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2025-09-21T22:33:17Z

Lying Over und Going Down

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In der [[Ringtheorie]] ist ein '''Primideal''' eine [[Teilmenge]] eines [[Ringtheorie|Ringes]], die sich ähnlich wie eine [[Primzahl]] als Element der ganzen Zahlen verhält.

== Definitionen ==

Es sei <math>R</math> ein [[Ringtheorie|Ring]]. Dann heißt ein [[Ideal (Ringtheorie)|zweiseitiges Ideal]] <math>\mathfrak{p} \subseteq R</math> '''Primideal''' oder '''prim''', falls <math>\mathfrak{p}</math> [[Ideal (Ringtheorie)#Besondere Ideale|echt]] ist, also <math>\mathfrak{p} \neq R</math>, und wenn für alle Ideale <math>\mathfrak{a, b} \subseteq R</math> gilt:<ref>Louis H. Rowen: ''Ring Theory.'' Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (''Pure and Applied Mathematics'' 127), Definition 2.2.3'</ref>
: Aus <math>\mathfrak{ab} \subseteq \mathfrak{p}</math> folgt <math>\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}</math> oder <math>\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{p}.</math>

Außerdem heißt <math>\mathfrak{p}</math> '''vollständiges Primideal''' oder '''vollprim''', falls <math>\mathfrak{p}</math> echt ist und wenn für alle <math>a, b \in R</math> gilt:
: Aus <math>ab \in \mathfrak{p}</math> folgt <math>a \in \mathfrak{p}</math> oder <math>b \in \mathfrak{p}.</math>

=== Äquivalente Definitionen ===

* Ein zweiseitiges Ideal <math>\mathfrak{p}\subseteq R</math> ist genau dann ''prim'', falls es echt ist und wenn für alle <math>a, b \in R</math> gilt:
: Aus (für alle <math>r \in R</math> gilt <math>arb \in \mathfrak{p}</math>) folgt (<math>a \in \mathfrak{p}</math> oder <math>b \in \mathfrak{p}</math>).
* Ein zweiseitiges Ideal <math>\mathfrak{p}\subseteq R</math> ist genau dann ''vollprim'', falls es echt ist und wenn der [[Faktorring]] <math>R/\mathfrak{p}</math> [[nullteiler]]frei ist.

=== Spektrum ===

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings <math>R</math> heißt [[Spektrum eines Ringes|Spektrum]] von <math>R</math> und wird mit <math>\mathrm{Spec} (R)</math> notiert.

== Eigenschaften ==

* Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das [[Nullideal]] im [[Matrizenring|Ring der reellen <math>2\times 2</math>-Matrizen]] prim, aber nicht vollprim.
* In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.
In kommutativen Ringen <math>R</math> mit Einselement gilt:
* Ein Element <math>p \in R\backslash\left\{0\right\}</math> ist genau dann ein [[Primelement]], wenn das von <math>p</math> erzeugte [[Hauptideal]] <math>(p)</math> ein Primideal ist.<ref>K. Meyberg: ''Algebra, Teil 1'', [[Carl Hanser Verlag]] München (1975), ISBN 3-446-11965-5, Satz 3.6.5</ref>
* Ein Ideal <math>\mathfrak{p} \subset R</math> ist genau dann prim, wenn der [[Ringtheorie#Faktorring|Faktorring]] <math>R/\mathfrak{p}</math> ein [[Integritätsring]] ist.
* Enthält ein Primideal einen Durchschnitt <math>\mathfrak{a}_1\cap\ldots\cap\mathfrak{a}_n</math> von endlich vielen Idealen von <math>R</math>, so enthält es auch eines der Ideale <math>\mathfrak{a}_i</math>.
* Ein Ideal <math>\mathfrak{p} \subset R</math> ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge <math>S=R\setminus \mathfrak{p}</math> multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierung]] nach <math>\mathfrak{p}</math>, worunter man den Ring <math>S^{-1}R</math> versteht, den man auch als <math>R_\mathfrak{p}</math> schreibt.<ref>Ernst Kunz: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'', Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel III, § 4, Beispiel d) hinter Satz 3.5</ref>

== Beispiele ==

* Die Menge <math>2\mathbb{Z}</math> der [[Parität (Mathematik)|geraden]] [[ganze Zahl|ganzen Zahlen]] ist ein Primideal im Ring <math>\mathbb{Z}</math> der [[ganze Zahlen|ganzen Zahlen]], da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
* Die Menge <math>6\mathbb{Z}</math> der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in <math>\mathbb{Z}</math>, da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
* Im Ring <math>R=2\Z</math> ist das maximale Ideal <math>\mathfrak{m}=4\Z</math> kein Primideal.
* Ein [[maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m}\subseteq R</math> eines Ringes <math>R</math> ist genau dann prim, wenn <math>RR \nsubseteq \mathfrak{m}</math>. Insbesondere ist <math>\mathfrak{m}</math> prim, falls <math>R</math> ein Einselement enthält.
* Das [[Nullideal]] <math>(0)\subset R</math> in einem kommutativen Ring <math>R</math> mit Einselement ist genau dann ein Primideal, wenn <math>R</math> ein [[Integritätsring|Integritätsbereich]] ist. In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht.
* Das Urbild eines Primideals unter einem [[Ringhomomorphismus]] kommutativer Ringe ist entweder der ganze Ring oder ein Primideal. Das gilt nicht allgemein, so ist etwa das Nullideal im Ring der <math>n \times n</math>-Matrizen über einem Körper prim, aber dessen Urbild unter der Inklusion des Rings der (oberen oder unteren) <math>n \times n</math>-Dreiecksmatrizen über dem Körper nicht.

== Lying Over und Going Down ==

Im Folgenden sei stets <math> R </math> ein kommutativer Ring und <math> R \subset S </math> eine [[Ganzes Element|ganze Ringerweiterung]]. Dann existiert zu jedem Primideal <math> \mathfrak{p} \subset R </math> ein Primideal <math> \mathfrak{q} \subset S </math>, so dass <math> \mathfrak{q} </math> ''über'' <math> \mathfrak{p} </math> ''liegt'', d. h.
: <math> \mathfrak{p} = \mathfrak{q} \cap R </math>.

In diesem Fall sagt man auch, dass <math> S/R </math> die ''Lying Over'' Eigenschaft erfüllt. Ist zudem <math> f\colon R \hookrightarrow S </math> eine Einbettung von <math> R </math> in <math> S </math>, so ist die von <math> f </math> induzierte Abbildung <math> f^*\!\colon\, \mathrm{Spec}(S) \longrightarrow \mathrm{Spec}(R) </math> mit <math> \mathfrak{q} \longmapsto f^{-1}(\mathfrak{q}) </math> [[Surjektive Funktion|surjektiv]].

Des Weiteren erfüllt <math> S/R </math> die ''Going Down'' Eigenschaft, falls folgendes gilt: Ist
: <math> \mathfrak{p}_1 \supseteq \mathfrak{p}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{p}_n </math>
eine Kette von Primidealen in <math> R </math> und
: <math> \mathfrak{q}_1 \supseteq \mathfrak{q}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_m </math>
eine Kette von Primidealen in <math> S </math> mit <math> m < n </math>, so dass außerdem <math> \mathfrak{q}_i </math> über <math> \mathfrak{p}_i </math> liegt für alle <math> 1 \leq i \leq m </math>, so lässt sich letztere zu einer Kette
: <math> \mathfrak{q}_1 \supseteq \mathfrak{q}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_n </math>
ergänzen, so dass jedes <math> \mathfrak{q}_i </math> über <math> \mathfrak{p}_i </math> liegt. Diese ist unter anderem dann erfüllt, wenn <math> R, S </math> [[Integritätsring]]e sind und <math> R </math> ganzabgeschlossen ist.

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Primideal - Versionsgeschichte

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