imported>Vfb1893: BKL JEK aufgelöst

2025-01-10T21:22:37Z

BKL JEK aufgelöst

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Als '''Potential der einfachen Schicht''' wird eine von [[Karl-Rudolf Koch]] in den [[1970er]]-Jahren entwickelte Methode bezeichnet, mit der durch Einführung von [[Flächenbelegung]]en die Berechnung des [[Erdschwerefeld]]es vereinfacht oder beliebig verfeinert werden kann. Die Methode hat zwar – im Gegensatz etwa zu den harmonischen Modellen mittels [[Legendre-Funktion|Legendre]]- und [[Kugelflächenfunktion]]en – bei der Approximation des [[Schwerepotential]]s eine [[Unstetigkeit|unstetige]] Charakteristik an den Modellrändern, benötigt aber nur einen Bruchteil der Rechenzeit und ein etwa halb so großes [[Lineares Gleichungssystem|Gleichungssystem]] wie die klassische [[Neumann’sche Methode]].

== Geoid, Störpotential und Flächenbelegungen ==
Das Schwerepotential und seine [[Funktional]]e – die wichtigsten sind das [[Geoid]], die [[Lotabweichung]]en und die [[Schwereanomalie]]n – werden großteils durch die [[Gravitation]] des [[Erdfigur|Erdkörpers]] und die [[Fliehkraft]] der [[Erdrotation]] verursacht. Jedoch bewirken alle Unregelmäßigkeiten der Erdoberfläche ([[Gelände]], unterschiedliche [[Dichte]]n) und der [[geologisch]]e Aufbau der [[Erdkruste]] Abweichungen vom [[theoretische Schwere|Normalfeld]], das dem theoretischen Schwerefeld eines mittleren [[Erdellipsoid]]s gleichgesetzt wird.

Jede zusätzliche oder gegenüber dem Erdellipsoid fehlende [[Masse (Physik)|Masse]] – die in ihrer Gesamtheit als [[Massenverteilung]] bezeichnet wird – verändert das Schwerepotential der Erde, und zwar umso mehr, je näher die Anomalie am jeweiligen Messpunkt liegt. Die Potentialänderung wird als [[Störpotential]] bezeichnet und kann durch ein [[Skalar (Mathematik)|Skalar]] (eine lokale Differenz in der [[potentielle Energie|potentiellen Energie]]) ausgedrückt werden.

Ein Gebirgs[[massiv]] erhöht z. B. das Erdpotential um einige Zehntel [[Promille]], was sich in erhöhter Schwerkraft und einer geringfügigen [[Auswölbung]] der [[Niveaufläche]]n und des Geoids auswirkt. Besser vorstellbar ist dieser Effekt, wenn man die [[Lotrichtung]] betrachtet.

Das Gebirge zieht eine frei hängende Lotschnur etwas zu sich, wodurch sich auch die darauf senkrechte örtliche ''[[Horizont (Bezug)|Horizontale]]'' (eine Parallele zum Geoid) etwas verändert. Die resultierende Aufwölbung wird [[Geoidundulation]] genannt. Auf der anderen Seite des Gebirges verläuft der Effekt entgegengesetzt. Bei den entsprechenden Berechnungen, die mit Gesteinswürfeln oder [[Prisma (Geometrie)|Prismen]] durchgeführt werden, muss zwar die nächste Umgebung genau berücksichtigt werden, für das fernere Gelände genügt aber ein relativ grobes Modell. Die Lotabweichungen betragen in den Alpen maximal 50″ (0,015°), im Hügelland etwa ein Zehntel davon, sie sind aber bei jeder genauen [[Vermessung]] zu berücksichtigen (siehe [[topografische Reduktion]]).

Die Methode der Flächenbelegung kann diese Berechnungen vereinfachen, indem die Berge durch [[Massenbelegung]]en modelliert werden. Das sind unendlich dünne, übereinander legbare Platten, deren (fiktive) Massen dem Gesteinskörper entsprechen. Ein Massendefizit (z. B. ein tiefes Tal) wird durch ''negative'' Massen modelliert.

== Das Störpotential und seine Funktionale ==
Zur Berechnung des Störpotentials <math>T</math> an einem bestimmten Punkt sind theoretisch alle Störmassen (d. h. die Abweichungen der [[Erdfigur]] von einem idealen Ellipsoid) ins Kalkül zu ziehen. De facto ist aber nur für die nächste Umgebung ein genaues [[digitales Geländemodell]] erforderlich, während für Entfernungen über 50 km ein sehr grobmaschiges Modell ausreicht.

Das ''gesamte'' Schwerepotential <math>W</math> an einem Punkt <math>P</math> der Erdoberfläche (der sog. [[Aufpunkt]]) mit den kartesischen Koordinaten <math>X, Y, Z</math> lässt sich als [[Volumenintegral]] über die gesamte [[Erdmasse]] schreiben, indem das auf <math>P</math> wirkende Potential aller [[Massenpunkt]]e der Erde summiert wird. Diese Massenpunkte mit dem Volumenelement <math>\mathrm dV</math> haben die individuelle Dichte <math>\rho</math> (Gesteine 2,5–3,3 g/cm³, Erdmantel 4–6 g/cm, Erdkern ~10 g/cm³), die von ihrer Lage im Erdkörper <math>(x, y, z)</math> abhängt. Im Nenner steht der Vektor <math>\mathbf r</math> zwischen dem Aufpunkt <math>P</math> und dem jeweiligen Massenpunkt <math>\rho \mathrm d V</math>:

:<math>W(X, Y, Z) = \int_\text{Erde} \frac{\rho(x,y,z) \mathrm dV}{|\mathbf{r}|}</math>.

Numerisch ist eine exakte Lösung nicht möglich, weil die Erde schon bei Zerlegung in 1 km³ große „Punktmassen“ in einer Billion Teile modelliert werden müsste. Außerdem kennt man den Verlauf der [[Dichtefunktion|Dichte]] im tieferen Untergrund nicht genau genug. Die praktische Berechnung solcher Potentiale muss sich daher mit [[Näherungslösung]]en und gebietsweisen Abschätzungen begnügen.

Eine wesentliche Vereinfachung ergibt sich, wenn die obige Gleichung auf sog. ''Störmassen'' beschränkt wird, welche die Abweichung vom Erdellipsoid repräsentieren. Das [[Erdinneres|Erdinnere]] wird dabei mit Theorien wie der [[Gleichgewichtsfigur]]en erfasst, was heute auf wenige Millionstel genau möglich ist. Das zugehörige ''theoretische'' Potential wird mit <math>U</math> bezeichnet

Das [[Störpotential]] <math>T</math> ergibt sich somit zu

:<math>T(X, Y, Z) := W(X, Y, Z) - U(X, Y, Z) = \int_\text{Störmassen} \frac{\rho(x,y,z) \mathrm dV}{|\mathbf{r}|}</math> ,

was bereits einer annähernd praktikablen Modellierung zugänglich ist.

Die weiteren interessierenden Größen des Schwerefeldes sind [[Funktional]]e dieses Störpotentials <math>T</math>, wobei <math>\gamma</math> die ellipsoidische [[Normalschwere]] am Aufpunkt <math>P</math> ist und <math>R</math> der mittlere [[Erdradius]]. Das kartesische Koordinatensystem <math>x,y,z</math> wird durch ein lokales System <math>u,v,w</math> ersetzt, worin <math>w</math> in Richtung der örtlichen Vertikale weist, <math>u</math> nach Norden und <math>v</math> nach Osten:

* [[Geoidundulation]] <math>\zeta = T/\gamma</math>
* [[Schwereanomalie]] <math>\Delta g= \frac{\partial T}{\partial w} - T\frac{2}{R}</math>
* Komponenten der [[Lotabweichung]] <math>\begin{aligned}\xi &= - \frac{1}{\gamma} \frac{\partial T}{\partial u}\\
\eta &= - \frac{1}{\gamma} \frac{\partial T}{\partial v}\end{aligned}</math>

== Approximation des Störpotentials mit Flächenbelegungen ==
Die Modellierung des [[Erdschwerefeld]]es erfolgt mittels '''Potential der einfachen Schicht''' (''potential of a simple layer''). Mehrere dieser dünnen, mit konkreten Massen behafteten Schichten werden fiktiv auf der [[Erdoberfläche]] ausgebreitet und können sich allenfalls überlagern. Ihre [[Dichte]]n werden als [[Parameter (Mathematik)|Unbekannte]] angesetzt und mittels der gegebenen Schweredaten durch [[Ausgleichsrechnung]] nach kleinsten Quadraten ermittelt.

In der ersten Version der Methode (Koch 1970) wurden 192 Oberflächenelemente definiert, deren Massen einem harmonischen Potentialmodell ([[Kugelflächenfunktion|Kugelfunktionen]] bis zu Grad und Ordnung 15) der [[Satellitengeodäsie]] angepasst wurden, sowie einem großen Datensatz von terrestrischen [[Schwereanomalie]]n.

Die Dichte dieser Kugelkalotten bezogen sich auf ein [[Referenzellipsoid]], das dieselbe [[Erdabplattung|Abplattung]] hat wie ein Erdkörper im hydrostatischen Gleichgewicht. Die derart ermittelten Ergebnisse haben daher auch Bezug zu [[geophysik]]alischen Fragestellungen.

In späteren Anwendungen (Koch 1975f) wurden zusätzliche Kombinationslösungen zwischen Schwereanomalien und [[Satellitenaltimetrie]] durchgeführt. Diese Höhenmessungen waren bereits Mitte der siebziger Jahre so genau, dass eine gemeinsame Modellierung mit den [[Bahnstörung]]en versucht werden konnte.

Die zu bestimmenden Dichtewerte der Oberflächenelemente werden zwar als konstant angesetzt, doch lässt sich das [[Auflösungsvermögen]] des Modells durch eine Änderung ihrer ''Anzahl'' an die Qualität der Schweredaten anpassen.

Wenn die Altimeter- oder Schweredaten die Erde sehr dicht überdecken bzw. von hoher [[Genauigkeit]] sind, kann das Verfahren durch einen feineren [[Messraster|Raster]] von Potentialschichten sehr flexibel gestaltet werden.

Bei der Berechnung dieser Oberflächenelemente kann die Ausgleichung durch zusätzliche Übergangs- oder [[Pufferzone]]n ergänzt werden und lässt sich zur Lösung sehr großer [[lineares Gleichungssystem|Gleichungssysteme]] in kleinere, unabhängige Subsysteme aufspalten. <br />
Auch ein Übergang auf [[Kollokation nach kleinsten Quadraten|Kollokation]]s<nowiki/>methoden ist möglich.

== Literatur und Quellen ==
* K. Ledersteger, [[Handbuch der Vermessungskunde]] (JEK) Band 5
* K. H. Koch: Zeitschrift für Vermessungskunde 1975
* Surface Density Values for the Earth from Satellite and Gravity Observations, Karl-Rudolf Koch 1970, Geoph. J. Int. Vol. 21/1 p. 1–12 {{doi|10.1111/j.1365-246X.1970.tb01763.x}}
* Karl-Rudolf Koch: ''Processing of altimetry data'', Journ.of Geodesy 49/1, März 1975, {{doi|10.1007/BF02523941}}

[[Kategorie:Erdmessung]]

Potential der einfachen Schicht - Versionsgeschichte

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