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'''Primzahlpotenzen''' (kurz ''Primpotenzen'') sind [[natürliche Zahl]]en, die eine [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] einer [[Primzahl]] <math>p</math> sind, z. B. <math>625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4</math>.

Primzahlpotenzen treten bei [[Endlicher Körper|endlichen Körpern]] auf. Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers ist immer eine Primzahlpotenz.

== Beispiele und Werte ==
* <math>169 = 13^2</math>
* <math>2401 = 7^4</math>
* <math>1024 = 2^{10}</math>

Die ersten Primzahlpotenzen sind:
:1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101 …<ref>{{Internetquelle |url=https://oeis.org/A000961 |titel=A000961 - OEIS |abruf=2021-11-19}}</ref>

Lässt man die einfachen Primzahlen, also die Primpotenzen mit 1 als Exponent, aus, erhält man:
:1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, 121, 125, 128, 169, 243, 256, 289, 343, 361, 512, 529, 625, 729, 841, 961, 1024, 1331 …<ref>{{Internetquelle |url=https://oeis.org/A025475 |titel=A025475 - OEIS |abruf=2021-11-19}}</ref>

== Modul ==
* <math>p\ge 5, p^2\equiv 1 \mod{\{2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}}</math>
* <math>p\ge 7, p^4\equiv 1 \mod{\{2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80\}}</math>
...
* <math>p\ge 23, p^{7920}\equiv 1 \mod{\{2 - 28, 30, ...\}}</math>
...

== Verallgemeinerung ==
In beliebigen kommutativen Ringen mit <math>1</math> werden Primzahlpotenzen durch [[primäres Ideal|primäre Ideale]] und [[irreduzibles Ideal|irreduzible Ideale]] verallgemeinert. In [[Dedekindring]]en sind Ideale genau dann primär bzw. irreduzibel, wenn sie von einer Potenz eines Primelementes erzeugt werden.

== Sonstiges ==
Im Film ''[[Cube (Film)|Cube]]'' (1997) markieren Primzahlpotenzen diejenigen Räume einer kubischen Labyrinthstruktur, die tödliche Fallen enthalten.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|PrimePower|Prime Power}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Primzahl]]

Primzahlpotenz - Versionsgeschichte

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