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Die '''Primfaktorzerlegung''' ist die Darstellung einer positiven [[natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] <math>n\in\N^+</math> als [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] aus [[Primzahl]]en <math>p\in\mathbb P,</math> die dann als '''Primfaktoren''' von <math>n</math> bezeichnet werden. Diese Darstellung ist eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren; es ist eine [[Multimenge]]) und zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der [[Zahlentheorie]]. Sie ist Gegenstand des [[#Fundamentalsatz der Arithmetik|Fundamentalsatzes der Arithmetik]]. Es ist bisher kein [[Effizienz (Informatik)|effizientes]] [[Faktorisierungsverfahren]] bekannt, um die Primfaktorzerlegung einer beliebigen Zahl zu erhalten.

{| class="wikitable sortable float-right" style="line-height:133%; text-align:right"
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!rowspan="2"| Zahl
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== Definitionen ==
Sei <math>n</math> eine natürliche Zahl. Eine Zahl <math>p</math> heißt ''Primfaktor'' von <math>n</math>,
* wenn <math>p</math> ein [[Teilbarkeit|Teiler]] von <math>n</math> ist und
* <math>p</math> eine [[Primzahl]] ist.

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung der Zahl <math>n</math> als Produkt ihrer Primfaktoren. Da die [[Multiplikation]] für [[reelle Zahl]]en [[Kommutativgesetz|kommutativ]] und [[Assoziativgesetz|assoziativ]] ist, ist die Reihenfolge der Primfaktoren aus Sicht der Zahlentheorie unwichtig. Die Primfaktorzerlegung der [[Eins]] kann als [[leeres Produkt]] betrachtet werden. Wenn <math>n</math> selbst eine Primzahl ist, so ist sie selbst ihr einziger Primfaktor. Gibt es mehr als einen Primfaktor, so wird <math>n</math> als [[zusammengesetzte Zahl]] bezeichnet. [[Null]] ist niemals Teil der [[Multiplikative Gruppe|multiplikativen Gruppe]] und wird von solchen Betrachtungen ausgeschlossen. Ein Primfaktor kann mehrfach auftreten und daher muss in gewissen Kontexten die Zählweise (mit Vielfachheiten oder lediglich wie viele verschiedene) angegeben werden. Mehrfach auftretende Primfaktoren können mittels [[Potenz (Mathematik)|Exponenten]]<nowiki/>schreibweise gut lesbar zusammengefasst werden. Sind die <math>M</math> verschiedenen Primfaktoren <math>p_1, \dots, p_M</math> aufsteigend [[Ordnungsrelation|geordnet]] (<math>p_k < p_{k+1}</math>), spricht man auch von der ''kanonischen Primfaktorzerlegung'':
:<math>n=p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \dotsm p_M^{e_M} = \prod_{k=1}^{M} p_k^{e_k}</math>

Der Exponent <math>e_k</math> eines Primfaktors <math>p_k</math> ist die '''Vielfachheit''' von <math>p_k</math> in <math>n</math> und wird auch als <math>p_k</math>-[[Bewertungstheorie|Bewertung]] von <math>n</math> bezeichnet. Er gibt an, wie oft <math>n</math> durch <math>p_k</math> teilbar ist. Mit Vielfachheit gezählt hat <math>n</math> dann <math display="inline">N=e_1 + \dots + e_M=\sum_{k=1}^M e_k</math> Primfaktoren.

Eine äquivalente Schreibweise ist
:<math>n = \prod_{p\in\mathbb P} p^{e_p}~,</math>
wobei die Exponenten <math>e_p\in\N_0</math> nur für endlich viele <math>p\in\mathbb P</math> von 0 verschieden sind.

== Beispiele für Primfaktorzerlegungen ==
:<math>30 = 2 \cdot 3 \cdot 5</math>
:<math>37 = 37 \ </math> (Primzahl)
:<math>1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13</math>
:<math>1024 = \underbrace {2 \cdots 2}_{\text{10-mal}} = 2^{10}</math> ([[Zweierpotenz]])
:<math>6936 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 17</math>, mit der kanonischen Darstellung <math>2^3 \cdot 3 \cdot 17^2</math>
:<math>10000 = 2^4 \cdot 5^4 </math> ([[Zehnerpotenz]])

== Fundamentalsatz der Arithmetik ==
Die Aussagen für Existenz der Primfaktorzerlegung für jede natürliche Zahl und deren Eindeutigkeit in der kanonischen Darstellung sind der '''Fundamentalsatz der Arithmetik''', auch ''Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie'' genannt. Beide Aussagen werden getrennt formuliert und bewiesen. Die Beweise sind elementar, werden klassisch als [[Widerspruchsbeweis]] formuliert und nutzen die [[Wohlordnung]] der natürlichen Zahlen. Zum ersten Mal vollständig und korrekt bewiesen findet sich der Fundamentalsatz der [[Arithmetik]] in den [[Disquisitiones Arithmeticae]] von [[Carl Friedrich Gauß]]. Er war aber bereits – wenn auch in leicht abgewandelter Form – [[Euklid]] bekannt.<ref>Franz Lemmermeyer: [https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~flemmermeyer/publ/euk-1.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20200729091810/https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~flemmermeyer/publ/euk-1.pdf|url-status=dead Zur Zahlentheorie der Griechen] (PDF; 208 kB)</ref>

=== Beweis der Existenz ===
Für <math>0\in\N</math> und <math>1\in\N</math> ist nichts zu zeigen (vgl. [[Teilbarkeit#Definition|Teilbarkeit]]). Jede Primzahl ist selbst ihre Primfaktorzerlegung. Zu zeigen bleibt, dass für die restlichen natürlichen Zahlen eine Primfaktorzerlegung existiert.

Angenommen werde die Existenz solcher restlicher Zahlen, für die ''keine'' Primfaktorzerlegung existiert. Aufgrund der [[Wohlordnung]] von <math>\N</math> existiert dann eine kleinste solche Zahl <math>n</math>. Da <math>n>1</math> keine Primzahl ist, hat <math>n</math> nichttriviale [[Teilbarkeit|Teiler]] <math>a,b \in \N</math> mit <math>a\cdot b=n</math>, wobei <math>1 < a, b < n</math>. Da <math>n</math> die kleinste Zahl ist, für die keine Primfaktorzerlegung existiert, existiert für <math>a</math> (bzw. <math>b</math>) eine Primfaktorzerlegung <math>a = \Pi p_i</math> (bzw. <math>b = \Pi q_j</math>). Dann ist <math>\Pi p_i \cdot \Pi q_j</math> eine Primfaktorzerlegung von <math>n</math>, im Widerspruch zur Annahme.

=== Beweis der Eindeutigkeit ===
Für <math>0\in\N</math>, <math>1\in\N</math> und Primzahlen ist nichts zu zeigen. Zu zeigen bleibt, dass für die restlichen natürlichen Zahlen höchstens eine Primfaktorzerlegung existiert.

Angenommen werde die Existenz solcher restlicher Zahlen, für die ''jeweils mehrere unterschiedliche'' Primfaktorzerlegungen koexistieren. Aufgrund der [[Wohlordnung]] von <math>\N</math> existiert dann eine kleinste solche Zahl <math>n</math>. ''Mehrere'' unterschiedliche Primfaktorzerlegungen von <math>n</math> koexistieren höchstens dann (widerspruchsfrei), wenn ''zwei'' unterschiedliche Primfaktorzerlegungen <math>\Pi_{i=1}^r p_i</math> und <math>\Pi_{j=1}^s q_j</math> von <math>n</math> koexistieren. Außerdem ist <math>n</math> nicht prim, also <math>r, s \geq 2</math>.

Außerdem kann man <math> \{p_1, \cdots, p_r\} \cap \{q_1, \cdots, q_s\} = \emptyset </math> annehmen. Denn gäbe es einen gemeinsamen Faktor, nach Umsortierung zum Beispiel <math>p_1 = q_1</math>, so wäre <math>\frac{n}{p_1} < n</math>. Da <math>n</math> minimale Zahl mit zwei verschiedenen Primfaktorzerlegungen ist, wäre <math>\{p_2, \cdots, p_r\} = \{q_2, \cdots, q_s\}</math>, und somit wären obige Primfaktorzerlegungen identisch. Ein Widerspruch zur Wahl von <math>n</math>.

Da <math>p_1</math> das Produkt <math>n = \Pi q_j</math> teilt, teilt <math>p_1</math> nach dem [[Lemma von Euklid]] auch einen geeignet gewählten Faktor dieses Produkts. Dies kann allerdings kein Primfaktor <math>\{q_1, \cdots, q_s\}</math> sein, denn sonst wäre <math>p_1 \in \{q_1, \cdots, q_s\}</math>. Also teilt <math>p_1</math> ein Produkt aus nur <math>s-1</math> verschiedenen Elementen aus <math>\{q_1, \cdots, q_s\}</math>. Dieses Argument kann man wiederholen, das heißt <math>p_1</math> teilt ein Produkt aus <math>s-2</math> verschiedenen Elementen aus <math>\{q_1, \cdots, q_s\}</math> und so weiter. Schließlich muss <math>p_1</math> ein Element aus <math>\{q_1, \cdots, q_s\}</math> teilen. Da es sich um Primzahlen handelt, ist somit <math>p_1 \in \{ q_1, \cdots, q_s\}</math>. Dies ist ein Widerspruch.

== Eigenschaften ==
* <math>n</math> und <math>n+1</math> können [[Teilerfremdheit|keine gemeinsamen Primfaktoren]] haben.
* Um die Primfaktorzerlegung einer Zahl zu berechnen, stehen mehrere [[Faktorisierungsverfahren]] zur Verfügung, die [[Nichttrivialer Teiler|nichttriviale Teiler]] ganzer Zahlen berechnen. Diese Aufgabenstellung ist als [[Faktorisierungsproblem für ganze Zahlen]] bekannt und kann mit den bisher bekannten Methoden nicht [[Effizienz (Informatik)|effizient]] berechnet werden, worauf weltweit Sicherheitskonzepte beruhen, insbesondere in der modernen [[Kryptographie]]. Siehe auch [[Primzahltest]].
* [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] bewies mehrere erstaunliche [[Statistik|statistische]] Erkenntnisse zum Thema, unter anderem, dass die durchschnittliche Anzahl von Primfaktoren für größer werdendes <math>n</math> nur sehr langsam anwächst und zwar wie <math>\ln( \ln (n))</math>, also der doppelt angewendete [[natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]. Der [[Satz von Erdős-Kac]] besagt darüber hinaus, dass die Anzahl der Primfaktoren [[Normalverteilung|asymptotisch normalverteilt]] ist mit einem [[Erwartungswert]] <math>\ln \ln n + \mathcal{O}(1)</math> und einer [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] <math>\mathcal{O}( \sqrt{\ln \ln n})</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Thomas Kantke |Titel=Billige und teure Zahlen |Sammelwerk=[[Spektrum der Wissenschaft]] – SPEZIAL: Omega |Nummer=4/2003 |Verlag=Spektrum der Wissenschaft |Ort=Heidelberg |Datum=2003 |Seiten=68–74}}</ref> (Zur Notation siehe [[Landau-Symbole]].)
* Die Funktion <math>\omega (n)</math>, die jede natürliche Zahl auf die Anzahl ihrer [[paarweise verschieden]]en Primfaktoren abbildet, ist ein Beispiel für eine [[Zahlentheoretische Funktion|arithmetische Funktion]], die [[Additivität#Definition in der Zahlentheorie|additiv aber nicht streng additiv]] ist. Sie ist zu unterscheiden von der [[Teileranzahlfunktion]], die alle Teiler einer Zahl zählt, nicht nur die Primteiler. Beispielsweise ist <math>\omega (1000)=2</math>, denn die Primfaktorzerlegung enthält zwei verschiedene Primzahlen: 2 und 5. Mit [[#Definitionen|obiger]] Definition gilt: <math>\omega (n)=M</math>.
* Der asymptotische [[Arithmetischer Mittelwert|arithmetische Mittelwert]] der maximalen Exponenten der Primfaktorzerlegungen der Zahlen 1, 2, 3, … ist die [[Niven-Konstante]] (rund 1,7), der asymptotische arithmetische Mittelwert der minimalen Exponenten ist genau 1.
* Der asymptotische Erwartungswert der relativen Anzahl der Ziffern des größten Primfaktors einer Zahl wird durch die [[Golomb-Dickman-Konstante]] <math>\gamma \approx 0{,}62433</math> angegeben.

== Verallgemeinerung ==
Es gibt mehrere Möglichkeiten, Primzahlen zu verallgemeinern. Die bekannteste Anwendung sind die [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]], Primzahlen können dort auch ein negatives [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] haben. Andererseits ist dies schon ein spezielles Beispiel, da auch dort die Primfaktorzerlegung (bis auf Vorzeichen und Reihenfolge) eindeutig ist.

{{Anker|rational}}Genauso eindeutig ist die Primfaktorzerlegung in den von 0 verschiedenen rationalen Zahlen <math>q\in\Q^\times</math>
:<math>q = \pm\prod_{p\in\mathbb P} p^{e_p}~,</math>
wobei die ganzzahligen Exponenten <math>e_p\in\Z</math> nur für endlich viele <math>p\in\mathbb P</math> von 0 verschieden sind.

Ein allgemeiner Ansatz verlangt mindestens einen Begriff der Teilbarkeit innerhalb der mathematischen Struktur. [[David Hilbert]] bewies, dass für die gewünschte Eindeutigkeit eine [[Addition|additive Struktur]] zwingend notwendig ist. Üblicherweise wird von einem kommutativen [[Ring mit Eins]] ausgegangen, dort können [[Primelement]]e definiert werden: Ein Element ist ''prim'', wenn [[Lemma von Euklid|Euklids Lemma]] dafür gilt. Damit ist nicht garantiert, dass es für alle Elemente des Rings Zerlegungen in Primelemente gibt, aber wenn es welche gibt, dann sind sie eindeutig. Um die Existenz zu sichern, ist eine weitere Eigenschaft notwendig: die Unzerlegbarkeit. Um die definieren zu können, schränkt man die Struktur weiter ein und betrachtet [[Nullteiler|nullteilerfreie]] Ringe (also [[Integritätsring]]e), dort können zusätzlich ''[[Irreduzibles Element|irreduzible Elemente]]'' definiert werden, die aber nicht prim genannt werden können. Sie sind unzerlegbar und enthalten die Primelemente als [[Teilmenge]].

Zerlegungen in irreduzible Elemente in einem Integritätsring sind nicht notwendigerweise eindeutig. Um eine Struktur zu erhalten, in der die Produkt-Zerlegungen eindeutig sind, muss man diese Eindeutigkeit explizit fordern, was zur Definition von [[Faktorieller Ring|faktoriellen Ringen]] führt. Mit dieser Forderung lässt sich dann aber dort auch schon die Äquivalenz von irreduzibel und prim folgern: Faktorielle Ringe sind [[ZPE-Ring]]e. Ein etwas anderer Ansatz wird mit [[Primideal]]en verfolgt.

=== Beispiele ===
[[Datei:Eisenstein integer grid.svg|mini|Auch auf dem Dreiecksgitter der [[Eisenstein-Zahl]]en existiert für jeden Gitterpunkt eine Primfaktorzerlegung]]

* In dem Integritätsring <math>\mathbb Z[\sqrt{-5}]</math> sind die Elemente <math>2,3, 1 \pm \sqrt{-5}</math> keine Primelemente aber irreduzibel, und keine zwei sind zueinander [[Assoziierte Elemente|assoziiert]]. Es gilt: <math>6=2\cdot 3=\left(1+\sqrt{-5}\right)\cdot\left(1-\sqrt{-5}\right)</math>. Man kann also nicht von einer Primfaktorzerlegung sprechen.
* Ein [[irreduzibles Polynom]] heißt [[Primpolynom]], wenn der [[Leitkoeffizient]] gleich <math>1</math> ist. Im [[Polynomring]] <math>K[x]</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> ist jedes nichtkonstante [[Polynom]] im Wesentlichen eindeutig als Produkt von Primpolynomen darstellbar.<ref>{{Literatur |Autor=Jürgen Wolfart |Titel=Einführung in die Algebra und Zahlentheorie |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig/Wiesbaden |Datum=1996 |ISBN=3-528-07286-5 |Seiten=72, 37}}</ref>
* Sowohl in den [[Gaußsche Zahl|gaußschen Zahlen]] als auch den [[Eisenstein-Zahl]]en existiert stets eine Primfaktorzerlegung (außer für die 0).

== Praktische Anwendung ==
=== Teiler ===
Aus den Primfaktorzerlegungen zweier Zahlen lässt sich erkennen, ob die eine Zahl durch die andere teilbar ist.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ([[kgV]]) und der größte gemeinsame Teiler ([[ggT]]) können leicht aus den Primfaktorzerlegungen bestimmt werden. In der [[Bruchrechnung]] können Brüche durch den ggT von Zähler und Nenner gekürzt werden. Beim Addieren und Subtrahieren werden zwei Brüche auf das kgV der Nenner erweitert.

Aus der kanonischen Primfaktorzerlegung
:<math>n= \prod_{k=1}^{M} p_k^{\;\;e_k}</math>
erhält man die Anzahl <math>T</math> der Teiler von <math>n</math>, indem man die Exponenten um Eins erhöht und dann miteinander multipliziert:
:<math>T = \prod_{k=1}^{M} {(e_k + 1)}</math>

=== Kryptographie ===
Eine wichtige Rolle spielen Primzahlen in der [[Kryptographie]]. Verschlüsselungssysteme wie [[RSA-Kryptosystem|RSA]] basieren darauf, dass kein effizientes [[Faktorisierungsverfahren]] bekannt ist. So ist es innerhalb von Sekunden problemlos möglich, zwei 500-stellige Primzahlen zu finden und miteinander zu multiplizieren. Mit den heutigen Methoden würde die Rückgewinnung der beiden Primfaktoren aus diesem 999- oder 1000-stelligen Produkt dagegen eine sehr lange Zeit dauern.

=== Gödelnummern ===
Für jede Aufzählung von Primzahlen <math>p_1, p_2, \ldots</math> ohne Wiederholung ist die durch
: <math>(e_1, e_2, \ldots, e_M) \mapsto p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \dotsm p_M^{e_M}</math>
definierte Abbildung aller [[Tupel]] ganzer Zahlen <math>e_1, e_2, \ldots, e_{M-1} \geq 0, \ e_M > 0</math> [[Injektive Funktion|injektiv]] und berechenbar, durch Primfaktorzerlegung ist die [[Umkehrfunktion]] ebenfalls berechenbar. Die Abbildung eignet sich daher zur Definition von [[Gödelnummer]]n.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Jürgen Wolfart
|Titel=Einführung in die Algebra und Zahlentheorie
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig/Wiesbaden
|Datum=1996
|ISBN=3-528-07286-5}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Grundrechenarten und Bruchrechnungen/ Primfaktorzerlegung|<math>{\color{BlueViolet}\begin{matrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{matrix}}</math> Mathematik für die Schule|suffix=Primfaktorzerlegung}}
{{Wiktionary}}
* [http://factordb.com/index.php ''Factorization database'' von Markus Tervooren] – schnelle Verarbeitung, bis zu 200.000 Dezimalstellen
* [https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/primzahlen.htm ''Die Primzahlseite''] von Arndt Brünner – benötigt [[JavaScript]], enthält u. a. Primfaktorzerlegung
* [http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM Factorization using the Elliptic Curve Method] – [[Java-Applet]], verarbeitet Eingaben bis 10.000 Dezimalstellen
* {{TIBAV |19878 |Linktext=Primfaktorzerlegung |Herausgeber=PHHD |Jahr=2012 |DOI=10.5446/19878}}
* {{TIBAV |19874 |Linktext=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie (Teil 1) |Herausgeber=PHHD |Jahr=2012 |DOI=10.5446/19874}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4175717-8}}

[[Kategorie:Primzahl]]

Primfaktorzerlegung - Versionsgeschichte

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