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2025-11-27T22:22:56Z

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Das '''Primonengas''' ist ein [[Toy-Modell|Beispielmodell]], das einzelne Konzepte aus der [[Quantenphysik]], der Physik der [[Thermodynamik|Wärme]] und der [[Zahlentheorie]] verbindet. Es besteht aus hypothetischen Teilchen, den '''Primonen''', die so heißen, weil ihre Energie von [[Primzahlen]] bestimmt wird.

== Übersicht ==

Die Idee des Primonengases geht zurück auf [[Bernard Julia]].<ref>Bernard L. Julia: ''Statistical theory of numbers.'' In: J. M. Luck, P. Moussa, M. Waldschmidt (Hrsg.): ''Number Theory and Physics. Proceedings of the Winter School'', Les Houches, France, March 7-16, 1989' (Springer Proceedings in Physics, Vol. 47) Springer, Berlin 1990, ISBN 0387521291, S. 276–293.</ref>

Primonen sind [[Bosonen]] und wechselwirken nicht miteinander, beispielsweise stoßen sie nicht miteinander zusammen.

== Quantentheoretische Beschreibung ==

=== Einzelnes Primon ===

Die [[Eigenzustand|Eigenzustände]] der einzelnen Teilchen haben Energien, die proportional zu den Logarithmen <math>\log p</math> der Primzahlen sind:

:<math>H |p\rangle = E_p |p\rangle</math>

mit

:<math>E_p = E_0 \log p. </math>

Bei dieser „Nummerierung“ der Eigenzustände mit einer [[Teilmenge]] der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] werden keine Eigenzustände „weggelassen“; sie ist lediglich eine praktische Namensgebung.

=== Vielteilchensystem ===

Ein Eigenzustand eines Systems aus beliebig vielen Primonen kann, da es sich um Bosonen handelt, so beschrieben werden: im Zustand zur Primzahl <math>p</math> befinden sich <math>k_p</math> Teilchen ([[Fockraum]]).

Dies ist analog zur [[Primfaktorzerlegung]] einer natürlichen Zahl <math>n</math>, bei der der Primfaktor <math>p</math> in der <math>k_p</math>-ten Potenz auftritt. Da jede natürliche Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat ([[Primfaktorzerlegung#Fundamentalsatz der Arithmetik|Fundamentalsatz der Arithmetik]]), entspricht jede natürliche Zahl <math>n</math> einem Zustand des Primonengases und umgekehrt. Die Zahl <math>n</math> enthält dabei die gesamte Information über die Besetzungszahlen der Einteilchenzustände (sie ist aber nicht die Gesamtzahl der Primonen). Es liegt daher nahe, den Zustand durch diese Zahl <math>n</math> zu benennen.

:<math>|n\rangle = |k_2, k_3, k_5, k_7, k_{11} \ldots, k_p \ldots\rangle</math>

mit

:<math>n = 2^{k_2} \cdot 3^{k_3} \cdot 5^{k_5} \cdot 7^{k_7} \cdot 11^{k_{11}} \ldots p^{k_p} \ldots</math>

Die Energie des Vielteilchenzustandes ist

:<math> E(n) = \sum_p k_p E_p = E_0 \cdot \sum_p k_p \log p = E_0 \log n</math>

=== Beispiele ===

* Der Zustand <math>|1\rangle</math> enthält keine Primonen und hat die Gesamtenergie 0.
* Der Zustand <math>|256\rangle</math> enthält acht Teilchen im Zustand 2 (dem niedrigsten Einteilchenzustand) und hat die Energie <math>\log(256) E_0</math>.
* Der Zustand <math>|360\rangle</math> enthält drei Teilchen im Zustand 2, zwei Teilchen im Zustand 3 und ein Teilchen im Zustand 5. Die Gesamtenergie ist <math>\log(360) E_0</math>.

== Thermodynamische Beschreibung ==

Die [[kanonische Zustandssumme]] <math>Z</math> ist gleich der [[Riemannsche ζ-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]]:

:<math>Z(T) := \sum_{n=1}^\infty \exp \left(\frac{-E(n)}{k_\mathrm B T}\right) = \sum_{n=1}^\infty \exp \left(\frac{-E_0 \log n}{k_\mathrm B T}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \zeta (s) </math>

Dabei ist <math>s=E_0/k_\mathrm BT</math>, <math>k_\mathrm B</math> die [[Boltzmann-Konstante]] und <math>T</math> die Temperatur in Kelvin. Die Divergenz der Zeta-Funktion bei <math>s=1</math> entspricht der Divergenz der Zustandssumme bei der [[Rolf Hagedorn|Hagedorn]]-Temperatur <math>T=E_0/k_\mathrm B</math>.

== Fermionen ==

Man kann alternativ auch fermionische Primonen betrachten.

Dabei kann jeder Einteilchenzustand nur einmal besetzt sein. Auch dies führt zu einer interessanten zahlentheoretischen Aussage: die Zahlen <math>n</math> müssen dann nämlich [[quadratfrei]] sein.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [[John Baez]]: ''[https://math.ucr.edu/home/baez/week199.html This Week's Finds in Mathematical Physics, Week 199].'' 8. Dezember 2003 (engl.)

[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Primonengas - Versionsgeschichte

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