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2025-04-10T15:51:32Z

Einleitung: Satzstruktur korrigiert

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[[Datei:Potenzfkt.svg|mini|Graphen einiger Potenzfunktionen]]
Als '''Potenzfunktionen''' bezeichnet man [[Elementare Funktion|elementare]] [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktionen]] der Form

:<math>f\colon x \mapsto a x^r \qquad a,r \in \mathbb{R}, \qquad a\neq 0</math>

Wenn man nur [[Natürliche Zahl|natürliche]] oder [[Ganze Zahl|ganzzahlige]] [[Potenz (Mathematik)|Exponenten]] betrachtet, schreibt man für den Exponenten meistens <math>n</math>:

:<math>f\colon x \mapsto a x^n \qquad n \in \mathbb{Z}.</math>

Ist der Exponent <math>n</math> eine natürliche Zahl, so ist der Funktionsterm <math>a x^n</math> ein [[Monom]].

Aus den Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten <math>r</math> setzen sich die [[Ganzrationale Funktion|ganzrationalen Funktionen]] zusammen, aus denen mit ganzzahligem Exponenten die [[Rationale Funktion|rationalen Funktionen]].

== Spezialfälle ==

* [[konstante Funktion]]: <math>f\colon x \mapsto a</math> (für <math>r = 0</math>)
* (homogene) [[lineare Funktion]]/[[Proportionalität]]: <math>f\colon x \mapsto a x</math> (für <math>r = 1</math>)
* Quadratfunktion und Vielfache davon: <math>f\colon x \mapsto a x^2</math> (für <math>r = 2</math>)
* Für <math>r=1/n</math> mit <math>n\in \mathbb N</math> ergeben sich [[Wurzelfunktion]]en.
* Für <math>r=-1</math> erhält man <math>f\colon x \mapsto 1/x</math>.

== Definitions- und Wertemenge ==

Die maximal mögliche [[Definitionsmenge]] hängt vom Exponenten ab. Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen nicht zulässt, dann kann sie mit der folgenden Tabelle angegeben werden:

{| class="wikitable"
|-
! !! ''r'' > 0 !! ''r'' < 0
|-
| <math>r \in \mathbb{Z}</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}\setminus\{0\}</math>
|-
| <math>r \notin \mathbb{Z}</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}^+_0</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}^+</math>
|}

Bei den Wertemengen muss man zusätzlich noch das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] von <math>a</math> beachten; wenn <math>r \in \mathbb{Z}</math> ist, kommt es außerdem auch noch darauf an, ob <math>r</math> eine gerade oder ungerade Zahl ist:

{| class="wikitable"
! || colspan="2" | ''r'' > 0 || colspan="2" | ''r'' < 0
|-
! !! ''r'' gerade<br /> oder <math>\notin \mathbb{Z}</math> !! ''r'' ungerade !! ''r'' gerade<br /> oder <math>\notin \mathbb{Z}</math> !! ''r'' ungerade
|-
| ''a'' > 0 || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}^+_0</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}^+</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}\setminus\{0\}</math>
|-
| ''a'' < 0 || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}^-_0</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}^-</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}\setminus\{0\}</math>
|}

== Graphen ==

Die Graphen der Potenzfunktionen mit natürlichen <math>n</math> heißen [[Parabel (Mathematik)|Parabeln]] <math>n</math>-ter Ordnung, die mit ganzzahligen negativen <math>n</math> [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbeln]] <math>n</math>-ter Ordnung. Der Parameter <math>a</math> drückt eine Streckung des Graphen bezüglich der <math>y</math>-Achse um den Faktor <math>|a|</math> und außerdem Spiegelung an der <math> x </math>-Achse aus, falls <math> a<0 </math> ist.

Hat eine Potenzfunktion die Definitionsmenge <math> \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>, dann besteht ihr Graph aus zwei Ästen, ansonsten gibt es nur einen Ast.

== Symmetrie ==

Nur die Graphen von Potenzfunktionen mit <math>r \in \mathbb{Z}</math> sind symmetrisch; genauer: sie sind [[Gerade Funktion|gerade]] für gerade <math>r</math> und [[Ungerade Funktion|ungerade]] für ungerade <math>r</math>. Im ersten Fall ist ihr Graph achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse, im zweiten ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

== Verhalten für ''x'' → ±∞ und ''x'' → 0 ==

Alle Potenzfunktionen <math> x^r </math> mit positiven Exponenten haben eine [[Nullstelle]] bei <math>x=0</math>, steigen (aber immer langsamer als die Exponentialfunktion <math> e^x </math>) und gehen gegen <math> +\infty </math> für <math> x\to +\infty</math>. Für <math>r \in \mathbb{Z}</math> ergibt sich das Verhalten für <math>x \to -\infty</math> aus der Symmetrie.

Alle Potenzfunktionen <math> x^r </math> mit negativen Exponenten gehen gegen <math> +\infty </math> für <math> x\to 0\; (x>0)</math>. Sie fallen und gehen gegen <math> 0 </math> für <math> x\to +\infty</math>.

== Stetigkeit, Ableitung und Integration ==

Jede Potenzfunktion <math>f\colon x\mapsto ax^r</math> ist stetig auf ihrer Definitionsmenge.

Die zugehörige [[Differentialrechnung|Ableitungsfunktion]] ist (siehe [[Potenzregel]])
:<math>f'\colon x\mapsto a r x^{r-1}.</math>

Diese Formel gilt für alle <math>x\ne 0</math> und alle <math>r</math>, wenn <math>x^r</math> nur an der Stelle <math>x</math> definiert ist. Sie gilt auch an der Stelle <math>x=0</math>, wenn <math>r \ge 1</math> ist. Für <math>0<r<1</math> ist die Funktion <math>x\mapsto a\,x^r</math> stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle <math>x=0</math>.

Zum Beispiel ist <math> (x \sqrt [3] {x^2})' = \tfrac 5 3 \sqrt [3] {x^2}</math> gültig in ganz <math>\mathbb{R}^+_0</math> (bzw. sogar in ganz <math>\mathbb{R}</math>, wenn man ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt – siehe unten).

Für eine beliebige nicht negative rationale Zahl <math>r \neq -1</math> ist die Formel

:<math>\int x^r\;dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C</math>

für alle Intervalle, die Teilmengen der Definitionsmenge sind, gültig. Für <math>r = -1</math> gilt

:<math>\int x^{-1}\;dx= \int \frac{1}{x}\;dx= \ln(|x|)+C</math>

Zum Beispiel gilt:

:<math>\int x \sqrt [3] {x^2}\;dx = \int x^{5/3} \; dx=3/8~ x^{8/3}+C=3/8~ x^2 \sqrt [3] {x^2}+C</math>.

== Potenzfunktionen mit Wurzeln aus negativen Zahlen ==

In diesem Abschnitt werden nur Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten betrachtet, bei denen der Nenner des gekürzten Exponenten ungerade ist, und es wird erklärt, wie man deren Definitionsmenge auf negative Zahlen erweitern kann. Im Folgenden wird dann erläutert, welche der oben erwähnten Eigenschaften der Funktionen dadurch geändert werden.

=== Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen ===

(→ Siehe auch [[Potenz (Mathematik)#Rationale Exponenten|Potenz]])

In den bisherigen Abschnitten wurde die in vielen Schulbüchern übliche Konvention verwendet, dass Wurzeln nur für nicht-negative Radikanden definiert sind. Man kann jedoch auch '''ungerade''' Wurzeln aus negativen Zahlen zulassen. Für ungerades <math>n</math> und beliebiges <math>x \in \mathbb{R}</math> definiert man, analog zur bekannten Definition für positive Radikanden:
<div class="center"><math>\sqrt[n]{x}</math> ist diejenige (eindeutige) reelle Zahl <math>y</math>, für die <math>y^n = x</math> gilt.</div>

Beispielsweise wäre nach dieser Definition die Lösung der Gleichung <math>x^3 = -8</math> gegeben durch <math>x = \sqrt [3]{-8} = -2</math> (wohingegen man nach der üblichen Definition ohne Wurzeln aus negativen Zahlen <math>x = -\sqrt[3]{8} = -2</math> schreiben müsste).

=== Definitions- und Wertemenge ===

Bei Potenzfunktionen mit den eingangs erwähnten Eigenschaften kann man nun den [[Definitionsbereich]] auf negative <math>x</math> erweitern : Sei <math> r=n/m </math> mit <math>n\in \mathbb {Z}</math>, <math>m\in \mathbb {N}</math>, <math>m</math> dabei ungerade, und seien <math>m</math> und <math>n</math> [[Teilerfremdheit|teilerfremd]], dann gilt:
:<math>x^r = \sqrt [m] {x^n} </math> <math>{\qquad}</math> (oder, was äquivalent ist, <math>{\quad}</math> <math>x^r = (\sqrt [m] {x})^n</math>).
(Anmerkung: Ist <math> m=1</math>, dann ergibt dies wieder eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten.)

Für <math>n>0</math> ist die Definitionsmenge dieser Funktion dann gleich <math>\mathbb {R}</math>, für <math>n<0</math> ist sie gleich <math>\mathbb {R}\setminus \{0\}</math>.

Für die Wertemenge muss man wieder das Vorzeichen von <math>a</math> beachten. Außerdem kommt es nun auch noch darauf an, ob eine der Zahlen <math>m</math> oder <math>n</math> gerade ist (d. h. das Produkt <math>mn</math> gerade ist) oder ob diese beiden Zahlen ungerade sind (d. h. das Produkt <math>mn</math> ungerade ist):
{| class="wikitable"
|-
! || colspan="2" | ''n'' > 0 || colspan="2" | ''n'' < 0
|-
! !! <math>mn</math> gerade !! <math>mn</math> ungerade !! <math>mn</math> gerade !! <math>mn</math> ungerade
|-
| ''a'' > 0 || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}^+_0</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}^+</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}\setminus\{0\}</math>
|-
| ''a'' < 0 || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}^-_0</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}^-</math> || style="text-align:center" | <math>\mathbb{R}\setminus\{0\}</math>
|}

=== Symmetrie und Verhalten für ''x'' → ±∞ und ''x'' → 0 ===

Für die Symmetrie gilt ähnliches wie bei ganzzahligen Exponenten: die Funktion ist gerade für gerade <math>n</math> und ungerade für ungerade <math>n</math>. Ihr Verhalten für <math> x\to 0\;(x<0)</math> und für <math> x\to -\infty</math> ist dann von ihren Symmetrieeigenschaften und von ihrem Verhalten auf der rechten Halbachse definiert.

== Anwendungen ==

Potenzfunktionen haben vielfältige Anwendungen in Wirtschaft, Natur und Technik:
* [[Proportionalität]]en <math>(r = 1)</math> tauchen in vielen Zusammenhängen auf:
** Kosten und Warenmenge (ohne Mengenrabatt)
** Umrechnung zwischen Währungen
** [[Kreisumfang]] und [[Radius]]
** [[Masse (Physik)|Masse]] und [[Volumen]] (bei konstanter [[Dichte]])
** vergangene Zeit und zurückgelegte Wegstrecke (bei konstanter Geschwindigkeit)
** gefahrene Wegstrecke und verbrauchte Kraftstoffmenge (bei konstantem Verbrauch)
** [[Kraft]] und [[Beschleunigung]] (bei konstanter Masse)
** Dehnung eines Körpers und angreifende [[Kraft]] (in gewissen Grenzen, siehe [[Hookesches Gesetz]])
* Praktisch genauso häufig kommen [[reziproke Proportionalität]]en <math>(r = -1)</math> vor (auch indirekte oder Anti-Proportionalität genannt):
** Arbeiterzahl und Arbeitszeit
** benötigte Zeit für eine Wegstrecke und (konstanter) [[Geschwindigkeit]]
** benötigte [[Kraft]] und Länge eines Hebels ([[Hebelgesetz]])
** Masse und benötigte Kraft für gegebene Beschleunigung
* Viele Größen in [[Geometrie]] und [[Physik]] hängen quadratisch voneinander ab <math>(r = 2)</math>:
** [[Flächeninhalt]] eines [[Quadrat (Geometrie)|Quadrats]] und seine Seitenlänge
** [[Flächeninhalt]] eines [[Kreis (Geometrie)|Kreises]] und sein [[Radius]]
** [[Spannenergie]] und Dehnung eines Körpers
** [[Bewegungsenergie]] und [[Geschwindigkeit]]
** zurückgelegte Wegstrecke und Zeit bei gleichmäßiger [[Beschleunigung]]
** [[elektrische Leistung]] und [[Elektrische Stromstärke|Stromstärke]] bei gegebenem [[Elektrischer Widerstand|Widerstand]]
** [[Luftwiderstand]]skraft und [[Geschwindigkeit]] bei [[Turbulente Strömung|turbulenter Strömung]]
* Die dritte Potenz <math>(r = 3)</math> tritt beispielsweise in der [[Geometrie]] häufig auf:
** [[Radius]] und [[Volumen]] einer [[Kugel]]
** Seitenlänge und [[Volumen]] eines [[Würfel (Geometrie)|Würfels]]
* Einige physikalische Größen hängen in der vierten Potenz miteinander zusammen <math>(r = 4)</math>:
** Strahlungsleistung eines [[Schwarzer Körper|schwarzen Körpers]] und seine absolute [[Temperatur]] ([[Stefan-Boltzmann-Gesetz]])
** [[Streuquerschnitt]] für Lichtstreuung und Licht[[frequenz]] (die u. a. für die blaue Farbe des Himmels verantwortliche [[Rayleigh-Streuung]])
** Volumenstrom durch ein dünnes Rohr und Rohrradius ([[Gesetz von Hagen-Poiseuille]])
* Auch nicht-ganzzahlige Potenzen kommen in vielen Zusammenhängen vor:
** Zusammenhang zwischen [[Druck (Physik)|Druck]], [[Volumen]] und absoluter [[Temperatur]] bei [[Adiabatische Zustandsänderung|adiabatischen Zustandsänderungen]] (siehe auch [[Adiabatenexponent]])
** Zusammenhang zwischen großer [[Halbachsen der Ellipse|Halbachse]] <math>a</math> und Umlaufzeit <math>T</math> von [[Planet]]en bzw. [[Mond]]en ([[Keplersche Gesetze|3. Kepler-Gesetz]])
** [[Skalengesetz]]e, beispielsweise bei [[Phasenübergang|Phasenübergängen]], aber auch in der [[Biologie]]
** In der [[Geometrie]] gilt für den Zusammenhang zwischen [[Oberflächeninhalt]] und [[Rauminhalt]] eines [[Würfel (Geometrie)|Würfels]]: <math> V = (O/6)^{3/2}</math>; eine ähnliche Formel ergibt sich bei einer [[Kugel]].
** Bei einem Universum, das mit einer homogenen Substanz erfüllt ist, die eine [[Zustandsgleichung]] der Form <math>p = w \rho</math> erfüllt, ergibt sich für die Zeitabhängigkeit des [[Skalenfaktor]]s aus den [[Friedmann-Gleichungen]]: <math>a(t) \sim t^{2/3(1+w)}</math>.

== Literatur ==
* Karl-Heinz Pfeffer: ''Analysis für Fachoberschulen''. Vieweg+teubner 2005, ISBN 3-528-54006-0, S. 104 ({{Google Buch |BuchID=2nIFFgNx4ucC |Seite=104 |Linktext=eingeschränkte Online-Kopie |Land=DE}})
* Wolfgang Brauch, Hans-Joachim Dreyer, Wolfhart Haacke: ''Mathematik für Ingenieure.'' Vieweg+Teubner 2006, ISBN 3-8351-0073-4, S. 104 ({{Google Buch |BuchID=3sgenItY_4gC |Seite=104 |Linktext=eingeschränkte Online-Kopie |Land=DE}})
* [[Horst Stöcker]]: ''Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren''. Harri Deutsch Verlag 2009, ISBN 978-3-8171-1812-0, S. 146 ({{Google Buch |BuchID=CnfrIB6IDFQC |Seite=146 |Linktext=eingeschränkte Online-Kopie |Land=DE}})

== Weblinks ==
* [http://www.poenitz-net.de/Mathematik/4.Funktionen/4.4.S.Potenzfunktionen.pdf ''Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten'' (pdf; 373 kB)]
* [http://mathenexus.zum.de/pdf/analysis/funktionen_polynom/weiterfuehrendes/potenz_01_Parabeln.pdf ''Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten'' (pdf; 105 kB)] – ZUM-Materialien zur Potenzfunktion

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Potenzfunktion - Versionsgeschichte

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