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2020-09-11T18:09:06Z

Isomorphietyp der Primkörper: noch ein unendliches Beispiel

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Der '''Primkörper''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] [[Algebra]] mit zwei unterschiedlichen Bedeutungen. Zum einen wird der kleinste Teilkörper eines [[Körper (Algebra)|Körpers]] als dessen Primkörper bezeichnet, zum anderen wird der Begriff für [[Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen verwendet, wobei <math>p</math> eine [[Primzahl]] ist.<ref>Martin Bossert: ''Kanalcodierung.'' 2. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1998, ISBN 3-519-16143-5, S. 35–36</ref> Beide Definitionen sind eng verwandt, da der Primkörper eines Körpers mit [[Charakteristik (Algebra)|Primzahlcharakteristik]] ein Primkörper gemäß der zweiten Definition ist.

== Isomorphietyp der Primkörper ==

Die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] eines Körpers legt den Isomorphietyp seines Primkörpers fest. Da ein Körper immer ein [[Integritätsring#Charakteristik|Integritätsring]] ist, kann seine Charakteristik nur 0 oder eine Primzahl sein. Ist die Charakteristik 0, so ist der Primkörper isomorph zum Körper <math>\Q</math> der [[rationale Zahl|rationalen Zahlen]]. Dies impliziert, dass Körper, deren Charakteristik 0 ist, immer unendlich sind, schließlich enthalten sie immer <math>\Q</math>. Ist sie hingegen eine Primzahl <math>p</math>, so ist der Primkörper isomorph zum [[Restklassenkörper]] <math>\mathbb F_p</math>. Hieraus lässt sich aber nicht folgern, dass Körper mit Primzahlcharakteristik immer endlich sind. Auch unendliche Körper können endliche Primkörper besitzen. Ein Beispiel hierfür ist der [[algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] <math>\overline{\mathbb{F}_p}</math> von <math>\mathbb{F}_p</math> oder der Körper <math>\mathbb{F}_p(X)</math> der [[rationale Funktion|rationalen Funktionen]] über <math>\mathbb{F}_p</math>.

== Weitere Eigenschaften von Primkörpern ==

* Der Primkörper ist der Durchschnitt aller Teilkörper eines Körpers.
* Jeder Körper ist [[Körpererweiterung|Oberkörper]] seines Primkörpers.
* Es lässt sich zeigen, dass die Ordnung jedes endlichen Körpers eine Potenz der Ordnung seines Primkörpers ist.
* Alle Primkörper sind [[Starrer Körper (Algebra)|starr]], d. h., sie besitzen nur den trivialen [[Automorphismus]]. Der Primkörper eines beliebigen Körpers kann also auf eindeutige Weise mit einem der oben genannten Körper identifiziert werden.

== Literatur ==
* [[Christian Karpfinger]], Kurt Meyberg: ''Algebra. Gruppen – Ringe – Körper.'' Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 9783827420183, S. 209

== Einzelnachweise ==
<references/>

{{SORTIERUNG:Primkorper}}
[[Kategorie:Körper (Algebra)]]
[[Kategorie:Körpertheorie]]

[[en:Characteristic (algebra)#Case of fields]]
[[fr:Caractéristique d'un anneau#Propriétés sur les Corps]]

Primkörper - Versionsgeschichte

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