im Gegensatz zu den obigen Zahlbereichen ist die Multiplikation von Quaternionen nicht kommutativ, d. h., <math>a\cdot b</math> und <math>b\cdot a</math> sind im Allgemeinen verschieden.

== Weitere Beispiele für kommutative Ringe ==

=== Restklassen ganzer Zahlen ===
Dass das Produkt zweier Zahlen genau dann ungerade ist, wenn beide Faktoren ungerade sind, ist eine weithin bekannte Tatsache. Ähnliche Regeln gelten auch bezüglich der Teilbarkeit durch eine ganze Zahl ''N'' größer als 2. Die geraden Zahlen entsprechen hierbei den Vielfachen von ''N;'' eine gerade Zahl ist ohne Rest durch Zwei teilbar. Bei den ungeraden Zahlen sollte man unterscheiden, welcher [[Division mit Rest|Rest]] bei der ganzzahligen Division dieser Zahl durch ''N'' übrig bleibt. ''Modulo 3'' – so die Sprechweise – gibt es drei Restklassen ganzer Zahlen: Solche, die Vielfache von 3 sind, solche mit Rest 1 und solche mit Rest 2. Das Produkt zweier solcher Zahlen hat stets Rest 1 modulo 3.

Die Menge dieser [[Restklasse]]n, <math>\Z/N\Z</math> geschrieben, besitzt genau ''N'' Elemente. Ein typisches Element hat die Form <math>a+N\Z</math> und steht für die Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch ''N'' denselben Rest ergeben wie die Zahl ''a.'' Auf der Menge aller solcher Restklassen wird durch

:<math> (a+N\Z) + (b+N\Z) := a+b + N\Z</math>

eine Addition und durch

:<math> (a+N\Z) \cdot (b+N\Z) := a\cdot b + N\Z</math>

eine Multiplikation erklärt. Der so entstehende Ring heißt der [[Restklassenring]] modulo ''N.'' Genau dann, wenn ''N'' eine [[Primzahl]] ist, handelt es sich hierbei sogar um einen Körper. Beispiel: Modulo 5 ist die Restklasse von 2 invers zu der von 3, da 6 modulo 5 gleich 1 ist. Das systematische Auffinden von multiplikativen Inversen modulo ''N'' erfolgt mittels des [[Euklidischer Algorithmus|Euklidischen Algorithmus]].

=== Funktionenringe ===
Ist der Ring ''R'' kommutativ, so bildet die Menge <math>\mathbb F:=R^M</math> (die Menge aller Funktionen von einer Menge M mit Werten in ''R'') ebenfalls einen kommutativen Ring, wenn man Addition und Multiplikation in <math>\mathbb F</math> komponentenweise definiert. Das heißt, wenn man
:<math>(f+g)(m) := f(m) + g(m) </math>
:<math>(f\cdot g) (m) := f(m) \cdot g(m) </math>
für alle <math>m\in M</math> erklärt.

Wählt man als Ring ''R'' die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\mathbb R</math> mit der üblichen Addition und Multiplikation, und als ''M'' etwa eine [[Offene Menge|offene]] Teilmenge von <math>\mathbb R</math> oder allgemeiner von <math>\mathbb R^n</math>, so sind die Begriffe [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[Differenzierbarkeit]] von Funktionen sinnvoll. Die Menge der stetigen bzw. differenzierbaren Funktionen <math>f\colon M \to R</math> bildet dann einen [[Unterring]] des Funktionenringes, der trivialerweise wieder kommutativ sein muss, wenn <math>\mathbb F</math> bzw. ''R'' kommutativ ist.

=== Faltungsprodukt ===
{{Hauptartikel|Faltung (Mathematik)}}
[[Datei:Convolucion Funcion Pi.gif|mini|hochkant=1.5|Faltung der [[Rechteckfunktion]] mit sich selbst ergibt die [[Dreiecksfunktion]]]]
Seien <math>f, g \colon \R \rightarrow \R\,</math> zwei [[Integrierbarkeit|integrierbare]] reelle Funktionen, deren Beträge ein endliches [[uneigentliches Integral]] besitzen:
:<math>\int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)|\,\mathrm{d}\,t \;<\;\infty\quad\text{und }
\int\limits_{-\infty}^\infty |g(t)|\,\mathrm{d}\,t \;<\; \infty</math>
Dann ist das uneigentliche Integral
:<math> (f*g) (t) \;:= \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)\cdot g(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau </math>
für jede reelle Zahl ''t'' ebenfalls endlich. Die dadurch definierte Funktion <math>f*g</math> heißt das Faltungsprodukt oder die ''Konvolution'' von ''f'' und ''g.'' Dabei ist <math>f*g</math> wieder integrierbar mit endlichem uneigentlichem Betragsintegral. Ferner gilt <math>f*g = g*f</math>, d. h., die Faltung ist kommutativ.

Nach [[Kontinuierliche Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]] ist das Faltungsprodukt bis auf einen konstanten Normierungsfaktor das punktweise definierte Produkt (sog. [[Faltung (Mathematik)#Faltungstheorem|Faltungstheorem]]). Das Faltungsprodukt spielt eine wichtige Rolle in der mathematischen [[Signalverarbeitung]].

Die [[gaußsche Glockenkurve]] lässt sich dadurch charakterisieren, dass ihre Faltung mit sich selbst wieder eine etwas in die Breite gezogene Glockenkurve ergibt (vgl. [[Gaußsche Glockenkurve#Invarianz gegenüber Faltung|hier]]). Genau diese Eigenschaft liegt dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]] zugrunde.

=== Polynomringe ===
Die Menge <math>\R[X]</math> aller [[Polynom]]e in der Variablen ''X'' mit reellen [[Koeffizient]]en bildet einen sogenannten [[Polynomring]]. Das Produkt wird hierbei wie folgt berechnet:

:<math> \left(\sum_{i=0}^n a_i X^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^m b_j X^j\right) = \sum_{k=0}^{n+m} c_k X^k </math>

mit

:<math> c_k = \sum_{i+j=k} a_i \cdot b_j </math>

Diese Ringe spielen in vielen Bereichen der Algebra eine große Rolle. So lässt sich etwa der Körper der komplexen Zahlen formal elegant als [[Faktorring]] <math>\R[X]/(X^2+1)</math> definieren.

Beim Übergang von endlichen Summen zu absolut konvergenten Reihen bzw. formalen Potenzreihen wird aus dem hier besprochenen Produkt das sog. [[Cauchy-Produktformel|Cauchy-Produkt]].

== Produkte in der linearen Algebra ==
Die [[lineare Algebra]] beschäftigt sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen solchen. In diesem Zusammenhang treten verschiedenartige Produkte auf. Im Folgenden wird zur Vereinfachung als Grundkörper zumeist der Körper der reellen Zahlen verwendet.

=== Skalares Produkt ===
Bereits in der Definition eines [[Vektorraum]]s ''V'' taucht der Begriff der [[Skalarmultiplikation]] auf. Damit lassen sich Vektoren ganz allgemein um einen reellen Faktor „strecken“, wobei im Falle der Multiplikation mit einem negativen Skalar auch noch die Richtung des Vektors umgedreht wird.

Das skalare Produkt ist eine Abbildung <math> \R \times V \rightarrow V </math>.

=== Skalarprodukt ===
Davon strikt zu unterscheiden ist der Begriff eines [[Skalarprodukt]]s. Dabei handelt es sich um eine bilineare Abbildung

:<math> \cdot \colon V \times V \rightarrow \R </math>

mit der zusätzlichen Forderung, dass <math> v\cdot v > 0</math> für alle <math> 0 \not= v \in V </math> ist.

Daher ist der Ausdruck <math>\|v\| := \sqrt{v\cdot v} </math> stets berechenbar und liefert den Begriff der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (Länge) eines Vektors.

Ebenso gestattet das Skalarprodukt die Definition eines Winkels zwischen zwei Vektoren <math>v, w \neq 0</math>'':''

:<math> \cos \angle (v,w) = \frac{v\cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|} </math>

Die [[Polarisationsformel]] zeigt, dass ein solcher Längenbegriff umgekehrt stets zu einem Skalarprodukt und somit auch zu einem Winkelbegriff führt.

In jedem <math>n</math>-[[Dimension (Mathematik)|dimensionalen]] [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]] lässt sich durch [[Orthonormalisierung]] ein [[Orthonormalsystem]] finden. Stellt man alle Vektoren als [[Linearkombination]] bezüglich einer Orthonormalbasis <math> e_1, \ldots e_n</math> dar, so lässt sich das Skalarprodukt zweier solcher Koordinatentupel als [[Standardskalarprodukt]] berechnen:

:<math> \left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i \right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n \beta_i e_i \right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\beta_i </math>

=== Kreuzprodukt im dreidimensionalen Raum ===
Im <math>\R^3</math>, als dem Standardmodell eines 3-dimensionalen Euklidischen Raums, lässt sich ein weiteres Produkt, das sogenannte [[Kreuzprodukt]] definieren. Es leistet hervorragende Dienste bei diversen Problemen der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] im Raum.

Beim Kreuzprodukt handelt es sich um eine Abbildung
:<math> \times \colon \R^3 \times \R^3 \rightarrow \R^3 </math>

Wie jedes [[Lie-Algebra|Lie-Produkt]] ist es antikommutativ: <math> v \times w = -w \times v </math> Insbesondere ist <math>v \times v = 0</math>.

=== Spatprodukt ===
Beim sogenannten [[Spatprodukt]] – ebenfalls nur im <math>\R^3</math> erklärt – handelt es sich nicht um ein Produkt zweier, sondern dreier Vektoren. In moderner Sprechweise stimmt es mit der [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] von drei nebeneinander geschriebenen Spaltenvektoren überein und lässt sich wohl am einfachsten nach der [[Regel von Sarrus]] berechnen. Formal liegt eine Abbildung

:<math> \det \colon \R^3 \times \R^3 \times \R^3 \rightarrow \R </math>

vor, die wohl nur aus historischen Gründen noch heute als ein Produkt bezeichnet wird. Anschaulich misst das Spatprodukt das Volumen eines [[Parallelepiped|Spates]] im Raum.

=== Komposition linearer Abbildungen ===
Sind <math>f \colon U \to V</math> und <math>g \colon V \to W</math> zwei [[lineare Abbildung]]en, so ist ihre [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] ''(„g nach f“)''
:<math> g \circ f \colon U \to W; \quad u \mapsto g(f(u)) </math>
linear. Bezeichnet man die Menge aller linearen Abbildungen von ''U'' nach ''V'' mit <math> \operatorname{Hom}(U,V) </math>, so liefert die Komposition von Abbildungen ein Produkt

:<math> \circ \colon \operatorname{Hom}(V,W) \times \operatorname{Hom}(U,V) \rightarrow \operatorname{Hom}(U,W) </math>

Im Spezialfall <math>U = V = W</math> erhält man so den sogenannten ''Endomorphismenring'' <math> \operatorname{End}(V) = \operatorname{Hom}(V,V) </math> von V.

=== Produkt zweier Matrizen ===
Gegeben seien zwei [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] <math> A = (a_{i,j})_{i=1 \ldots s; j=1 \ldots r} \in \R^{s \times r}</math> und <math> B = (b_{j,k})_{j=1 \ldots r; k=1 \ldots t}\in \R^{r\times t}</math>. Da die Anzahl der Spalten von ''A'' mit der Anzahl der Zeilen von ''B'' übereinstimmt, lässt sich das [[Matrizenmultiplikation|Matrizenprodukt]]

: <math> A \cdot B = \left( \sum_{j=1}^r a_{i,j} \cdot b_{j,k} \right)_{i=1 \ldots s; k=1 \ldots t} \;\in\R^{s \times t} </math>

bilden. Im Spezialfall <math>r = s = t</math> quadratischer Matrizen entsteht hierdurch der [[Matrizenring]] <math>\R^{r \times r}</math>.

=== Komposition linearer Abbildungen als Matrizenprodukt ===
Zwischen der Komposition linearer Abbildungen und dem Produkt zweier Matrizen besteht ein enger Zusammenhang. Seien dazu <math>r = \operatorname {dim}(U)</math>, <math>s = \operatorname {dim}(V)</math> und <math>t = \operatorname {dim}(W)</math> die (endlichen) [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] der beteiligten Vektorräume ''U, V'' und ''W.'' Seien ferner
<math> \mathcal U = \{u_1, \ldots u_r\} </math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von ''U,''
<math> \mathcal V = \{v_1, \ldots v_s\} </math> eine Basis von ''V'' und
<math> \mathcal W = \{w_1, \ldots w_t\} </math> eine Basis von ''W.'' Bezüglich dieser Basen seien
<math> A = M^{\mathcal U}_{\mathcal V}(f) \in\R^{s\times r} </math> die [[Abbildungsmatrix|darstellende Matrix]] von <math>f \colon U \to V</math> und
<math> B = M^{\mathcal V}_{\mathcal W}(g) \in\R^{r \times t} </math> die darstellende Matrix von <math>g \colon V \to W</math>. Dann ist

:<math> B \cdot A = M^{\mathcal U}_{\mathcal W} (g \circ f) \in \R^{s \times t}</math>

die darstellende Matrix von <math> g \circ f \colon U \rightarrow W</math>.

Mit anderen Worten: Das Matrizenprodukt liefert die koordinatenabhängige Beschreibung der Komposition zweier linearer Abbildungen.

=== Tensorprodukt von Vektorräumen ===
Das [[Tensorprodukt]] <math> V \otimes W </math> zweier reeller Vektorräume ''V'' und ''W'' ist eine Art Produkt zweier Vektorräume. Es ähnelt daher dem weiter unten besprochenen [[#Mengentheoretisches Produkt|mengentheoretischen Produkt]]. Im Gegensatz zu diesem handelt es sich aber nicht um das kategorielle Produkt in der Kategorie der reellen Vektorräume. Es lässt sich dennoch über eine [[Tensorprodukt#Universaldefinition|universelle Eigenschaft]] bezüglich bilinearer Abbildungen kategoriell fassen. Danach ist die kanonische Einbettung
:<math> V \times W \ni (v,w) \mapsto v \otimes w \in V \otimes W </math>
sozusagen die „Mutter aller auf ''V'' und ''W'' definierbaren Produkte“. Jedes andere reell-bilineare Produkt
:<math> B \colon V \times W \rightarrow Y </math>
mit Werten in irgendeinem Vektorraum ''Y'' kommt nämlich durch Nachschalten einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung
:<math>\tilde B \colon V \otimes W \rightarrow Y </math>
zustande.

=== Abbildungsmatrizen als Tensoren zweiter Stufe ===
Der Vektorraum <math>\operatorname{Hom}(V,W)</math> aller linearen Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen ''V'' und ''W'' lässt sich auf (bifunktoriell) [[Natürliche Transformation|natürliche Weise]] als Tensorprodukt des [[Dualraum]]s <math>V^*</math> von ''V'' mit ''W'' auffassen:
:<math> V^* \otimes W \rightarrow \operatorname{Hom}(V,W) </math>
Hierbei wird einem zerlegbaren Tensor <math>f \otimes w \in V^* \otimes W</math>, also einem Funktional <math>f \colon V \to R</math> und einem Vektor <math>w \in W</math>, die lineare Abbildung <math>g \colon V \to W</math> mit
:<math> g(v) = f(v) \cdot w </math>
zugeordnet. Lässt sich so jede lineare Abbildung von ''V'' nach ''W'' erhalten? Nein, ebenso ist aber auch nicht jeder Tensor zerlegbar. Wie jeder Tensor sich als Summe zerlegbarer Tensoren schreiben lässt, so lässt sich auch jede lineare Abbildung von ''V'' nach ''W'' als Summe von Abbildungen wie dem oben definierten ''g'' erhalten.

Dass <math>\operatorname{Hom}(V,W)</math> in natürlicher Weise zum Tensorprodukt des ''Dualraums'' von ''V'' mit ''W'' isomorph ist, bedeutet gleichzeitig, dass es sich bei der darstellenden Matrix einer linearen Abbildung <math>g \colon V \to W</math> um einen einfach ''kontravarianten'' und einfach kovarianten Tensor handelt. Dies drückt sich auch im [[Abbildungsmatrix#Basiswechsel|Transformationsverhalten]] von darstellenden Matrizen bei einem [[Basiswechsel (Vektorraum)|Basiswechsel]] aus.

== Mengentheoretisches Produkt ==
Das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] <math>M \times N</math> zweier Mengen ''M'' und ''N'' fügt sich auf den ersten Blick nicht zwanglos in den hier vorgestellten Produktbegriff ein. Dennoch besteht nicht nur im Wort „Produkt“ eine Verbindung: Das [[#Produkt zweier natürlicher Zahlen|Produkt zweier natürlicher Zahlen]] ''m'' und ''n'' wurde weiter oben als die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Kardinalität]] des kartesischen Produkt einer ''m''-elementigen mit einer ''n''-elementigen Menge erklärt. Weiterhin gelten bestimmte Formen des [[Kartesisches Produkt#Distributivität|Distributivgesetzes]].

Das kartesische Produkt ist gleichzeitig das [[Produkt (Kategorientheorie)|kategorielle Produkt]] in der [[Kategorientheorie|Kategorie der Mengen]].

== Endliche und unendliche Produkte ==

=== Endliche Produkte mit vielen Faktoren ===
[[Datei:Produktschreibweise mit Bezeichnungen.svg|mini|300px|Die Produktschreibweise]]
Die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] <math>n!</math> einer natürlichen Zahl <math>n</math> beschreibt die Anzahl der möglichen Anordnungen von <math>n</math> unterscheidbaren Objekten:
:<math> n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n = \prod_{k=1}^n k </math>
Das Produktzeichen <math>\textstyle \prod</math> ist in Anlehnung an den ersten Buchstaben des Wortes ''Produkt'' der griechischen [[Majuskel]] [[Pi (Buchstabe)|Pi]] nachempfunden.<ref>{{Literatur |Titel=Produktzeichen |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

Da das Produkt natürlicher Zahlen [[Kommutativgesetz|kommutativ]] ist, kann man auch eine Indexmenge verwenden (und damit die Reihenfolge der Faktoren unbestimmt lassen):
:<math>n! = \prod_{k \in \{1, \ldots, n\}} k </math>

Hier eine Animation zur Produktschreibweise:

[[Datei:Animation zur Produktschreibweise (animation of the product) k^2.gif]]

=== Das leere Produkt ===
{{Hauptartikel|Leeres Produkt}}

Das [[Leeres Produkt|leere Produkt]] hat den Wert 1 (das [[Neutrales Element|neutrale Element]] der Multiplikation) – ebenso wie die [[leere Summe]] stets 0 (das neutrale Element der Addition) ergibt.

=== Unendliche Produkte ===
[[John Wallis]] entdeckte 1655 die verblüffende Tatsache, dass
:<math>\frac{\pi}{2} = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{(2k)(2k)}{(2k-1)(2k+1)}</math>
gilt (vergleiche [[Wallissches Produkt]]). Was genau ist aber unter dem ''unendlichen Produkt'' auf der rechten Seite zu verstehen? Man betrachtet dazu die [[Folge (Mathematik)|Folge]] der endlichen Teilprodukte
:<math>P_n := \prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)(2k)}{(2k-1)(2k+1)}.</math>
Falls diese Folge gegen eine reelle Zahl <math>P</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]], so definiert man
:<math>\prod_{k=1}^{\infty} \frac{(2k)(2k)}{(2k-1)(2k+1)} \; := P</math>

Genauer sei <math>(a_n)_{n \in \N}</math> eine Folge von Zahlen.
Das unendliche Produkt
:<math>\prod_{n=1}^\infty a_n</math>
heißt ''konvergent'', wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
# [[Fast alle]] <math>a_n</math> sind von 0 verschieden, d. h., es gibt ein <math>n_0 \in \N</math>, sodass <math>a_n \ne 0</math> für alle <math>n > n_0</math> gilt.
# Der Grenzwert <math>\lim_{N \to \infty}\prod_{n=n_0+1}^N a_n</math> existiert.
# Dieser Grenzwert ist von 0 verschieden.
(Die Gültigkeit der letzten beiden Bedingungen ist unabhängig davon, welches <math>n_0</math> man in der ersten gewählt hat).
In diesem Fall setzt man
:<math>\prod_{n=1}^\infty a_n := \lim_{N \to \infty}\prod_{n=1}^N a_n</math>.
Dieser Grenzwert existiert, denn entweder ist mindestens ein Faktor <math>a_n=0</math> und ab dann sind alle Partialprodukte 0 oder man kann in der zweiten Bedingung [[Ohne Beschränkung der Allgemeinheit|o. B. d. A.]] <math>n_0=0</math> wählen.

''Kernreihenkriterium ([[Konvergenzkriterium]] für unendliche Produkte):'' Folgende Aussagen sind äquivalent:
* Ein unendliches Produkt <math>\textstyle P = \prod\limits_{k=1}^\infty a_k = \prod\limits_{k=1}^\infty (1+h_k)</math> mit positiven Kernen <math>h_k</math> konvergiert absolut.
* Die ''Kernreihe'' <math>\textstyle S = \sum\limits_{n=1}^\infty h_n</math> konvergiert absolut.<ref>{{Internetquelle |autor=Alexander Hölzle |url=https://www.mathematik-netz.de/pdf/UnendlProd.pdf |titel=Unendliche Produkte |datum=2005-05-02 |abruf=2012-12-26 |format=PDF; 80 kB}}</ref>

==== Eigenschaften ====
* Ein konvergentes unendliches Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Ohne die dritte Bedingung wäre diese Aussage falsch.
* Die Faktoren eines konvergenten Produktes konvergieren gegen 1 (notwendige Bedingung).

==== Beispiele zu fehlender Konvergenz ====
Obwohl die Folge der Teilprodukte (gegen null) konvergiert, werden unendliche Produkte wie die folgenden nicht als konvergent bezeichnet:
* <math>\prod\limits_{n=1}^\infty 0</math>: Unendlich viele Faktoren sind null, die erste Bedingung ist verletzt.
* <math>\prod\limits_{n=1}^\infty (n-1)</math>: Man muss <math>n_0 \ge 1</math> wählen. Wenn aber der erste Faktor weggelassen wird, konvergiert die Teilproduktfolge nicht (divergiert bestimmt gegen <math>+\infty</math>). Die zweite Bedingung ist verletzt.
* <math>\prod\limits_{n=1}^\infty \tfrac 1 n</math>: Die Folge der Teilprodukte konvergiert, allerdings gegen null, sodass die dritte Bedingung verletzt ist.
Diese drei Beispiele erfüllen auch nicht das o. g. notwendige Kriterium.
Das Produkt <math>\textstyle \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac1n\right)</math> erfüllt zwar das notwendige Kriterium, die Folge der Teilprodukte konvergiert aber nicht: Das Produkt der ersten <math>N</math> Faktoren ist <math>N+1</math>.

== Literatur ==
* ''Aufbau des Zahlensystems.'' In: ''dtv-Atlas zur Mathematik,'' Bd. 1, 2. Auflage 1976, S. 52 ff.
* Heinz-Dieter Ebbinghaus u. a.: ''Zahlen.'' Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55654-0. ([https://books.google.de/books?id=c1jOfh4CxhoC&dq=ebbinghaus+zahlen&printsec=frontcover&source=bl&ots=AP_VPVGqBi&sig=xfNuzIHwDwjDFPVBqFaFKaJtRcA&hl=de&ei=2lSBSre1IcWPsAb24IXFCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result#v=onepage&q=&f=false Google Books])

Umfangreiche Literaturangaben zur linearen Algebra finden sich [[Lineare Algebra#Literatur|dort]].

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Produkt}}
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Summe und Produkt}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Multiplikation]]

Produkt (Mathematik) - Versionsgeschichte

imported>Mathze: Überarbeitung der Einleitung, um der Vielzahl von Produkten in der Mathematik gerecht zu werden (siehe Diskussionsseite)