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2025-06-18T21:25:40Z

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Ein '''Probit''' ist in der [[Statistik]] die zu einer [[Wahrscheinlichkeit]] <math>p \in (0,1)</math> gebildete Größe <math>\Phi^{-1}(p) \in \R</math>, wobei <math>\Phi^{-1}</math> die [[Umkehrfunktion]] der [[Verteilungsfunktion]] <math>\Phi</math> der [[Standardnormalverteilung]] bezeichnet. Unter der '''Probit-Transformation''' versteht man die Transformation von Wahrscheinlichkeiten in Probits. Diese Transformation wird im [[Probit-Modell]], einem speziellen [[Verallgemeinerte lineare Modelle|verallgemeinerten linearen Modell]], zur [[Spezifikation (Statistik)|Spezifikation]] der [[Kopplungsfunktion]] verwendet.
[[Datei:Probit plot.svg|thumbnail|right|Darstellung der Probit-Funktion]]
In der [[Biometrie]] werden in der sogenannten Probitanalyse zur Untersuchung von Dosis-Wirkung-Beziehungen die Begriffe ''Probit'' und ''Probit-Transformation'' in einer verwandten, aber abweichenden Bedeutung verwendet.

== Definition ==
Für eine Wahrscheinlichkeit <math>0 < p < 1</math> heißt
:<math>\operatorname{probit}(p) = \Phi^{-1}(p)</math>
''Probit'' von <math>p</math>, wobei <math>\Phi</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.
Die Funktion <math>\operatorname{probit}\colon (0,1) \to \R</math> heißt auch '''Probit-Funktion'''. Wenn Wahrscheinlichkeiten <math> p \in (0,1)</math> in <math>\operatorname{probit}(p) \in \R</math> transformiert werden, spricht man auch von einer '''Probit-Transformation'''.

== Eigenschaften ==
* Es gilt
::<math> \operatorname{probit}(p) \begin{cases} < 0&\text{für }p < 1/2\\
= 0&\text{für }p = 1/2\\
> 0&\text{für }p > 1/2
\end{cases}\;.</math>
* Die Probit-Funktion besitzt die Symmetrieeigenschaft
::<math>\operatorname{probit}(1 - p) = -\operatorname{probit}(p)\quad\text{für alle } 0 < p < 1 </math>
* Die Probit-Funktion ist streng monoton und hat die Grenzwerte
::<math> \lim_{p \to 0} \operatorname{probit}(p) = -\infty\quad\text{und}\quad \lim_{p \to 1} \operatorname{probit}(p) = \infty\;. </math>
* Die Probit-Funktion ist differenzierbar und hat die Ableitungsfunktion
::<math> \operatorname{probit}'(p) = \frac{1}{\varphi(\Phi^{-1}(p))} > 0\quad \text{für alle } 0 < p < 1,</math>
:wobei <math>\varphi</math> die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.
* Die Probit-Funktion ist invertierbar. Ihre [[Umkehrfunktion]] ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
* Formal ist <math>\operatorname{probit}(p)</math> das <math>p</math>-[[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil]] der Standardnormalverteilung und die Probit-Funktion ist die [[Quantilfunktion]] einer [[standardnormalverteilt]]en Zufallsvariablen.

== Anwendungen ==
* Die Bezeichnung Probit hat sich in bestimmten Anwendungsgebieten der Statistik durchgesetzt, auch als sprachliche Parallele zu [[Logit]].
* Mit binären Regressionsmodellen wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer erklärten binären Variable mit den möglichen Werten 0 und 1 durch eine affin [[lineare Funktion]] erklärender Variablen bestimmt. Im [[Probit-Modell]]<ref>{{Literatur|Autor=[[Gerhard Tutz]] |Titel=Die Analyse kategorialer Daten – Anwendungsorientierte Einführung in Logit-Modellierung und kategoriale Regression |Verlag=Oldenbourg |Ort=München / Wien |Datum=2000 |ISBN=3-486-25405-7 |Fundstelle= 4.2.1 ''Probit-Modell'', S. 122}} </ref><ref>{{Literatur|Autor=[[Gerhard Tutz]] |Titel=Regression for Categorical Data |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=2012 |ISBN=978-1-107-00965-3 |Fundstelle=''Probit Model'', S. 123–124}}</ref> wird die Probit-Funktion zur Verbindung der Verteilung der erklärten Variablen mit den erklärenden Variablen verwendet,
::<math>\mathrm{probit}(P(Y_i =1)) =\beta_0 + \sum_{j=1}^p \beta_j x_{ij}\quad i=1,\dots,n\;. </math>
:Dabei ist <math>x_{ij}</math> der <math>i</math>-te beobachtete Werte der <math>j</math>-ten erklärenden Variablen und <math>n</math> ist die Anzahl der Beobachtungen. Eine häufig verwendete Alternative zum Probit-Modell ist das [[Logit-Modell]], bei dem die [[Logit-Funktion]] <math> \mathrm{logit}(p) = \ln(p/(1-p)</math> an die Stelle der Probit-Funktion tritt.
* Mit [[ordinale Regression|ordinalen Regressionsmodellen]] wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer erklärten ordinalen Variable, die eine endliche Anzahl von Kategorien hat, durch eine affin lineare Funktion erklärender Variablen bestimmt. Im ordinalen Probit-Modell werden in der Variante des kumulativen Modells für die erklärte [[kategoriale Variable]] mit <math>K</math> Kategorien die Wahrscheinlichkeiten <math>P(Y_i \leq k)</math> für <math>k=1,\dots,K</math> als
::<math>\mathrm{probit}(P(Y_i \leq k)) =\beta_{0k} + \sum_{j=1}^p \beta_j x_{ij}, \quad i=1,\dots,n</math>
:modelliert.<ref name="GT12-248">{{Literatur|Autor=[[Gerhard Tutz]] |Titel=Regression for Categorical Data |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=2012 |ISBN=978-1-107-00965-3 |Fundstelle=''Probit Model'', S. 248}}</ref> Dabei gilt <math>\beta_{01}\leq \beta_{02}\leq \dots \leq \beta_{0k}</math>. Wie im binären Probit-Modell kann anstelle der Probit-Funktion die Logit-Funktion verwendet werden.
* Im Bereich der [[Ökonometrie]] wird das Probit-Modell gerne verwendet, da es als ein Schwellenwert-Modell mit einem latenten normalverteilten Fehlerterm interpretiert werden kann.<ref>{{Literatur|Autor=[[Gerhard Tutz]] |Titel=Modelle für kategoriale Daten mit ordinalem Skalenniveau – Parametrische und nonparametrische Ansätze |Verlag=Vandenhoeck & Ruprecht |Ort=Göttingen |Datum=1990 |ISBN=3-525-11268-8 |Seiten=76–77}}</ref> Dagegen wird in biometrischen Anwendungen überwiegend die Logit-Variante des Modells verwendet, da die Logits Logarithmen der [[Odds]] (bzw. der kumulativen Odds im Fall des ordinalen Modells) sind, da Odds und [[Chancenverhältnis]]se im Bereich der Biometrie eine wichtige Rolle spielen.<ref name="GT12-248"/>

== Probitanalyse in der Biometrie ==
In der Biometrie heißt ein Teilgebiet der Untersuchung von Dosis-Wirkung-Beziehungen '''Probitanalyse'''<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Probitanalyse'', S. 307–309}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=D. J. Finney |Titel =Probit Analysis |Auflage=3 |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=1971}}</ref>. Dort findet sich folgende ''abweichende'' Terminologie für den Begriff ''Probit-Transformation''. Für eine Zufallsvariable <math>X</math>, deren dekadischer Logarithmus <math>\lg X</math> einer Normalverteilung mit den Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma^2</math> genügt, ist die Zufallsvariable <math> (\lg X - \mu)/\sigma</math> standardnormalverteilt und die Zufallsvariable <math>5 + (\lg X - \mu)/\sigma </math> nimmt mit sehr großer Wahrscheinlichkeit positive Werte an. Die Transformation der Messwerte
:<math> x \mapsto 5 + \frac{\lg x - \mu}{\sigma} </math>
heißt in diesem Zusammenhang ''Probit-Transformation''. In diesem Zusammenhang wird der zu einer Wahrscheinlichkeit <math>p</math> gehörende ''Probit'' als der Wert <math>\Phi^{-1}(p) + 5</math> definiert.<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Probitanalyse'', S. 308}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references/>
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Regressionsanalyse]]
[[Kategorie:Verallgemeinerte lineare Modelle]]

Probit - Versionsgeschichte

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