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Die '''Potentialtheorie''' oder die Theorie der [[Wirbelfreies Vektorfeld|wirbelfreien Vektorfelder]] behandelt die mathematisch-physikalischen Grundlagen [[konservative Kraft|konservativer]] (wirbelfreier) [[Kraftfeld (Physik)|Kraftfelder]].

Wichtige Anwendungen sind einige in der Natur wirksame [[Skalarfeld]]er, insbesondere das [[Gravitation]]s- bzw. [[Schwerefeld]] sowie [[Elektrisches Feld|elektrische]] und [[Magnetfeld|magnetische Felder]]. In der [[Fluiddynamik]] ([[Aerodynamik]] und [[Hydrodynamik]]) lassen sich [[Potentialströmung|Strömungsfelder]] als [[Potentialfeld]] beschreiben, ebenso viele Vorgänge in der [[Atomphysik]] und die Modellierung der genauen [[Erdfigur]].

Die Anfänge der Theorie gehen auf den italienischen Mathematiker und Astronomen [[Joseph-Louis Lagrange]], den Engländer [[George Green]] und schließlich [[Carl Friedrich Gauß]]<ref>Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, [[Herbert Kästner]] (Hrsg.): ''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' Leipzig 1970, S. 741.</ref><ref>Grimsehl: ''Lehrbuch der Physik, Bd. I''; Leipzig 1954, S. 160.</ref> zurück, der dabei bereits Anwendungen für die [[Geoidbestimmung]] im Sinn hatte.

Zentrale Elemente des Theoriegebäudes sind das [[Potential (Physik)|Potential]] und seine örtlichen Ableitungen, bei denen zwischen dem Innenraum eines Körpers (mit seiner [[Ladung (Physik)|Ladung]]s- bzw. [[Massenverteilung]]) und dem [[quellfrei]]en Außenraum zu unterscheiden ist (siehe [[Laplace-Gleichung]]).

== Vektor- und skalares Feld ==
Die Potentialtheorie beruht darauf, dass zu jedem konservativen Vektorfeld ein [[Skalar (Physik)|skalares]] Potentialfeld existiert, dass also in jedem Punkt das Vektorfeld <math>\vec a(\vec r) </math> durch den [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] des Potentialfeldes <math>\Phi(\vec r) </math> gemäß

:<math>\vec a (\vec r) = \operatorname{grad} \, \Phi (\vec r) = \vec \nabla \, \Phi (\vec r) </math>

mit dem [[Nabla-Operator]] <math>\nabla</math> gegeben ist (man spricht daher auch vom [[Gradientenfeld]]). Gleichzeitig lassen sich durch Bildung der [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] von <math>\vec a</math> die [[Quelle und Senke|Quellen und Senken]] des Feldes bestimmen (zum Beispiel die elektrischen [[elektrische Ladung|Ladungen]] beim elektrischen Feld):

:<math>\rho (\vec r) = \operatorname{div} \, \vec a (\vec r) = \operatorname{div} \, (\operatorname{grad} \, \Phi (\vec r)) = \vec \nabla \cdot \, (\vec \nabla \, \Phi (\vec r)) = \Delta \Phi(\vec r)</math>

mit dem [[Laplace-Operator]] <math>\Delta</math>.
Die Potentialtheorie beschäftigt sich nun damit, wie sich bei einer gegebenen Größe, z. B. dem Quellenfeld <math>\rho(\vec r)</math>, die korrespondierenden anderen Größen berechnen lassen. Entsprechend der jeweiligen Fragestellung spricht man dabei von verschiedenen „Problemen“.

== Poisson-Problem ==
Für das Potential gilt die [[Poisson-Gleichung]]

:<math>\Delta \Phi(\vec r) = \rho ( \vec r ).</math>

Wenn das Quellenfeld <math>\rho( \vec r )</math> gegeben ist, lässt sich das Potential durch Integration bestimmen: Da eine einzelne punktförmige Quelle der Stärke <math>q</math> am Punkt <math>\vec r' </math> das Potential

:<math> \Phi ( \vec r ) = \frac{1}{4\pi} \frac{q}{|\vec r -\vec r' |} \quad \text{bzw.} \quad \mathrm d\Phi ( \vec r ) = \frac{1}{4\pi} \frac{\mathrm d q}{|\vec r -\vec r' |} = \frac{1}{4\pi} \frac{\rho (\vec r')}{|\vec r -\vec r' |}\ \mathrm dV'</math>

erzeugt, ergibt sich durch Aufsummieren bzw. Integration insgesamt

:<math> \Phi( \vec r ) = \frac{1}{4\pi} \int \frac{\rho (\vec r')}{|\vec r -\vec r' |} \ \mathrm dV' .</math>

== Dirichlet-Problem ==
{{Hauptartikel|Peter Gustav Lejeune Dirichlet}}
Häufig lassen sich in der Physik die Quellenfelder nicht direkt messen, wohl hingegen ihr Potentialfeld auf einem bestimmten räumlichen Gebiet. Ein solcher Fall ist die Erforschung des [[Erdinneres|Erdinneren]] durch geodätische oder [[geophysik]]alische Methoden:

Man kann nicht ins tiefe Erdinnere bohren, um dort die [[Dichte (Physik)|Dichte]] zu bestimmen – man kann jedoch auf der [[Erdoberfläche]] ihre Wirkung in Form der [[Fallbeschleunigung]] und der [[Lotabweichung]] messen.

In einem solchen Fall ist <math>\Phi( \vec r )</math> auf einem Teil des Raumes bestimmt, das Quellenfeld selbst jedoch unbekannt. Es ist nur unter gewissen [[Nebenbedingung]]en eindeutig und lässt i.a. mehrere Lösungen zu (siehe auch [[Umkehrproblem der Potentialtheorie]]). <br>
Eine elegante mathematische Lösung des Dirichlet-Problems ist mit Hilfe der [[Greensche Funktion|Greenschen Funktionen]] möglich.

== Potential der einfachen Schicht ==
Eine Schwierigkeit bei praktischen Berechnungen in der Potentialtheorie ist oft die große zu verarbeitende [[Datenmenge]], beispielsweise für harmonische Kugelfunktions-Entwicklungen zur Bestimmung von Schwerefeld und [[Geoid]]. Um beispielsweise aus [[Bahnstörung]]en von Satelliten 50.000 [[Massefunktion]]en des Erdkörpers zu berechnen, benötigt die [[Neumannsche Methode]] ca. 100.000 Datensätze und die Inversion von riesigen Matrizen ([[Lineares Gleichungssystem|Gleichungssystemen]]).

Für dieses Problem der [[Satellitengeodäsie]] hat der Bonner Geodät [[Karl Rudolf Koch]] in den 1970er Jahren unter der Bezeichnung „[[Potential der einfachen Schicht]]“ eine sog. [[robust]]e, sehr effektive Rechenmethode erarbeitet, bei der das [[Störpotential]] nicht durch [[harmonische Funktion]]en, sondern als [[Flächenbelegung]] auf der Erdoberfläche dargestellt wird. Diese fiktiven dünnen Schichten ersetzen die im Detail unbekannte Quellen- bzw. Massenverteilung im tieferen Erdinnern und in der [[Erdkruste]]. Die im Prinzip an den Modellrändern unstetige Rechenmethode bewährte sich in der Praxis ungemein und konnte die [[Rechenzeit]]en der Großcomputer auf einen Bruchteil reduzieren.

== Literatur ==
* R. J. E. Clausius: ''[https://books.google.de/books?id=h00DAAAAQAAJ&redir_esc=y&hl=de Die Potentialfunction und das Potential]''. Leipzig: Barth, 1859.
* T. Wand: ''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996130 Die principien der mathematischen Physik und die Potentialtheorie nebst ihren vorzüglichsten Anwendungen im Grundriss dargestellt]''. Leipzig: B. G. Teubner, 1871.
* C. Neumann: ''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996161 Untersuchungen über das logarithmische und Newton’sche Potential]''. Leipzig : B. G. Teubner, 1877.
* Max Doehler: ''Beitrag zur Potentialtheorie : die Green’sche Funktion für das Rotationsellipsoid, den unendlichen Kreiscylinder und Schalen, die von zwei konfokalen Rotationsellipsoiden resp. zwei koaxialen unendlichen Kreiscylindern begrenzt werden''. Matthes, Brandenburg 1889 ({{ULBDD|urn:nbn:de:hbz:061:1-99196}}).
* A. Wangerin: ''[https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath&idno=ABR4703 Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen (2 band)]''. Leipzig: G. J. Göschen, 1909–1921.
* R. Courant, D. Hilbert: ''[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN380673029 Methoden der mathematischen Physik Zweiter Band]''. Berlin: Springer, 1924.
* S. Axler, P. Bourdon, W. Ramey: ''Harmonic Function Theory''. 2. Auflage, Springer-Verlag, 2001, ISBN 0-387-95218-7.
* [[Oliver Dimon Kellogg|O.D. Kellogg]]: ''[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN379055058 Foundations of Potential Theory]''. Dover Publications, 1967, ISBN 0-486-60144-7.
* [[Karl Ledersteger]]: ''[[Handbuch der Vermessungskunde]] Band V Astronomische und Physikalische Geodäsie''. J. B. Metzler, Stuttgart 1969 ([[Theorem]]e und Schwerefeld, [[Gleichgewichtsfigur]]en und [[Prinzip der Entblätterung]], Isostasie usw.).
* [[Rudolf Sigl]]: ''Einführung in die Potentialtheorie''. Wichmann-Verlag, 1973, ISBN 3-87907-031-8.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4046939-6|LCCN=sh85105671}}

[[Kategorie:Potentialtheorie| ]]
[[Kategorie:Geodäsie]]
[[Kategorie:Geophysik]]
[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]
[[Kategorie:Vektoranalysis]]

Potentialtheorie - Versionsgeschichte

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