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2025-12-31T15:23:10Z

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Als '''Primzahllücke''' bezeichnet man die Differenz bzw. den Abstand zweier aufeinanderfolgender [[Primzahl]]en:
:<math>g_n= p_{n+1} - p_n</math>.
Die kleinste Primzahllücke und einzig ungerade Primzahllücke ist die zwischen den Primzahlen 2 und 3:
:<math>g_1= 3 - 2 = 1</math>.
Alle anderen Primzahllücken sind [[Parität (Mathematik)|gerade]], da 2 die einzige gerade Primzahl ist und somit die Differenz zwischen zwei anderen aufeinanderfolgenden Primzahlen, die selbst ungerade sind, immer gerade ist.

;Bemerkung 1:
Einige (wenige) Autoren bezeichnen mit Primzahllücke abweichend hiervon die Anzahl zusammengesetzter Zahlen zwischen zwei Primzahlen, d. h. eins weniger als nach der hier verwendeten Definition.<ref>Ich habe weder auf Papier noch im Internet solche Autoren gefunden, allerdings kann es nicht schaden, auf diesen möglichen Unterschied in der Definition hinzuweisen.</ref>
;Bemerkung 2:
Früher nannte man diese Größe ''Primzahlabstand''. Als Primzahllücke bezeichnete man besonders große Abstände benachbarter Primzahlen. Einen Primzahlabstand von 2 gibt es zwischen Primzahlzwillingen, zwischen denen sich eine gerade Zahl befindet.

== Auftreten von Primzahllücken ==
* Da eine Lücke der Länge 1 nur zwischen einer geraden und einer ungeraden Primzahl auftreten kann, kann es sie nur im Zusammenhang mit der Primzahl 2 geben und ist die zwischen 2 und 3.
* Abgesehen von dieser Lücke zwischen 2 und 3 ist die Länge einer Primzahllücke immer gerade.
* Ob es unendlich viele [[Primzahlzwilling]]e, d. h. Lücken der Länge 2 gibt, ist eines der großen [[Ungelöste Probleme der Mathematik|ungelösten Probleme der Mathematik]].
* Da es unendlich viele Primzahlen gibt, bilden die Längen der Primzahllücken eine (unendliche) [[Folge (Mathematik)|Folge]] mit den Anfangsgliedern:

:1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2 … ({{OEIS|A001223}}).

Aus der Definition von <math>g_i</math> folgt
:<math>p_{n+1} = 2 + \sum_{i=1}^n g_i</math> ,
wobei die 2 durch die kleinste Primzahl 2 entsteht.

== Konstruktion beliebig großer Primzahllücken der Länge ''k'' ==

Für jede beliebige natürliche Zahl <math>k</math> ist es trivial, die Existenz einer Primzahllücke mindestens der Länge <math>k</math> nachzuweisen.
Sei nämlich <math>N</math> eine [[natürliche Zahl]], die zu keiner der Zahlen <math>2, 3, \ldots, k</math> [[Teilerfremdheit|teilerfremd]] ist.
Dann sind auch die Zahlen <math>N+2, N+3, \ldots, N+k</math> nicht teilerfremd zu <math>N</math> und folglich keine Primzahlen.
Die größte Primzahl vor dieser Folge ist also höchstens gleich <math>N+1</math>, die kleinste nach dieser Folge hingegen mindestens <math>N+k+1</math>,
so dass die Länge dieser Primzahllücke mindestens <math>k</math> ist.

Für das Konstruieren eines <math>N</math> mit der geforderten Eigenschaft hat man verschiedene Möglichkeiten:
* Am einfachsten wählt man die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]], also <math>N = k!</math>
* Ebenso gut kann man das [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinste gemeinsame Vielfache]] der Zahlen von 1 bis <math>k</math> wählen, <math>N=\operatorname{kgV}(1,\ldots,k)</math>
* Den kleinstmöglichen trivial konstruierbaren Kandidaten für <math>N</math> findet man durch die [[Primorial|Primfakultät]], <math>N=k\#</math>. Ist <math>p</math> die kleinste Primzahl größer als <math>k</math>, so gilt <math>k\# = (p-1)\#</math>, d. h. man hat sogar automatisch eine Lücke der Länge <math>p-1</math> gefunden.

Obwohl im letzten Fall <math>N</math> so klein wie möglich gewählt wurde, ist dennoch die gefundene Lücke für k ≥ 4 nicht die ''erste'' Lücke der geforderten Länge.
Insofern leisten alle diese Verfahren zwar gleichwertig den Nachweis, dass beliebig große Lücken existieren, sind aber nicht zur Suche der ersten Lücke brauchbar.

=== Beispiel für ''k'' = 6 ===
Welche Lücken liefern die genannten Verfahren jeweils im Falle k = 6?

==== Die kleinste Lücke ====
Die erste Lücke der Länge 6 tritt zwischen 23 und 29 auf.

==== Nutzung der Fakultät ====
▶ Die Lücke zwischen k! + 1 und k! + k + 1

Berechnung und Verifikation: 6! beträgt 720 (Produkt von 1, 2, 3, 4, 5 und 6), wir haben hiermit eine Primzahllücke der Länge (mindestens) 6 zwischen 721 und 727.
: Da 720 durch 2 teilbar ist, ist es auch 720 + 2 = 722.
: Da 720 durch 3 teilbar ist, ist es auch 720 + 3 = 723.
: Da 720 durch 4 teilbar ist, ist es auch 720 + 4 = 724.
: Da 720 durch 5 teilbar ist, ist es auch 720 + 5 = 725.
: Da 720 durch 6 teilbar ist, ist es auch 720 + 6 = 726.
Man hat also eine Primzahllücke mindestens der Länge 6 zwischen den Primzahlkandidaten 721 und 727 gefunden. 
Da zusätzlich auch 721 = 7 · 103 keine Primzahl ist, ist die Lücke sogar noch größer.
In der Tat wird sie eingerahmt von den Primzahlen 719 und 727 und hat folglich die Länge 8.

==== Nutzung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ====
▶ Die Lücke zwischen kgV(1, ..., k) + 1 und kgV(1, ..., k) + k + 1

Berechnung und Verifikation: kgV(1, ..., 6) beträgt 60 (60 ist die kleinste Zahl, die durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist). Wir haben hiermit eine Primzahllücke der Länge (mindestens) 6 zwischen 61 und 67.
:Da 60 durch 2 teilbar ist, ist es auch 60 + 2 = 62.
:Da 60 durch 3 teilbar ist, ist es auch 60 + 3 = 63.
:Da 60 durch 4 teilbar ist, ist es auch 60 + 4 = 64.
:Da 60 durch 5 teilbar ist, ist es auch 60 + 5 = 65.
:Da 60 durch 6 teilbar ist, ist es auch 60 + 6 = 66.
Hiermit haben wir eine Lücke der Länge mindestens 6 zwischen 61 und 67 gefunden. 
Beides sind zufällig auch Primzahlen, daher hat die Lücke eine Länge von genau 6.

==== Nutzung der Primfakultät ====
▶ Die Lücke zwischen k# + 1 und k# + k + 1

Berechnung und Verifikation: 6# berechnet sich zu 2 · 3 · 5 = 30. Wir haben hiermit eine Primzahllücke der Länge (mindestens) 6 zwischen 31 und 37.
:Da 30 durch 2 teilbar ist, ist es auch 30 + 2 = 32.
:Da 30 durch 3 teilbar ist, ist es auch 30 + 3 = 33.
:Da 30 und 4 durch 2 teilbar sind, ist es auch 30 + 4 = 34.
:Da 30 durch 5 teilbar ist, ist es auch 30 + 5 = 35.
:Da 30 und 6 durch 2 teilbar sind, ist es auch 30 + 6 = 36.
Hiermit haben wir eine Lücke der Länge mindestens 6 zwischen 31 und 37 gefunden. 
Beides sind zufällig auch Primzahlen, daher hat die Lücke eine Länge von genau 6.

=== Wachstum der Funktionen ===
Schon das ausgeführte Beispiel <math>k=6</math> zeigt, dass die Fakultät die bei weitem am raschesten wachsende unter den betrachteten Funktionen ist. Für <math>k=10</math> ist der Größenunterschied zwischen <math>k!=3628800</math>, <math>\ \operatorname{kgV}(2,\ldots,10)=2520</math> und <math>k\#=210</math> noch deutlicher.
Dagegen tritt bereits zwischen 113 und 127 eine Lücke der Länge 14 auf, so dass also selbst die Konstruktion durch <math>k\#</math> zwar Lücken der Mindestlänge k findet, solch eine Lücke aber schon bei weitaus kleineren Zahlen auftritt.

Für z. B. k = 72 kann man sehen, das alle drei Verfahren sehr ineffizient sind und es wesentlich kleinere Primzahlen gibt, zwischen denen es k−1 zusammengesetzte Zahlen gibt:
* Die erste Lücke dieser Größe befindet sich zwischen 31.397 und 31.469. Das ist die kleinste Lösung.
* Die Konstruktion mittels Primfakultät liefert 557.940.830.126.698.960.967.415.391  und  557.940.830.126.698.960.967.415.363.
* Die Konstruktion mittels kleinstem gemeinsamen Vielfachen liefert 5.624.043.567.677.125.526.551.547.131.201  und  5.624.043.567.677.125.526.551.547.131.273.
* Die Konstruktion mittels Fakultät liefert 61.234.458.376.886.086.861.524.070.385.274.672.740.778.091.784.697.328.983.823.014.963.978.384.987.221.689.274.204.160.000.000.000.000.001&emsp; und&emsp; 61.234.458.376.886.086.861.524.070.385.274.672.740.778.091.784.697.328.983.823.014.963.978.384.987.221.689.274.204.160.000.000.000.000.073.

Dieses Beispiel (k = 72) ist in der folgenden Tabelle blau, das Beispiel aus dem vorherigen Absatz (k = 6) ist rot gefärbt.

=== Kenngrößen einer Primzahllücke ===

==== Merit einer Primzahllücke ====
:<math>g_n / \ln p_n</math>

Gibt an, um wie viel die Primzahllücke größer als der durchschnittliche Abstand zweier Primzahlen ist.
Bekannte Maximalwerte liegen knapp unter <math>\ln p_n</math>.

==== Cramér–Shanks–Granville-Verhältnis einer Primzahllücke ====
:<math>g_n / \ln^2 p_n</math>
Bestimmt wird diese Größe für Primzahlen pn ≥ 23.

Größter bekannter Wert für dieses Verhältnis ist 0,9206385885... für die Primzahl 1693182318746371.

{| class="wikitable" style="text-align:right"
! # || gn || Verhältnis || pn
|-
| 1 || 6 || 0,61029... || 23
|-
| 2 || 14 || 0,62644... || 113
|-
| 3 || 34 || 0,65756... || 1327
|-
| 4 || 72 || 0,67154... || 31397
|-
| 5 || 112 || 0,68125... || 370261
|-
| 6 || 148 || 0,70256... || 2010733
|-
| 7 || 210 || 0,73946... || 20831323
|-
| 8 || 456 || 0,79534... || 25056082087
|-
| 9 || 652 || 0,79753... || 2614941710599
|-
| 10 || 766 || 0,81776... || 19581334192423
|-
| 11 || 906 || 0,83112... || 218209405436543
|-
| 12 || 1132 || 0,92063... || 1693182318746371
|}

== Tabellen von Primzahllücken ==

[[Formelzeichen]]:
* pn:  n. Primzahl
* gn:  Abstand zwischen n. und (n+1). Primzahl
* k:  max. Primzahlabstand

{| class ="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:right; font-size:85%; width:400px; border:0"
|+ style="font-size:117%" | Jeweils größten Primzahllücken bis k = {{0}}100
|-
! rowspan="2" | Abstand <math>k</math>
! colspan="2" | Primzahl
! colspan="3" | Konstruktion mittels (✔=kleinste)
|-
! untere
! obere
! style="font-size:92%" | Primfakultät&emsp;<math>k \# + 1</math>
! style="font-size:92%" | Kleinstes gemeinsames Vielfaches&emsp;<math>\mathrm{kgV}(1,\ldots,k) + 1</math>
! style="font-size:92%" | Fakultät&emsp;<math>k! + 1</math>
|-
| 1 || 2 || 3 || ✔ 2 || ✔ 2 || ✔ 2
|-
| 2 || 3 || 5 || ✔ 3 || ✔ 3 || ✔ 3
|- style="background-image: linear-gradient(#F8F9FA,#F6F9FC)"
| 4 || 7 || 11 || ✔ 7 || 13 || 25
|- style="background:#FFF9F3"
| 6 || 23 || 29 || 31 || 61 || 721
|- style="background-image: linear-gradient(#F6F9FC,#F8F9FA)"
| 8 || 89 || 97 || 211 || 841 || 40.321
|-
| 14 || 113 || 127 || 30.031 || 360.361 || 87.178.291.201
|-
| 18 || 523 || 541 || 510.511 || 12.252.241 || 6.402.373.705.728.001
|-
| 20 || 887 || 907 || 9.699.691 || 232.792.561 || ≈ 2,4329 · 1018{{0}}
|-
| 22 || 1129 || 1151 || 9.699.691 || 232.792.561 || ≈ 1,1240 · 1021{{0}}
|-
| 34 || 1327 || 1361 || 200.560.490.131 || 144.403.552.893.601 || ≈ 2,9523 · 1038{{0}}
|-
| 36 || 9551 || 9587 || 200.560.490.131 || 144.403.552.893.601 || ≈ 3,7199 · 1041{{0}}
|-
| 44 || 15683 || 15727 || 13.082.761.331.670.031 || 9.419.588.158.802.421.601 || ≈ 2,6583 · 1054{{0}}
|- style="background-image: linear-gradient(#F8F9FA,#FAF9F8)"
| 52 || 19609 || 19661 || 614.889.782.588.491.411 || 3.099.044.504.245.996.706.401 || ≈ 8,0658 · 1067{{0}}
|- style="background:#F3F9FF"
| 72 || 31397 || 31469 || 557.940.830.126.698.960.967.415.391 || 5.624.043.567.677.125.526.551.547.131.201 || ≈ 6,1234 · 10103
|- style="background-image: linear-gradient(#FAF9F8,#F8F9FA)"
| 86 || 155921 || 156007 || 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.791 || 8.076.030.954.443.701.744.994.070.304.101.969.601 || ≈ 2,4227 · 10130
|-
| 96 || 360653 || 360749 || 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.311 || 718.766.754.945.489.455.304.472.257.065.075.294.401 || ≈ 9,9168 · 10149
|-
| colspan="6" class="hintergrundfarbe-basis" style="text-align:left; border:0" | '''Quelle:''' selbst ausgerechnet
|}

{| class ="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:right; font-size:85%; width:400px; border:0"
|+ style="font-size:117%" | Jeweils größten Primzahllücken bis k = {{0}}674
|-
! rowspan="2" | Abstand <math>k</math>
! colspan="2" | Primzahl
! rowspan="2" | Konstruktion mittels <math>k! + 1</math>
|-
! untere
! obere
|-
| 1 || 2 || 3 || 2
|-
| 2 || 3 || 5 || 3
|-
| 4 || 7 || 11 || 25
|-
| 6 || 23 || 29 || 721
|-
| 8 || 89 || 97 || 40.321
|-
| 14 || 113 || 127 || 8,7178 · 1010{{0|00}}
|-
| 18 || 523 || 541 || 6,4024 · 1015{{0|00}}
|-
| 20 || 887 || 907 || 2,4329 · 1018{{0|00}}
|-
| 22 || 1129 || 1151 || 1,1240 · 1021{{0|00}}
|-
| 34 || 1327 || 1361 || 2,9523 · 1038{{0|00}}
|-
| 36 || 9551 || 9587 || 3,.7199 · 1041{{0|00}}
|-
| 44 || 15683 || 15727 || 2,6583 · 1054{{0|00}}
|-
| 52 || 19609 || 19661 || 8,0658 · 1067{{0|00}}
|-
| 72 || 31397 || 31469 || 6,1234 · 10103{{0}}
|-
| 86 || 155921 || 156007 || 2,4227 · 10130{{0}}
|-
| 96 || 360653 || 360749 || 9,9168 · 10149{{0}}
|-
| 112 || 370261 || 370373 || 1,9745 · 10182{{0}}
|-
| 114 || 492113 || 492227 || 2,5436 · 10186{{0}}
|-
| 118 || 1349533 || 1349651 || 4,6845 · 10194{{0}}
|-
| 132 || 1357201 || 1357333 || 1,1182 · 10224{{0}}
|-
| 148 || 2010733 || 2010881 || 2,5563 · 10258{{0}}
|-
| 154 || 4652353 || 4652507 || 3,0898 · 10271{{0}}
|-
| 180 || 17051707 || 17051887 || 2,0090 · 10329{{0}}
|-
| 210 || 20831323 || 20831533 || 1,0582 · 10398{{0}}
|-
| 220 || 47326693 || 47326913 || 2,2839 · 10421{{0}}
|-
| 222 || 122164747 || 122164969 || 1,1205 · 10426{{0}}
|-
| 234 || 189695659 || 189695893 || 2,2670 · 10454{{0}}
|-
| 248 || 191912783 || 191913031 || 5,1933 · 10487{{0}}
|-
| 250 || 387096133 || 387096383 || 3,2329 · 10492{{0}}
|-
| 282 || 436273009 || 436273291 || 1,3291 · 10570{{0}}
|-
| 288 || 1294268491 || 1294268779 || 7,1968 · 10584{{0}}
|-
| 292 || 1453168141 || 1453168433 || 5,1252 · 10594{{0}}
|-
| 320 || 2300942549 || 2300942869 || 2,1161 · 10664{{0}}
|-
| 336 || 3842610773 || 3842611109 || 3,8852 · 10704{{0}}
|-
| 354 || 4302407359 || 4302407713 || 1,9081 · 10750{{0}}
|-
| 382 || 10726904659 || 10726905041 || 1,3738 · 10822{{0}}
|-
| 384 || 20678048297 || 20678048681 || 2,0205 · 10827{{0}}
|-
| 394 || 22367084959 || 22367085353 || 1,6234 · 10853{{0}}
|-
| 456 || 25056082087 || 25056082543 || 1,.5078 · 101016
|-
| 464 || 42652618343 || 42652618807 || 3,.0488 · 101037
|-
| 468 || 127976334671 || 127976335139 || 1,4439 · 101048
|-
| 474 || 182226896239 || 182226896713 || 1,5864 · 101064
|-
| 486 || 241160624143 || 241160624629 || 2,4021 · 101096
|-
| 490 || 297501075799 || 297501076289 || 1,3679 · 101107
|-
| 500 || 303371455241 || 303371455741 || 1,2201 · 101134
|-
| 514 || 304599508537 || 304599509051 || 9,1690 · 101171
|-
| 516 || 416608695821 || 416608696337 || 2,4366 · 101177
|-
| 532 || 461690510011 || 461690510543 || 7,9889 · 101220
|-
| 534 || 614487453523 || 614487454057 || 2,2736 · 101226
|-
| 540 || 738832927927 || 738832928467 || 5,4823 · 101242
|-
| 582 || 1346294310749 || 1346294311331 ||
|-
| 588 || 1408695493609 || 1408695494197 ||
|-
| 602 || 1968188556461 || 1968188557063 ||
|-
| 652 || 2614941710599 || 2614941711251 ||
|-
| 674 || 7177162611713 || 7177162612387 || 4,1282 · 101615
|-
| colspan="4" class="hintergrundfarbe-basis" style="text-align:left; border:0" | '''Quelle:''' selbst ausgerechnet
|}

{| class ="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:right; font-size:85%; width:400px; border:0"
|+ style="font-size:117%" | Jeweils größten Primzahllücken bis k = 1550
|-
! # !! ''gn'' !! ''pn'' !! ''n''
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| 1 || 1 || 2 || 1 || 41 || 468 || 127976334671 || 5217031687
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| 2 || 2 || 3 || 2 || 42 || 474 || 182226896239 || 7322882472
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| 3 || 4 || 7 || 4 || 43 || 486 || 241160624143 || 9583057667
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| 4 || 6 || 23 || 9 || 44 || 490 || 297501075799 || 11723859927
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| 5 || 8 || 89 || 24 || 45 || 500 || 303371455241 || 11945986786
|-
| 6 || 14 || 113 || 30 || 46 || 514 || 304599508537 || 11992433550
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| 7 || 18 || 523 || 99 || 47 || 516 || 416608695821 || 16202238656
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| 8 || 20 || 887 || 154 || 48 || 532 || 461690510011 || 17883926781
|-
| 9 || 22 || 1129 || 189 || 49 || 534 || 614487453523 || 23541455083
|-
| 10 || 34 || 1327 || 217 || 50 || 540 || 738832927927 || 28106444830
|-
| 11 || 36 || 9551 || 1183 || 51 || 582 || 1346294310749 || 50070452577
|-
| 12 || 44 || 15683 || 1831 || 52 || 588 || 1408695493609 || 52302956123
|-
| 13 || 52 || 19609 || 2225 || 53 || 602 || 1968188556461 || 72178455400
|-
| 14 || 72 || 31397 || 3385 || 54 || 652 || 2614941710599 || 94906079600
|-
| 15 || 86 || 155921 || 14357 || 55 || 674 || 7177162611713 || 251265078335
|-
| 16 || 96 || 360653 || 30802 || 56 || 716 || 13829048559701 || 473258870471
|-
| 17 || 112 || 370261 || 31545 || 57 || 766 || 19581334192423 || 662221289043
|-
| 18 || 114 || 492113 || 40933 || 58 || 778 || 42842283925351 || 1411461642343
|-
| 19 || 118 || 1349533 || 103520 || 59 || 804 || 90874329411493 || 2921439731020
|-
| 20 || 132 || 1357201 || 104071 || 60 || 806 || 171231342420521 || 5394763455325
|-
| 21 || 148 || 2010733 || 149689 || 61 || 906 || 218209405436543 || 6822667965940
|-
| 22 || 154 || 4652353 || 325852 || 62 || 916 || 1189459969825483 || 35315870460455
|-
| 23 || 180 || 17051707 || 1094421 || 63 || 924 || 1686994940955803 || 49573167413483
|-
| 24 || 210 || 20831323 || 1319945 || 64 || 1132 || 1693182318746371 || 49749629143526
|-
| 25 || 220 || 47326693 || 2850174 || 65 || 1184 || 43841547845541059 || 1175661926421598
|-
| 26 || 222 || 122164747 || 6957876 || 66 || 1198 || 55350776431903243 || 1475067052906945
|-
| 27 || 234 || 189695659 || 10539432 || 67 || 1220 || 80873624627234849 || 2133658100875638
|-
| 28 || 248 || 191912783 || 10655462 || 68 || 1224 || 203986478517455989 || 5253374014230870
|-
| 29 || 250 || 387096133 || 20684332 || 69 || 1248 || 218034721194214273 || 5605544222945291
|-
| 30 || 282 || 436273009 || 23163298 || 70 || 1272 || 305405826521087869 || 7784313111002702
|-
| 31 || 288 || 1294268491 || 64955634 || 71 || 1328 || 352521223451364323 || 8952449214971382
|-
| 32 || 292 || 1453168141 || 72507380 || 72 || 1356 || 401429925999153707 || 10160960128667332
|-
| 33 || 320 || 2300942549 || 112228683 || 73 || 1370 || 418032645936712127 || 10570355884548334
|-
| 34 || 336 || 3842610773 || 182837804 || 74 || 1442 || 804212830686677669 || 20004097201301079
|-
| 35 || 354 || 4302407359 || 203615628 || 75 || 1476 || 1425172824437699411 || 34952141021660495
|-
| 36 || 382 || 10726904659 || 486570087 || 76 || 1488 || 5733241593241196731 || 135962332505694894
|-
| 37 || 384 || 20678048297 || 910774004 || 77 || 1510 || 6787988999657777797 || 160332893561542066
|-
| 38 || 394 || 22367084959 || 981765347 || 78 || 1526 || 15570628755536096243 || 360701908268316580
|-
| 39 || 456 || 25056082087 || 1094330259 || 79 || 1530 || 17678654157568189057 || 408333670434942092
|-
| 40 || 464 || 42652618343 || 1820471368 || 80 || 1550 || 18361375334787046697 || 423731791997205041
|-
| colspan="9" class="hintergrundfarbe-basis" style="text-align:left; border:0" | '''Quelle:''' Englische Wikipedia-Seite, Berechnung bis 264
|}

{| class ="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:right; font-size:85%; width:459px; border:0"
|+ style="font-size:117%" | Weitere sehr große Primzahllücken
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! Merit !! ''gn'' !! Stellen !! ''pn'' !! Datum !! Entdecker
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| 41,938784 || {{0}}8350 || {{0|00}}87 || 29 37032 34068 02259 01587 23766 ⁞ 10441 94634 25709 07557 48117 62098 ⁞ 58879 82178 95728 85867 67281 43227{{0| ⁞}} || 2017 || Gapcoin
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| 39,620154 || 15900 || {{0}}175 || 3483347771 × 409#/{{0|00}}30 − 7016 || 2017 || Dana Jacobsen
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| 38,066960 || 18306 || {{0}}209 || {{0}}650094367 × 491#/2310 − 8936 || 2017 || Dana Jacobsen
|-
| 38,047893 || 35308 || {{0}}404 || {{0}}100054841 × 953#/{{0}}210 − 9670 || 2020 || Seth Troisi
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| 37,824126 || {{0}}8382 || {{0|00}}97 || {{0}}512950801 × 229#/5610 − 4138 || 2018 || Dana Jacobsen
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| colspan="6" class="hintergrundfarbe-basis" style="text-align:left; border:0" | '''Quelle:''' Englische Wikipedia-Seite
|}

== Obere Schranken ==
[[Joseph Bertrand]] zeigte folgende natürliche Begrenzung einer Primzahllücke: Für jedes <math>n > 1\ </math> gilt: zwischen <math>n\ </math> und <math>2n\ </math> liegt wenigstens eine Primzahl. Daraus folgt, dass eine Primzahllücke, begonnen bei <math>n\ </math>, nicht größer sein kann als <math>n\ </math> selbst.

Aus dem [[Primzahlsatz]] folgt, dass die Lücken für große <math>n</math> im Mittel logarithmisch mit <math>n</math> wachsen. Außerdem folgt aus dem Primzahlsatz: Für jedes <math>\epsilon > 0</math> gibt es eine Zahl <math>N</math>, so dass

:<math>g_n < p_n\epsilon</math>.

für alle <math>n > N</math> und

:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{g_n}{p_n}=0.</math>

[[Guido Hoheisel]] zeigte 1930<ref>Hoheisel, Primzahlprobleme in der Analysis, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, Band 33, 1930, S. 3–11</ref>, dass es eine Konstante <math> \theta < 1</math> gibt, so dass:

:<math>\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)} \text{ as } x \to \infty, </math>

und damit

:<math>g_n<p_n^\theta,\,</math>

für genügend große <math>n</math>. Der Wert von <math>\theta</math> konnte nach Hoheisel nahe 1 gewählt werden und wurde im Lauf der Zeit mehrfach verbessert:
* [[Hans Heilbronn]]: <math>\ \theta = \tfrac {249}{250}</math>,
* [[Nikolai Grigorjewitsch Tschudakow]]: <math>\ \theta > \tfrac {3}{4}</math>,
* [[Albert Ingham]]: <math>\ \theta > \tfrac {5}{8}</math>,
* [[Martin Huxley]]<ref>Huxley, On the difference between consecutive primes, Inv. Math., Band 15, 1972, S. 164–170</ref>: <math>\ \theta = \tfrac {7}{12}</math>,
* [[János Pintz]], Baker, Harman<ref>R. C. Baker, G. Harman, J. Pintz, The difference between consecutive primes, II, Proceedings of the London Mathematical Society, Band 83, 2001, S. 532–562</ref>: <math>\ \theta = \tfrac {21}{40}</math>.

2005 bewiesen [[Daniel Goldston]], János Pintz und [[Cem Yıldırım]], dass

:<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n}=0</math>

was sie 2007 auf

:<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}<\infty.</math>

verbesserten. 2014 zeigte [[Yitang Zhang]]<ref>Zhang, Buondes gaps between primes, Annals of Mathematics, Band 179, 2014, S. 1121–1174</ref>, dass

:<math>\liminf_{n\to\infty} g_n < 7\cdot 10^7,</math>

und dass es somit unendlich viele Primzahllücken gibt, die kleiner als 70 Millionen sind. Das konnte von [[James Maynard]] auf 600 gedrückt werden und vom Polymath-Projekt auf 246.

== Untere Schranken ==
1931 zeigte der Finne Erik Westzynthius (1901–1980), dass die maximale Primzahllücke mehr als logarithmisch wächst:

: <math> \limsup_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n}=\infty \,. </math>

1938 zeigte [[Robert Alexander Rankin]], dass es eine Konstante <math>c</math> gibt, so dass

:<math> g_n > \frac{c \cdot \log n \cdot \log\log n \cdot \log\log\log\log n}{(\log\log\log n)^2} </math>

für unendliche viele Werte von <math>n</math> erfüllt ist. Außerdem zeigte er, dass man dafür jede Konstante <math> c < e^{\gamma}</math> (mit <math>\gamma</math> der [[Euler-Mascheroni-Konstante]]) nehmen kann. [[János Pintz]] verbesserte das 1997 auf <math> c < 2 e^{\gamma}</math>. [[Paul Erdös]] vermutete, dass die Konstante <math>c</math> beliebig groß sein kann und lobte für den Beweis einen Preis von 10.000 Dollar aus. 2014 bewiesen unabhängig voneinander James Maynard einerseits und [[Terence Tao]] und Kollegen andererseits die Vermutung und außerdem, dass

: <math> g_n > \frac{\log n \cdot \log\log n \cdot \log\log\log\log n}{\log\log\log n} </math>

für unendlich viele Werte von <math>n</math>.<ref>James Maynard, Large gaps between primes, Annals of Mathematics, Band 183, 2016, S. 915–922</ref><ref>Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, Terence Tao, Large gaps between consecutive prime numbers, Ann. of Math., Band 183, 2016, S. 935–974</ref>

== Vermutungen ==
Unter Annahme der [[Riemannsche Vermutung|Riemannschen Vermutung]] zeigte [[Harald Cramér]] 1936, dass

:<math> g_n = O(\sqrt{p_n} \log p_n), </math>

mit Verwendung der [[Landau-Symbol]]e. Cramér vermutete, dass

:<math> g_n = O\left((\log p_n)^2\right). </math>

Nach einer Vermutung des Dänen [[Ludvig Oppermann]] (1817–1883) ist

:<math> g_n < \sqrt{p_n}.</math>

Aus der [[Vermutung von Andrica]] (eine Verschärfung der [[Vermutung von Legendre]]) folgt, dass

:<math> g_n < 2\sqrt{p_n} + 1.</math>

Die Vermutung von Polignac besagt, dass jede gerade Zahl <math>k</math> unendlich oft als Primzahllücke auftaucht, für <math>k=2</math> ist das die [[Primzahlzwilling]]svermutung. Nach Zhang Yitang ist sie für ein <math>k < 70.000.000</math> richtig.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Primzahlen: Primzahllücken}}
* {{MathWorld|PrimeGaps|Prime Gaps}}
* [http://primes.utm.edu/notes/gaps.html The Gaps Between Primes] (englisch)
* [http://www.trnicely.net/gaps/gaplist.html First occurrence prime gaps] by Thomas R. Nicely (englisch) -- Die Referenz-Website und aktuelles zum Thema Primzahllücken

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Primzahllucke}}
[[Kategorie:Primzahl]]

Primzahllücke - Versionsgeschichte

imported>Antonsusi am 31. Dezember 2025 um 15:23 Uhr