imported>Daniel5Ko: /* Einleitung */ Ja, von mir aus, aber das 'd' dort ergibt keinen Sinn.

2026-04-15T22:44:13Z

Einleitung: Ja, von mir aus, aber das 'd' dort ergibt keinen Sinn.

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Mit '''Primorial''' (von englisch ''primorial''), oder '''Primfakultät''', bezeichnet man das Produkt aller [[Primzahl]]en, die eine bestimmte Zahl nicht übersteigen. Die Begriffe sind eng mit der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] verwandt und kommen vor allem in dem [[Mathematik|mathematischen]] Gebiet der [[Zahlentheorie]] zum Einsatz.

Der Name ''Primorial'' ist das eingedeutschte englische Wort ''primorial,'' seinerseits ein [[Portemanteau-Wort|Portemanteau]] aus ''prime'' und ''factorial''. Das Produkt der Primzahlen kleiner gleich <math>n</math> wird allerdings im Deutschen selten ''Primorial'', noch seltener ''Primfakultät'' genannt. Meist wird es umschrieben als „''Produkt der Primzahlen kleiner gleich n''“.

== Definition ==
Für eine [[natürliche Zahl]] <math>n</math> ist die ''Primfakultät'' <math>n\#</math> definiert als das [[Multiplikation|Produkt]] aller Primzahlen kleiner gleich <math>n</math>:
:<math> n\# = \prod_{p \ \mathrm{prim}}^{p\,\leq\,n} \!\! p </math>
bzw. als <math>p_k\#</math>
:<math> p_k\# = \prod_{i=1}^{k} p_i </math> .

Beide unterschiedliche Definitionen sind in der mathematischen Schreibweise einfach zu unterscheiden und in sich konsistent, allerdings sind beide Definitionen
nicht durch den Funktionsnamen (Primorial, Primefactorial wie Primfakultät) zu unterscheiden.

:<math> \qquad\quad 7\# = \prod_{p \ \mathrm{prim}}^{p\,\leq\,7} \!\! p = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210</math> ,
:<math> p_4\# = 7\# = \prod_{i=1}^{4} p_i = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210</math> .

Manchmal unterscheidet man den Spezialfall, in dem <math>n</math> Primzahl ist, und definiert nur für diesen analog das ''Primorial'', das für nicht-prime <math>n</math> undefiniert bleibt.

Im Fall <math>n\leq 1</math> liegt das leere Produkt vor, der Wert der Primfakultät und des Primorials beträgt dann 1. Für Argumente <math>n</math>, die keine Primzahlen sind, besitzt das Primorial keine Werte. Die Primfakultät liefert für diese <math>n</math> den Wert, den die nächstkleinere Primzahl liefern würde.
Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet.

== Beispiel ==
Um den Wert des Primorials <math>7\#</math> zu berechnen, bestimmt man zunächst alle Primzahlen kleiner gleich 7. Diese sind 2, 3, 5 und 7. Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert <math>7\# = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 210</math>. Für 9 könnte man dagegen kein Primorial, wohl aber die Primfakultät berechnen – da 9 keine Primzahl ist und die nächstkleinere Primzahl die 7 und die nächstgrößere Primzahl die 11 ist, gilt <math>7\# = 8\# = 9\# = 10\# = 210</math>.

== Eigenschaften ==
[[Datei:Primorial n plot.png|mini|rechts|325px|Vergleich der Fakultät (gelb) und der Primfakultät (rot)]]

* Es seien <math>p</math> und <math>q</math> zwei benachbarte Primzahlen. Dann gilt für jede natürliche Zahl <math>n</math> mit <math>p\leq n<q</math>:
::<math>n\#=p\#</math>
* Für das Primorial kennt man folgende Abschätzung<ref>G. H. Hardy, E. M. Wright: ''An Introduction to the Theory of Numbers''. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1. Theorem 415, S. 341</ref>
::<math>n\#\leq 4^n</math>.
* Ferner gilt:
::<math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n\#} = e </math>
:Für <math>n<10^{11}</math> sind die Werte kleiner als [[Eulersche Zahl|<math>e</math>]],<ref>L. Schoenfeld: ''Sharper bounds for the Chebyshev functions <math>\theta(x)</math> and <math>\psi(x)</math>''. II. ''Math. Comp.'' Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359. Zitiert in: G. Robin: ''Estimation de la fonction de Tchebychef <math>\theta</math> sur le <math>k</math>-ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction <math>\omega(n)</math>, nombre de diviseurs premiers de <math>n</math>''. ''Acta Arithm.'' XLII (1983) 367–389 ([http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa42/aa4242.pdf PDF 731KB]); dort S. 371</ref> aber mit größeren <math>n</math> überschreiten die Werte der Funktion die Schranke <math>e</math> und oszillieren später unendlich oft um <math>e</math>.

* Ist <math>p_k</math> die <math>k</math>-te Primzahl, dann hat <math>p_k\#</math> genau <math>2^k</math> Teiler.
:Zum Beispiel hat die Zahl <math>2\#</math> zwei Teiler, <math>3\#</math> hat vier Teiler, <math>5\#</math> hat acht Teiler und <math>97\#</math> hat bereits <math>2^{25}</math> Teiler, denn 97 ist die 25. Primzahl.

* Die Summe der [[Kehrwert]]e der Primfakultät [[Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]] gegen eine Konstante
::<math>\sum_{k=1}^{\infty} {1 \over p_k\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} + {1 \over 210} + \ldots = 0{,}7052301717918\ldots</math>
:Die [[Engel-Entwicklung]] (eine spezielle [[Stammbruch|Stammbruch-Entwicklung]]) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe {{OEIS|A064648}})

* Der [[Satz von Euklid]] nutzt den Ausdruck <math>p\# + 1</math> für den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

== Funktionswerte bis 100 ==

{| class="wikitable" style="text-align:right; float:left; margin-right:1em;"
! n !! n#
|-
| 2{{0|00}} || 2
|-
| 3…4{{0|00}} || 6
|-
| 5…6{{0|00}} || 30
|-
| 7…10{{0}} || 210
|-
| 11…12{{0}} || 2.310
|-
| 13…16{{0}} || 30.030
|-
| 17…18{{0}} || 510.510
|-
| 19…22{{0}} || 9.699.690
|-
| 23…28{{0}} || 223.092.870
|-
| 29…30{{0}} || 6.469.693.230
|-
| 31…36{{0}} || 200.560.490.130
|-
| 37…40{{0}} || 7.420.738.134.810
|-
| 41…42{{0}} || 304.250.263.527.210
|-
| 43…46{{0}} || 13.082.761.331.670.030
|-
| 47…52{{0}} || 614.889.782.588.491.410
|-
| 53…58{{0}} || 32.589.158.477.190.044.730
|-
| 59…60{{0}} || 1.922.760.350.154.212.639.070
|-
| 61…66{{0}} || 117.288.381.359.406.970.983.270
|-
| 67…70{{0}} || 7.858.321.551.080.267.055.879.090
|-
| 71…72{{0}} || 557.940.830.126.698.960.967.415.390
|-
| 73…78{{0}} || 40.729.680.599.249.024.150.621.323.470
|-
| 79…82{{0}} || 3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130
|-
| 83…88{{0}} || 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790
|-
| 89…96{{0}} || 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310
|-
| 97…100 || 2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070
|}
{| class="wikitable" style="text-align:right; float:left; margin-right:1em;"
! k !! pk !! pk#
|-
| 1 || 2 || 2
|-
| 2 || 3 || 6
|-
| 3 || 5 || 30
|-
| 4 || 7 || 210
|-
| 5 || 11 || 2.310
|-
| 6 || 13 || 30.030
|-
| 7 || 17 || 510.510
|-
| 8 || 19 || 9.699.690
|-
| 9 || 23 || 223.092.870
|-
| 10 || 29 || 6.469.693.230
|-
| 11 || 31 || 200.560.490.130
|-
| 12 || 37 || 7.420.738.134.810
|-
| 13 || 41 || 304.250.263.527.210
|-
| 14 || 43 || 13.082.761.331.670.030
|-
| 15 || 47 || 614.889.782.588.491.410
|-
| 16 || 53 || 32.589.158.477.190.044.730
|-
| 17 || 59 || 1.922.760.350.154.212.639.070
|-
| 18 || 61 || 117.288.381.359.406.970.983.270
|-
| 19 || 67 || 7.858.321.551.080.267.055.879.090
|-
| 20 || 71 || 557.940.830.126.698.960.967.415.390
|-
| 21 || 73 || 40.729.680.599.249.024.150.621.323.470
|-
| 22 || 79 || 3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130
|-
| 23 || 83 || 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790
|-
| 24 || 89 || 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310
|-
| 25 || 97 || 2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070
|}
{{Absatz}}
(Siehe {{OEIS|A002110}})

== Quellen ==

<references />

== Weblinks ==
* [http://www.luschny.de/math/factorial/PrimeProxy.htm Primfakultät und Primorial]

[[Kategorie:Zahlentheorie]]

[[ru:Факториал#Праймориал или примориал]]

Primorial - Versionsgeschichte

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