~2026-42134-0: /* Mathematische Beschreibung */ Fehlendes Quadrat in der Poynting-Vektor/Feldimpulsdichten-Beziehung bei der Lichtgeschwindigkeit ergänzt.

2026-01-20T11:13:15Z

Mathematische Beschreibung: Fehlendes Quadrat in der Poynting-Vektor/Feldimpulsdichten-Beziehung bei der Lichtgeschwindigkeit ergänzt.

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Der '''Poynting-Vektor''' <math>\vec S</math> (benannt nach dem [[Vereinigtes Königreich|britischen]] [[Physiker]] [[John Henry Poynting]]) kennzeichnet in der [[Elektrodynamik]] (einem Teilgebiet der [[Physik]]) die Intensität und die Richtung des [[Energie]]<nowiki/>transports durch elektromagnetische Felder. Er gibt an jedem Punkt die [[Flussdichte]] der Energie in Abhängigkeit von der dort herrschenden [[Elektrische Feldstärke|elektrischen Feldstärke]] <math>\vec E</math> und [[Magnetische Feldstärke|magnetischen Feldstärke]] <math>\vec H</math> an. Der Poynting-Vektor ist daher gleichwertig zur [[Flächenleistungsdichte]].

Für den Poynting-Vektor gilt der [[Satz von Poynting]], der den [[Energieerhaltungssatz]] für die Elektrodynamik ausdrückt.

== Mathematische Beschreibung ==
Der Poynting-Vektor ist ein dreikomponentiger [[Vektor]], der in die Raumrichtung des Energieflusses zeigt. Er berechnet sich als das [[Kreuzprodukt]] aus [[Elektrische Feldstärke|elektrischer Feldstärke]] <math>\vec E</math> und [[magnetische Feldstärke|magnetischer Feldstärke]] <math>\vec H</math>:

:<math>\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}</math>.

Im [[Vakuum]] gilt

:<math>\vec{S} = \frac 1 {\mu_0} \, (\vec{E} \times \vec{B})</math>

mit der [[magnetische Feldkonstante|magnetischen Feldkonstanten]] <math>\mu_0</math> und der [[Magnetische Flussdichte|magnetischen Flussdichte]] <math>\vec{B}</math>.

Sein Betrag entspricht
* einerseits der [[Leistungsdichte]] (oder [[Intensität (Physik)|Intensität]]) des Felds (der [[Energie]], die pro Zeitspanne durch eine Einheitsfläche senkrecht zum Poynting-Vektor hindurchtritt):
::<math>\mathrm{\frac{Energie}{Fl\ddot{a}che \cdot \mathrm{Zeit}} = \frac{Leistung}{Fl\ddot{a}che}} \ \ \ </math> SI-Einheit: <math>\mathrm{ \frac{J}{m^2 \cdot s} = \frac{W}{m^2} = \frac{N}{m \cdot s}}</math>,
* andererseits der ''Impulsdichte'' des Felds (der [[Impuls (Mechanik)|Impuls]], der pro Einheitsvolumen im elektromagnetischen Feld gespeichert ist), multipliziert mit dem Quadrat der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math>:
::<math>\mathrm{\frac{{Impuls} \cdot {Geschwindigkeit}^2}{Volumen}} \ \ \ </math> SI-Einheit: <math> \mathrm{\frac{N \cdot s}{m^3} \cdot \frac{m^2}{s^2} = \frac{N}{m \cdot s} }</math>.

Damit gilt für die Flussdichte des Impulses
::<math>\vec{\pi} = \frac{1}{c^2}\vec{S} </math>
Der Poynting-Vektor beschreibt drei der zehn unabhängigen Komponenten des [[Energie-Impuls-Tensor]]s des elektromagnetischen Feldes in der [[Relativitätstheorie]].

== Betrag des Poynting-Vektors ==
Der Betrag <math>\left| \vec S \right| </math> des Poynting-Vektors <math>\vec{S}</math> wird ''[[Leistungsdichte]]'', ''Leistungsflussdichte'' oder ''Strahlungsdichte''<ref>Martin H. Virnich: Baubiologische EMF-Messtechnik, Grundlagen der Feldtheorie, Praxis der Feldmesstechnik, Hüthig & Pflaum-Verlag, München/Heidelberg, 2012, ISBN 978-3-8101-0328-4, S. 66 Nr. 1</ref> genannt und mit dem Formelzeichen <math>S</math> bezeichnet. Ebenso bezeichnen im Folgenden <math>E, B, H</math> die [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Beträge]] der entsprechenden vektoriellen Größen.

Hochfrequenz-Messgeräte für elektromagnetische Wellen (meist im [[Megahertz|MHz]]- oder [[Gigahertz|GHz]]-Bereich), die in der Prüfung der [[Elektromagnetische Umweltverträglichkeit|elektromagnetischen Umweltverträglichkeit]] und der [[EMV-Prüfung|EMV-Messtechnik]] ihre Anwendung finden, messen diesen Betrag von <math>\vec S</math> oft in den Einheiten Mikrowatt pro Quadratmeter [µW/m²] oder Milliwatt pro Quadratzentimeter [mW/cm²].

Die nachfolgenden Betrachtungen gelten nur im sogenannten [[Nahfeld und Fernfeld (Antennen)|Fernfeld]] einer Hochfrequenz-Strahlungsquelle (Sendeantenne),<ref>Virnich, Fernfeld S. 65 u. S. 107–108</ref> denn nur im Fernfeld sind die Größen <math>\vec{E}, \vec{B}</math> und <math>\vec{H}</math> ineinander umrechenbar. Ein Fernfeld liegt im Allgemeinen vor, wenn sich das HF-Messgerät möglichst weit (idealerweise unendlich weit) von der Sendeantenne/Strahlungsquelle befindet, mindestens aber das Vierfache der [[Wellenlänge]] <math>\lambda=\frac{c}{f}</math>. Hier ist <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]]. Im Nahfeld sind die drei Größen zwar mit Messgeräten, die geeignete Sensoren haben, einzeln messbar, können aber nicht ineinander umgerechnet werden.

Die Leistungsflussdichte ist im Fernfeld proportional zum Quadrat von <math>E, H</math> und <math>B</math>, die der Theorie nach fest miteinander verkoppelt sind:<ref>Virnich, Wellenwiderstand <math>Z_0</math> auf S. 66</ref> <math>Z_0=\frac{E}{H}</math> mit <math>H=\frac{B}{\mu_0 \cdot \mu_r}</math>.

In der Gleichstromtechnik wird dazu die Formel zur Berechnung der [[Wirkleistung]] <math>P</math> (Gleichstromleistung)

:1) <math>P= U \cdot I=\frac{U^2}{R}=I^2 \cdot R</math>

durch [[Substitution (Mathematik)|Substitution]] der [[Elektrische Spannung|elektrischen Spannung]] <math>U</math> gegen die elektrische Feldstärke <math>E</math> umgeformt. Der [[Elektrischer Strom|elektrische Strom]] <math>I</math> wird gegen die magnetische Feldstärke <math>H</math> ausgetauscht, der (Gleichstrom-)[[Elektrischer Widerstand|Widerstand]] <math>R</math> wird durch den konstanten Wechselstrom-[[Wellenwiderstand des Vakuums]] <math>Z_0</math> ausgetauscht<ref>Virnich, S. 66 Nr. 1</ref>, der das Verhältnis von Spannung zu Strom <math>Z_0=\frac{U}{I}</math> <ref>Brockhaus abc Physik Band 2 Ma-Z, VEB Brockhaus-Verlag Leipzig, 1989, DDR, ISBN 3-325-00192-0, Eintrag: "Wellenwiderstand", S. 1095</ref> (genauer von elektrischer Feldstärke <math>E</math> zu magnetischer Feldstärke <math>H</math>:<ref>Virnich, S. 108</ref> <math>Z_0= \frac{E}{H}</math>) im Feld der elektromagnetischen Welle abbildet. Man erhält nun:<ref>Virnich, S. 107</ref>

:2) <math>S= E \cdot H=\frac{E^2}{Z_0}=H^2 \cdot Z_0</math>.

Elektrische Größe (elektrische Feldstärke <math>\vec{E}</math>) und magnetische Größe (entweder magnetische Feldstärke <math>\vec{H}</math> oder magnetische Flussdichte <math>\vec{B}</math>) einer elektromagnetischen Welle, z. B. in einer [[Transversalwelle]], stehen in isotropen Materialien im 90°-Winkel aufeinander. In nicht ferromagnetischen Materialien sind magnetische Flussdichte und magnetische Feldstärke proportional zueinander
:3) <math>\vec{H}= \frac{\vec{B}}{\mu}=\frac{\vec{B}}{\mu_0 \cdot \mu_r}</math> mit
:<math>\mu=\mu_0 \cdot \mu_r</math>.

Hierin sind:
* <math>\mu</math> die [[Permeabilität (Magnetismus)|absolute Permeabilität]] des Mediums,
* <math>\mu_0 \approx 4\pi \cdot 10^{-7} \mathrm \frac{Vs}{Am}</math> die [[magnetische Feldkonstante]], eine Naturkonstante,
* <math>\mu_r</math> die relative [[Permeabilitätszahl]] des Mediums, sie ist einheitslos. Sie beschreibt die magnetische Leitfähigkeit eines Stoffes, also dessen Fähigkeit, Magnetfelder als [[Magnetischer Fluss|magnetischen Fluss]] <math>\Phi</math> bzw. [[magnetische Flussdichte]] <math>B</math> zu leiten. <math>\mu_r</math> ist keine Konstante, sondern eine komplizierte Funktion der magnetischen Feldstärke und der Vorgeschichte (Vormagnetisierung) des Materials vor Veränderung der aktuellen magnetischen Feldstärke <math>\vec{H}</math>.

Substituiert man die magnetische Feldstärke <math>H</math> durch die magnetische Flussdichte <math>B</math> und die absolute Permeabilität <math>\mu</math> in Formel 2) mittels Formel 3) sowie <math>Z_0=\sqrt \frac{\mu_0 \cdot \mu_r}{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r} </math> und <math>c=\frac {1}{\sqrt {\varepsilon_0 \varepsilon_r \cdot \mu_0 \mu_r}},</math> erhält man zusätzlich die folgenden Varianten dieser Gleichung:

:4) <math>S= E \cdot H=\frac{E^2}{Z_0}=H^2 \cdot Z_0=\frac{E \cdot B}{\mu_0 \cdot \mu_r}=
\frac{B^2}{(\mu_0 \cdot \mu_r)^2} \cdot Z_0=
\frac{B^2}{(\mu_0 \cdot \mu_r)^2} \cdot \sqrt \frac{\mu_0 \cdot \mu_r}{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r}=
\frac{c}{\mu_0 \cdot \ \mu_r} \cdot B^2 = \frac{c}{\mu} \cdot B^2.</math>

Für das [[Vakuum]] ist <math>\mu_r=1</math>, was praktisch auch für Luft unter [[Normalbedingung]]en (0 °C, 1013,25 [[Kilopascal|hPa]]) gültig ist.<ref>Martin H. Virnich: Baubiologische EMF-Messtechnik, Grundlagen der Feldtheorie, Praxis der Feldmesstechnik, Hüthig & Pflaum-Verlag, München/Heidelberg, 2012, ISBN 978-3-8101-0328-4, S. 95</ref> Ferromagnetische Metalle oder Legierungen haben große bis sehr große Permeabilitätszahlen. Nichtmagnetische Metalle (z. B. Aluminium, Kupfer, Messing, Quecksilber) und Substanzen, also paramagnetische oder diamagnetische, haben fast immer relative Permeabilitätszahlen, die unwesentlich geringer als 1 sind.

Die [[Dielektrizitätszahl]] <math>\varepsilon_\mathrm{r}</math> von [[Luft]] unter [[Normalbedingung]]en beträgt etwa [[Permittivität#Relative Permittivität|<math>\varepsilon_\mathrm{r} \approx 1{,}00059</math>]], ihre Permeabilitätszahl <math>\mu_\mathrm{r}</math> ist nur geringfügig größer als 1. Der Wellenwiderstand der [[Erdatmosphäre|Atmosphäre]] ist mit ungefähr <math>376{,}62 \; \Omega</math> gegenüber dem Wellenwiderstand des Vakuums um gut <math>0{,}1 \; \Omega</math> reduziert.

=== Sinusquadrat-Leistungsflussdichte S(t) ===
Gleichung 4) gilt für sinusförmige Verläufe der Größen <math>E, B</math> und <math>H</math>, entweder für die aktuellen Zeitwerte dieser Größen (in der Elektrotechnik üblicherweise als Kleinschreibung der Formelzeichen), für deren [[Quadratisches Mittel|quadratische Mittelwerte]] ([[Effektivwert]]e) oder für deren [[Spitzenwert]]e.

Wegen der [[Quadrat (Mathematik)|Quadrierung]] einer der drei Größen muss der Betrag der Leistungsflussdichte <math>S</math> bei sinusförmigem Verlauf von <math>E, H</math> und <math>B</math> letztlich einer Sinusquadratfunktion entsprechen, wie sie auch bei der Wechselstrom-Wirkleistung eines Sinustromes oder einer Sinusspannung an konstantem Verbraucherwiderstand R auftritt. Daher sind im Falle sinusförmiger Verläufe Spitzenwert und Mittelwert der Leistungsflussdichte <math>S</math> um den Faktor 2 verschieden: <math>\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 = 2</math> (Produkt zweier [[Scheitelfaktor]]en für Sinuskurven ist 2) und somit:

<math>\hat S= 2 \cdot S_{\mathrm{eff}}</math>.

Bei sinusförmigem Verlauf von <math>E, H</math> und <math>B</math> verläuft also <math>S</math> nach einer Sinusquadratfunktion, daher ist der Spitzenwert von <math>S</math> das Zweifache des Mittelwerts. Der Spitzenwert von <math>E, H</math> und <math>B</math> ist jedoch nur das <math>\sqrt{2}</math>-fache des quadratischen Mittelwerts dieser drei Größen. Außerdem zeigt der zeitliche Verlauf von <math>S</math> nur positive Werte, da die negativen Werte von <math>E, H</math> und <math>B</math> durch Quadrierung der Sinusfunktion als Sinusquadratkurve positiv werden. Dadurch hat die Sinusquadratfunktion der Leistungsflussdichte <math>S</math> bei sinusförmigem Verlauf von <math>E, H</math> und <math>B</math> jeweils die doppelte Frequenz dieser Größen. Es gibt also keine negativen Werte der Leistungsflussdichtenfunktion <math>S(t)</math>, wie es auch keine negative [[Leistung (Physik)|Leistung]] gibt.<ref>Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: Elemente der angewandten Elektronik, Vieweg Verlag Wiesbaden, 15. Auflage 2007, Kapitel Multipliziererbaustein AD534 (Entstehung einer Sinusquadrat-Spannungskurve am [[Analogmultiplizierer]] aus einer angelegten Eingangs-Sinusspannung, Formeln und Beschreibung), S. 198</ref>

Da die mittlere [[Wirkleistung]] <math>P</math> einer Sinus-Wechselspannung an konstantem Lastwiderstand das Produkt der [[Effektivwert]]e von Spannung <math>U</math> und Strom <math>I</math> ist, gilt dies übertragen auch für die mittlere Leistungsflussdichte <math>S</math>, die aus dem Produkt der quadratischen Mittelwerte von elektrischer Feldstärke <math>E</math> und magnetischer Feldstärke <math>H</math> berechnet wird.

== Beispiele ==

=== TEM-Wellen ===
Bei [[Transversalelektromagnetische Welle|transversalelektromagnetischen Wellen]] (TEM-Wellen) ist die Leistungsdichte gegeben durch

:<math>S= \frac{E^2}{Z_0}</math>,

wobei <math>Z_0</math> der [[Wellenwiderstand des Vakuums]] <math display="inline">\left( Z_0 = \sqrt{\frac{\mu _0}{\varepsilon _0}} = \mu_0 c_0 \approx 376{,}73 \, \Omega \right)</math> ist.

In obigen Gleichungen sind die Feldgrößen zeitabhängig gemeint.

Für den [[Zeitlicher Mittelwert|zeitlichen Mittelwert]] <math>\overline{S}</math> der Leistungsdichte über eine Periodendauer <math>\textstyle T</math> gilt
:<math>\overline{\left| \vec S \right|} = \frac{E_\text{eff}^2}{Z_0} = \frac{{\hat E}^2}{2 \cdot Z_0},</math>
wobei der [[Effektivwert]] <math display="inline">E_\text{eff} = \frac{\hat E}{\sqrt{2}}</math> durch die [[Amplitude]] <math>\hat E </math> der [[sinus]]förmigen [[elektrische Feldstärke|elektrischen Feldstärke]] gegeben ist.

Hinweis: Bei sinusförmigem Verlauf von <math>E</math> verläuft <math>S</math> nach einer [[Sinusquadrat]]-Funktion, daher ist der Spitzenwert von <math>S</math> das Zweifache von dessen Mittelwert. Für <math>E</math>, das sinusförmig verläuft, ist dessen Spitzenwert aber nur das <math>\sqrt{2}</math> = 1,414213562…-Fache vom quadratischen Mittelwert ([[Effektivwert]]).

In [[isotrop]]en optischen Medien ist der Poynting-Vektor [[Parallel (Geometrie)|parallel]] zum [[Wellenvektor]]. In [[anisotrop]]en optischen Medien, z. B. [[Doppelbrechung|doppelbrechenden]] [[Kristall]]en, gilt dies im Allgemeinen nicht.

=== Energieausbreitung im Koaxialkabel ===
[[Datei:Poynting-Koax.svg|mini|Feldlinienbild im Koaxialkabel bei der TEM-Grundmode]]

Der typische Betrieb eines [[Koaxialkabel|Koaxialleiters]] erfolgt bei [[Wellenlänge]]n, die größer sind als der Durchmesser des Koaxialleiters.<ref>K. Simonyi: ''Theoretische Elektrotechnik.'' 5. Auflage, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973, Kapitel 4.28.</ref> In diesem [[Frequenz]]<nowiki/>bereich, der sich typischerweise von [[Gleichstrom]] bis in den einstelligen GHz-Bereich erstreckt, breitet sich die Energie in der Koaxialleitung als TEM-Grund[[Moden|mode]] aus. Das zugehörige [[Feldlinie]]n<nowiki/>bild sieht dann aus wie im nebenstehenden Bild.

Bei ideal leitendem Material nimmt der Poyntingvektor ausschließlich im Bereich zwischen Außen- und Innenleiter einen von null verschiedenen Wert an. Innerhalb des Innenleiters verschwindet er, weil die elektrische Feldstärke gleich null ist, außerhalb des Außenleiters verschwindet er, weil der magnetische Feldvektor gleich null ist. Denn die magnetischen Wirkungen der entgegengesetzt gleichen elektrischen Ströme in Innen- und Außenleiter heben einander auf.

Im Raum zwischen Innen- und Außenleiter stehen E- und H-Felder überall senkrecht aufeinander und der Poyntingvektor zeigt in Längsrichtung des Koaxialleiters. Das bedeutet, der Energiefluss im Koaxialleiter findet ausschließlich in diesem Zwischenraum statt, der auch ein [[Dielektrikum]] enthalten kann. Diese Aussage gilt auch für die Übertragung von elektrischer Leistung mit [[Gleichspannung]]en und -[[Gleichstrom|strömen]].

Auch das Verhalten eines [[Elektrischer Widerstand|widerstandsbehafteten]] Leiters lässt sich im Feldmodell erklären. Die folgende Darstellung erfolgt anhand des im Bild dargestellten Koaxialleiters: Hat der Leiter einen von null verschiedenen endlichen Widerstand, so gehört zum Stromfluss entsprechend dem [[ohmsches Gesetz|ohmschen Gesetz]] ein elektrisches Feld im Leiter. Dieses Feld zeigt im Innenleiter in Längsrichtung (x) des Leiters und ist im Mantelleiter in die entgegengesetzte Richtung (o) gerichtet. Die veränderte Feldverteilung bewirkt, dass auch im Dielektrikum das elektrische Feld eine Komponente in Längsrichtung erhält. Der zu E und H [[orthogonal]]e Poyntingvektor <math>S</math> weist infolgedessen eine radiale Feldkomponente auf. Diese beschreibt den Übergang der Energie vom Dielektrikum ins Metall.

=== Poyntingvektor bei statischen Feldern ===
[[Datei:Poynting-Paradoxon.svg|miniatur|Poyntingvektor in einem statischen Feld. Das elektrische Feld E zeigt radial nach innen, das Magnetfeld H senkrecht in die Zeichenebene. Der Poynting-Vektor S zeigt an jedem Punkt im Sinne einer Rotation im Uhrzeigersinn.]]
Statische E- und H-Felder, die nicht parallel oder antiparallel zueinander stehen, bewirken einen Energiefluss <math>\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}</math>. Ein alltägliches Anwendungsbeispiel ist die Energieübertragung von der Quelle zum Verbraucher durch ein Netzwerk, das mit Gleichstrom (oder Wechselstrom genügend niedriger Frequenz) betrieben wird (siehe Absatz zum Ohmschen Widerstand im Artikel [[Satz von Poynting#Beispiel: Ohmscher Widerstand|Satz von Poynting]]).

Der Energiefluss in statischen Feldern kann auch durch seine mechanischen Wirkungen nachgewiesen werden.

==== Zylinderkondensator ====
Zur Veranschaulichung (siehe nebenstehendes Bild) wird ein geladener [[Zylinderkondensator]] betrachtet, der sich in einem H-Feld befindet, das z. B. von einem [[Permanentmagnet]]en erzeugt wird. Wird der Kondensator durch einen radialen Draht entladen, wirkt auf die bewegten Ladungsträger im Draht die [[Lorentzkraft]] <math>q \cdot (\vec v \times \vec B)</math>, die im Sinne des roten Pfeils wirkt und den Zylinderkondensator (bei geeigneter Aufhängung) in Rotation versetzt. Das ist deshalb keine Verletzung des [[Drehimpulserhaltung]]ssatzes, weil ein gleich großer Drehimpuls vor der Entladung im Energiefluss des statischen E- und H-Felds gespeichert war. Die Berechnung des Poyntingvektors ergibt hier einen geschlossenen kreisförmigen Fluss elektromagnetischer Energie. Der Energieflussdichte <math>S</math> entspricht eine Impulsflussdichte <math>S/c</math>, die aufgrund ihrer Kreisform auch einen [[Drehimpuls]] besitzt (<math>c</math> ist die Lichtgeschwindigkeit). (Anderes statisches Beispiel: s. Feynman<ref>Richard Feynman: ''Vorlesungen über Physik. 2.'' 3. Auflage, Oldenbourg Verlag, München 2001, Kapitel 27-3 | oder englische [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_27.html Online-Ausgabe, Abschnitt 27-5]</ref>)

==== Draht welcher von Gleichstrom durchflossen wird ====
Der Poynting-Vektor kann auch auf einen von Gleichstrom durchflossenen Draht angewandt werden.<ref>Galili, Igal, and Elisabetta Goihbarg. "Energy transfer in electrical circuits: A qualitative account." American journal of physics 73.2 (2005): 141-144 https://www.ippp.dur.ac.uk/~davis/EnergyTransferElectricCircuits.pdf</ref>
[[Datei:Poynting vector DC wire.svg|mini|Poynting-Vektor <math>\mathbf{S}</math> um einen stromdurchflossenen Draht. Der Poynting-Vektor zeigt auf den Draht, was zeigt, dass Energie aus den Feldern in den Draht fließt (und dort als Wärme dissipiert).]]

==== Einfacher Stromkreis ====
In einem einfachen Stromkreis sieht die Situation wie im nebenstehenden Bild dargestellt aus. Da das elektrische Feld außerhalb des Leiters deutlich größer ist, als innerhalb und die magnetische Flussdichte sehr schnell abfällt, fließt die meiste Energie durch die Felder in unmittelbarer Nähe des leitenden Drahtes.
[[Datei:Poynting vectors of DC circuit.svg|mini|Poynting-Vektoren in einem einfachen DC-Stromkreis]]

== Siehe auch ==
* [[Bestrahlungsstärke]]

== Einzelnachweise ==
<references/>

{{Normdaten|TYP=s|GND=4403333-3}}

[[Kategorie:Elektrodynamik]]

Poynting-Vektor - Versionsgeschichte

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