imported>Espresso robusta: BKH eingefügt.

2025-07-17T09:32:53Z

BKH eingefügt.

Neue Seite

{{Begriffsklärungshinweis|Zu allgemeinen Rechenregeln für Potenzen siehe [[Potenz (Mathematik)]].}}
Die '''Potenzregel'''<ref>{{Literatur |Autor=[[Lothar Papula]] |Titel=Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Band 1 |Auflage=14. |Verlag=Springer Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2014 |ISBN=978-3-658-05619-3 |Seiten=330}}</ref> ist in der [[Mathematik]] eine der Grundregeln der [[Differentialrechnung]]. Sie dient der Ermittlung der [[Differentialrechnung|Ableitung]] von [[Potenzfunktion]]en. Da sich auch [[Wurzel (Mathematik)|Wurzelfunktionen]] und die Kehrwertfunktion als Potenzfunktionen schreiben lassen, enthält sie die Ableitungen dieser Funktionen als Spezialfälle. Sie ist ein Grundbaustein der Differentialrechnung, da mithilfe der Potenzregel, der [[Summenregel]] und der [[Faktorregel]] jede [[ganzrationale Funktion]] abgeleitet werden kann.

== Geltungsbereich ==

=== Natürliche Exponenten ===
Eine Funktion der Form <math>f(x) = x^n</math> ist für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> definiert und [[differenzierbar]], wenn der Exponent <math>n</math> eine [[natürliche Zahl]] ist. Für <math>n \in \{2, 3, 4, \ldots\}</math>
lautet die Ableitungsfunktion

:<math>f'(x) = n \cdot x^{n-1}</math>.

Für <math>n=1</math> bleibt diese Formel an der Stelle <math>x=0</math> nur dann gültig, wenn man <math>0^0:=1</math> setzt.

'''Beispiel:''' Die Funktion <math>f(x) = x^4</math> hat die Ableitung <math>f'(x) = 4 \cdot x^3</math>.

=== Negative ganzzahlige Exponenten ===
Für negative ganzzahlige Exponenten <math>n</math> ist <math>f(x)=x^n</math> für <math>x=0</math> nicht definiert ([[Division (Mathematik)#Division durch null|Division durch 0]]). Für <math>x \neq 0</math> behält die Potenzregel ihre Gültigkeit, das heißt es gilt weiterhin

:<math>f'(x) = n \cdot x^{n-1}</math>.

'''Beispiel:''' Die Funktion <math>f(x)=x^{-1} \ (x \neq 0)</math> hat die Ableitung <math>f'(x)=(-1)\cdot x^{-2}.</math>

=== Beliebige Exponenten ===
Die Potenzregel gilt auch für Potenzfunktionen <math>f(x) = x^s</math>, wenn der [[Exponent (Mathematik)|Exponent]] (Hochzahl) <math>s \in \R</math> keine [[ganze Zahl]] ist, dann aber im Allgemeinen nur für <math>x > 0</math>:

:<math>f'(x) = s \cdot x^{s-1}</math>
'''Beispiel''': Ist <math>f(x)= x^{-1/2} \ (x\geq 0)</math>, so gilt <math display="inline">f'(x)=-\frac{1}{2} x^{-3/2}</math> für <math>x>0</math>. An der Stelle <math>x=0</math> hingegen ist die Funktion nicht differenzierbar.

== Herleitung ==

=== 1. Fall: Natürlicher Exponent ===
Ist <math>n</math> eine natürliche Zahl, so erhält man die Ableitung von <math>f(x)=x^n</math>, indem man den [[Differenzenquotient|Differenzenquotienten]]

: <math> \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x} </math>

so umformt, bis problemlos der Grenzübergang <math>\Delta x \to 0</math> vollzogen werden kann. Dazu wird der Differenzenquotient zunächst mithilfe des [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]] geschrieben als
: <math> \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{x^n + n x^{n-1} {\Delta x} + {n \choose 2} x^{n-2} (\Delta x)^2 + \dots + {n \choose n-1} x (\Delta x)^{n-1} + {n \choose n} (\Delta x)^n - x^n}{\Delta x} </math>.
Im Zähler der rechten Seite heben sich der erste und der letzte Term gegenseitig auf. Jeder der übrigen Terme enthält ein <math>
\Delta x
</math>, welches mit dem Nenner gekürzt werden kann. Also ist

:<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = n x^{n-1} + {n \choose 2} x^{n-2} \Delta x + \dots + {n \choose n-1} x (\Delta x)^{n- 2} + {n \choose n} (\Delta x)^{n-1}</math>

Lässt man nun <math>\Delta x \to 0</math> gehen, so strebt jeder Term auf der rechten Seite gegen null mit Ausnahme des ersten Terms, der nicht von <math>
\Delta x
</math> abhängt. Somit folgt schließlich
:<math>
\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
= n x^{n-1}.
</math>

=== 2. Fall: Negativer ganzzahliger Exponent ===
Ist <math>n</math> eine negative ganze Zahl, so ist <math>f(x)=x^n</math> von der Form <math display="inline">\frac{1}{g(x)}</math> mit <math>g(x)=x^m</math> für eine natürliche Zahl <math>m</math>. Nach der [[Reziprokenregel]] ist

:<math>f'(x) =\left(\frac{1}{g(x)}\right)'=-\frac{g'(x)}{g(x)^2} </math>

Mit der nun vom 1. Fall bekannten Regel <math>(x^m)'=m \cdot x^{m-1}</math> erhält man hieraus

:<math>f'(x) = - \frac{m\cdot x^{m-1}}{x^{2m}} = -m \cdot x^{-m-1} = n \cdot x^{n-1}</math>,

wobei im letzten Schritt <math>-m = n</math> eingesetzt wurde.

=== 3. Fall: Beliebiger (komplexer) Exponent ===
Der Exponent <math>s</math> kann eine nicht ganzzahlige oder sogar [[komplexe Zahl]] sein. In diesem Fall ist die Funktion <math>f\colon x \mapsto x^s</math> jedoch in der Regel nur für <math>x \in \mathbb{R}, x > 0</math> definiert. In diesem Definitionsbereich ist die Funktion differenzierbar und die Potenzregel gilt weiterhin.

Um dies zu demonstrieren, benutzt man die Darstellung mithilfe der [[Exponentialfunktion]]:
<math>x^s = (e^{\ln x})^s = e^{s \cdot \ln x}</math> und leitet die Funktion <math>f(x)=x^s</math> mithilfe der [[Kettenregel]] ab:
:<math>(x^s)'= (e^{s \cdot \ln x})'= e^{s \cdot \ln x} \cdot (s \cdot \ln x)'</math>
Für die innere Ableitung benutzt man die [[Faktorregel]] und die Regel für die Ableitung der [[Logarithmusfunktion]]:
:<math>(s \cdot \ln x)'= s \cdot \frac 1 x</math>
Indem man dies einsetzt und für <math>e^{s \cdot \ln x}</math> wieder <math>x^s</math> schreibt, erhält man
:<math>(x^s)' = x^s \cdot s \cdot \frac 1 x = s \cdot x^{s-1}</math>.

Diese Herleitung gilt nur für <math>x \ne 0</math>. Für <math>s>1</math> ist die Funktion <math>f(x) = x^s</math> aber auch an der Stelle <math>x = 0</math> differenzierbar und die Regel gilt auch an der Stelle <math>x = 0</math>. Man berechnet direkt mithilfe des Differenzenquotienten:
:<math>f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^s - 0^s}{\Delta x -0} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x)^{s-1} = 0 = s \cdot 0^{s-1}</math>

== Höhere Ableitung einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten ==

(Zur Schreibweise des Folgenden siehe [[Differentialrechnung#Leibniz-Notation|Leibniz-Notation]].) Innerhalb des Definitionsbereichs einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten <math>n</math> ist deren <math>k</math>-fache Ableitung...

* ...für <math>1 \leq k \leq n: \quad \frac{d^k}{dx^k}x^n = \frac {n!}{(n-k)!} \cdot x^{n-k}</math>.

{| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;"
|style="text-align:left; font-size: 95%;"| '''Beweis'''  
|-
|
Die Behauptung lässt sich für <math>k \leq n</math> mit [[Vollständige Induktion|vollständiger Induktion]] beweisen.

Induktionsanfang für <math>k=1: \quad \frac{d}{dx}x^n = n \cdot x^{n-1} = \frac {n!}{(n-1)!}x^{n-1}</math> (wahr)

Induktionsvoraussetzung: <math> \quad \quad \frac{d^k}{dx^k}x^n = \frac {n!}{(n-k)!} \cdot x^{n-k}</math>

Induktionsbehauptung: <math>\quad \quad \quad\frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}x^n = \frac {n!}{(n-k-1)!} \cdot x^{n-k-1}</math>

Induktionsschritt:

<math>\quad \frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}x^n = </math>

Die <math>(k+1)</math>-te Ableitung ist die Ableitung der <math>k</math>-ten Ableitung:

<math>\quad \frac{d}{dx}\frac{d^{k}}{dx^{k}}x^n = </math>

mit der Induktionsvoraussetzung:

<math>\quad \frac{d}{dx} \frac {n!}{(n-k)!} \cdot x^{n-k} = </math>

<math>\quad \frac {n!}{(n-k)!} \cdot (n-k) \cdot x^{n-k-1} = </math>

<math>\quad \frac {n!}{(n-k-1)!} \cdot x^{n-k-1}</math>, q. e. d.
|}

::Für manche Anwendungen ist es praktisch, eine Funktion als <math>0</math>-te Ableitung ihrer selbst zu definieren. Wie leicht zu sehen ist, gilt dann die Regel für <math>k=0</math> ebenfalls.
::Für <math>k = n</math> ist insbesondere <math>\frac{d^n}{dx^n}x^n = n!</math>

* ...für <math>k > n: \quad \frac{d^k}{dx^k}x^n = 0 </math>
::Dies folgt direkt aus <math>\frac{d^n}{dx^n}x^n = n!</math>, denn die Ableitung einer beliebigen [[Konstante Funktion|konstanten Funktion]] ist die [[Nullfunktion]]; letzteres gilt auch für die Nullfunktion selbst.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Potenzregel - Versionsgeschichte

imported>Espresso robusta: BKH eingefügt.