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2025-03-24T14:35:03Z

Verbindung zur riemannschen Zetafunktion

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Die '''Primzetafunktion''' ist eine [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktion]], die in der [[Analytische Zahlentheorie|analytischen Zahlentheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], eine Rolle spielt. Sie ist verwandt mit der [[Riemannsche Zetafunktion|Riemannschen Zetafunktion]]. Wie viele andere zahlentheoretische Funktionen erlangt sie ihre Bedeutung über die Verbindung zu den [[Primzahl]]en.

== Definition ==

Für eine [[komplexe Zahl]] <math> s </math>, deren [[Realteil]] größer als 1 ist, wird die Primzetafunktion über eine [[Dirichletreihe]] definiert, die sich über alle Primzahlen erstreckt.

:<math> P(s) = \sum_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{p^s} = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \ldots </math>

Obwohl diese Darstellung nur auf der um 1 verschobenen rechten Halbebene konvergiert, existiert eine Fortsetzung auf die komplette rechte [[Halbebene]] <math> \mathbb{H} = \{ s \in \mathbb{C} \mid \mathrm{Re}\, s > 0 \} </math>, die jedoch nicht in allen Punkten [[Meromorphe Funktion|meromorph]] ist.

== Verbindung zur riemannschen Zetafunktion ==

Es existiert ein Zusammenhang zwischen der Primzetafunktion und der [[Logarithmus|logarithmierten]] riemannschen Zetafunktion.<ref> Komaravolu Chandrasekharan: ''Einführung in die analytische Zahlentheorie''. Springer Verlag, 1965/66, Kapitel XI, Seite 2</ref> Dieser gilt für alle <math> \mathrm{Re}\, s > 1 </math> und drückt sich formelhaft aus über:

:<math> \log \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{P(ns)}{n} = P(s) + \frac{P(2s)}{2} + \frac{P(3s)}{3} + \frac{P(4s)}{4} + \ldots</math>.

Als einfache Beweismöglichkeit dieser Verbindung dient das [[Euler-Produkt]] der Zetafunktion. Mit

:<math> \zeta(s) = \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1 - p^{-s}} </math>

erhält man durch beidseitiges Logarithmieren:

:<math> \log \zeta(s) = \log \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1 - p^{-s}} = - \sum_{p \ \mathrm{prim}} \log \left( 1 - \frac{1}{p^s} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{P(ns)}{n}</math>.

Im letzten Schritt wurde die [[Taylorreihe]] des natürlichen Logarithmus um den Punkt <math> x = 1 </math> angewendet.

== Weitere Darstellungen ==

Über eine [[Möbius-Inversion]] erhält man die häufig genutzte Darstellung:

:<math> P(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns) = { \log \zeta(s) - \frac{1}{2} \log \zeta(2s) - \frac{1}{3} \log \zeta(3s) - \frac{1}{5} \log \zeta(5s) + \frac{1}{6} \log \zeta(6s) + \ldots }</math>,

wobei <math> \mu </math> hier die [[Möbiusfunktion]] bezeichnet. Dies ermöglicht eine (analytische) Fortsetzung der Primzetafunktion in [[Elementargebiet|elementare Bereiche]] der Halbebene <math> \{ s \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(s) > 1 \} \subset E \subset \{ s \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(s) > 0 \} </math>, in denen alle Funktionen <math> \log \zeta(sn) </math> mit <math> n = 1, 2, 3, \dotsc </math> holomorph sind. Außerdem kann die Formel für eine schnelle numerische Berechnung der Primzetafunktion herangezogen werden. Zum Beispiel fand [[Henri Cohen (Mathematiker)|Henri Cohen]] innerhalb weniger [[Millisekunde]]n:<ref>Henri Cohen: ''Number Theory, Volume II. Analytic and Modern Tools.'' Springer Verlag, S. 209.</ref>

:<math> \sum_{p \ \text{Primzahl}} \frac{1}{p^2} = 0{,}45224742004106549850654336483224793417323134323989 \dots </math>

Ferner folgt aus <math> P(s) \sim \log \zeta(s) \to \infty</math> für <math> s \to 1 </math>, dass die Reihe <math> 1/2 + 1/3 + 1/5 + \dotsb </math> der reziproken Primzahlen divergiert.

== Eigenschaften ==
Die Primzetafunktion ist eine auf ganz <math> \{ s \in \mathbb{C} \mid \mathrm{Re} \,s \, > 1\}</math> [[holomorphe Funktion]]. Sie besitzt für eine [[Quadratfrei|quadratfreie]], positive ganze Zahl <math> K </math> Singularitäten in Form von [[Verzweigung (Algebra)|Verzweigungspunkten]] an

* allen Stellen <math> s = 1/K </math>
* allen Stellen <math> s = \rho / K </math>, wobei <math> \rho </math> eine beliebige (''nicht-triviale'') [[Nullstelle]] der riemannschen Zetafunktion bezeichnet.

Dies wird unter Betrachtung der Darstellung

:<math> P(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns) </math>

deutlich, da der Logarithmus an allen Stellen <math>\textstyle \zeta(K\cdot \frac{\rho}{K}) = \zeta(\rho) = 0 </math> bzw. <math>\textstyle \zeta(K \cdot \frac{1}{K}) = \zeta(1) = \infty </math> und <math> \mu(K) \not= 0 </math> (bei <math> n = K </math> in der Summe) nicht definiert ist.

Da man weiß, dass die Riemannsche Zetafunktion im sog. ''kritischen Streifen'' <math> S = \{ s \in \mathbb{C} | 0 < \mathrm{Re}\, s < 1 \} </math> unendlich viele nicht-triviale Nullstellen besitzt, kommt es zu einer Verdichtung von Singularitäten auf der Geraden <math> \mathrm{Re}\, s = 0 </math>, die als natürliche Grenze des Definitionsbereichs der Primzetafunktion angesehen werden kann.

Des Weiteren gilt für alle <math> t </math>:
:<math> \lim_{\sigma \to \infty} P(\sigma + \mathrm{i}t) = 0</math>.

== Ableitung ==

Die Primzetafunktion ist in ganz <math> \{s \in \mathbb{C} | \mathrm{Re}\, s > 1 \} </math> [[Holomorphe Funktion|holomorph]]. Ein [[Differentialrechnung|Ableitungsausdruck]] ist:

:<math> P'(s) = - \sum_{p \ \mathrm{prim}} \frac{\log p}{p^s}</math>.

Für die <math> k </math>-te Ableitung gilt:

:<math> P^{(k)}(s) = (-1)^k \sum_{p \ \mathrm{prim}} \frac{(\log p)^k}{p^s}</math>.

== Stammfunktion ==

Eine [[Stammfunktion]] ist gegeben durch:

:<math> \int P(s) \ \mathrm{d}s = - \sum_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{p^s \log p} + C</math>.

== Spezielle Werte ==
Wie [[Leonhard Euler|Euler]] bereits beweisen konnte, ist die Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen divergent. Es gilt also:

:<math> P(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \ldots = \infty</math>.

Über sonstige ganzzahlige Werte der Primzetafunktion ist bis heute nichts bekannt. Dezimalentwicklungen sind:

:<math> P(2) = 0{,}45224\ 74200\ 41065\ 49850 \ldots </math> ({{OEIS|A085548}})
:<math> P(3) = 0{,}17476\ 26392\ 99443\ 53642 \ldots </math> ({{OEIS|A085541}})
:<math> P(4) = 0{,}07699\ 31397\ 64246\ 84494 \ldots </math> ({{OEIS|A085964}})

== Weblinks ==
* Eric W. Weisstein: [https://mathworld.wolfram.com/PrimeZetaFunction.html "Prime zeta function"] auf [[MathWorld]] (engl.)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Primzahl]]

Primzetafunktion - Versionsgeschichte

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