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2025-01-12T20:18:24Z

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Eine '''potente Zahl''' ist eine natürliche Zahl <Math>m</Math> mit der Eigenschaft, dass für jeden [[Primfaktorzerlegung|Primteiler]] <Math>p</Math> von <Math>m</Math> auch <Math>p^2</Math> Teiler von <Math>m</Math> ist. Äquivalent dazu ist eine potente Zahl das Produkt einer [[Quadratzahl]] und einer [[Kubikzahl]]: <math>m=a^2b^3</math> mit natürlichen Zahlen <Math>a</Math> und <Math>b</Math>. [[Paul Erdős]] und [[George Szekeres]] untersuchten solche Zahlen, [[Solomon W. Golomb]] nannte sie ''powerful''.

Liste aller potenten Zahlen von 1 bis 1000:
:1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.
Folge [[oeis:A001694|A001694]] in ''[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]''

Die Reihe über den Kehrwerten aller potenten Zahlen lässt sich mit Hilfe der [[Riemannsche ζ-Funktion]] geschlossen darstellen. (Golomb, 1970)
:<math>\sum_{n\, \text{potent}} \frac{1}{n}=\prod_p \left(1+\frac{1}{p\, (p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\,\zeta(3)}{\zeta(6)}=\frac{315}{2\pi^4}\zeta(3)=1{,}9435964368207592050570...</math>
Dabei ist <math>\zeta(3)</math> die [[Apéry-Konstante]], für die es keine exakte Darstellung wie für gerade Argumente der [[Riemannsche Zetafunktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] gibt.
Ihr numerischer Wert beläuft sich auf <math>\zeta(3)=1{,}20205690315959428539...</math>.

== Weblinks ==
* [https://nitaj.users.lmno.cnrs.fr/abc.html The abc conjecture]

[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]

Potente Zahl - Versionsgeschichte

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