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2026-03-17T20:41:28Z

Positive Operatoren zwischen Ordnungsstrukturen: zwischenüberschrift

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'''Positiver Operator''' ist ein Begriff aus der [[Funktionalanalysis]], der auf zwei unterschiedliche Arten verwendet wird. Einerseits kann ein [[Hilbertraum]]-Operator bzw. ein Element einer [[C*-Algebra|C*-Algebra]] positiv im Sinne der [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektraltheorie]] sein. Andererseits nennt man Operatoren zwischen [[Ordnungsrelation|geordneten]] [[Vektorraum|Vektorräumen]] positiv, wenn sie die Ordnungsstruktur erhalten.
Beide Begriffe haben eine große Bedeutung in der Mathematik, wie in Beispielen ausgeführt wird.

== Positive Hilbertraum-Operatoren ==
Sei <math>H</math> ein <math>\Complex</math>-[[Hilbertraum]] mit [[Skalarprodukt]] <math>\langle\cdot , \cdot \rangle</math>.
Für einen linearen stetigen Operator <math>P:H\rightarrow H</math> sind folgende Aussagen äquivalent:
* Für alle <math>x \in H</math> gilt <math>\langle Px,x \rangle \geq 0</math>.
* <math>P</math> ist [[selbstadjungierter Operator|selbstadjungiert]] und <math>\langle Px,x\rangle \ge 0</math> für alle <math>x\in H</math>.
* <math>P</math> ist selbstadjungiert und das [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] von <math>P</math> liegt in <math>{\mathbb R}^+_0</math>.
* Es gibt einen stetigen linearen Operator <math>A \colon H\rightarrow H</math> mit <math>P=A^*A</math>.
* Es gibt einen selbstadjungierten Operator <math>A \colon H\rightarrow H</math> mit <math>P=A^2</math>.

Ein Operator, der eine und damit alle diese Eigenschaften hat, heißt '''positiv'''.
Die Äquivalenz von Punkt 1 und 2 folgt aus der [[Polarisationsformel]] für Sesquilinearformen und funktioniert nur für komplexe Hilberträume und nicht für reelle.
Ist der Hilbertraum endlichdimensional, so sind die Operatoren als [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] darstellbar.
Die hier gegebene Definition der Positivität deckt sich mit der aus der [[lineare Algebra|linearen Algebra]] bekannten Positivität, das heißt eine Matrix ist positiv, wenn sie [[Diagonalmatrix|diagonalisierbar]] ist und alle [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] nicht negativ sind. Positive Matrizen spielen eine wichtige Rolle bei der Bestimmung von [[Extremwert]]en im mehrdimensionalen Fall.

In obiger Liste äquivalenter Charakterisierungen nimmt nur die erste Aussage direkten Bezug auf Hilbertraum-Elemente. Die drei anderen Aussage lassen sich direkt auf [[C*-Algebra|C*-Algebren]] übertragen. Die Beziehung zur ersten Charakterisierung bleibt erhalten, da jede C*-Algebra nach dem [[Satz von Gelfand-Neumark]] als Unteralgebra der C*-Algebra der Operatoren auf einem Hilbertraum aufgefasst werden kann.

In der kommutativen C*-Algebra <math>C_0(X)</math> der [[Stetige Funktion|stetigen]] Funktionen auf einem [[lokalkompakter Raum|lokalkompakten Raum]], die im Unendlichen verschwinden, sind die positiven Elemente genau diejenigen Funktionen, deren Bild in <math>{\mathbb R}^+_0</math> liegt.

Die positiven Elemente einer C*-Algebra bilden einen [[Kegel (Lineare Algebra)|Kegel]] und stellen daher ein wesentliches Strukturelement dar.
Sie spielen eine wichtige Rolle in der [[Polarzerlegung]].
Die C*-Algebra erhält eine Ordnungsstruktur durch die Definition: <math>A\le B:\Leftrightarrow B-A</math> ist positiv.
Das leitet zum nächsten Begriff positiver Operatoren über.

== Positive Operatoren zwischen Ordnungsstrukturen ==
[[Vektorraum|Vektorräume]] E mit einer [[Ordnungsrelation|partiellen Ordnung]] nennt man einen [[geordneter Vektorraum|geordneten Vektorraum]]. Meistens verlangt man noch, dass diese Ordnungsstruktur mit der linearen Vektorraum-Struktur verträglich ist, d. h., dass für <math> x,y \in E</math> mit <math>x,y \ge 0</math> und <math>\lambda\in {\mathbb R}^+_0</math> stets <math>x+y\ge 0</math> und <math>\lambda x\ge 0</math> gilt.

Beispiele solcher geordneter Vektorräume sind:
* <math>\mathbb R</math> mit der üblichen Ordnungsstruktur.
* <math>{\mathbb R}^n</math>, wobei <math>(x_1,\ldots,x_n)\le (y_1,\ldots, y_n)</math> genau dann, wenn <math>x_i \le y_i</math> für alle <math>1 \leq i \leq n</math>.
* [[Lp-Raum|Lp([0,1])]], wobei <math> f\le g</math>, falls <math>f(x) \le g(x)</math> für fast alle <math>x \in [0,1]</math>.
* Eine C*-Algebra mit der oben definierten Ordnungsstruktur.

Ein Operator <math>P:E\rightarrow F</math> zwischen geordneten Vektorräumen heißt '''positiv''' oder '''monoton''', wenn aus <math>x\ge 0</math> stets <math>Px \ge 0</math> folgt, d. h. wenn <math>P</math> die Ordnungsstrukturen erhält.

Ein bekanntes Beispiel ist der Bernstein-Operator <math>P_n</math> auf <math>C[0,1]</math>, der jeder stetigen Funktion ihr <math>n</math>-tes [[Bernsteinpolynom]] zuordnet. Ist <math>f\ge 0</math> (punktweise), so ist auch <math>P_n(f) \ge 0</math> (punktweise), wie man leicht an der Formel <math>\textstyle P_n(f)(t) = \sum_{i=0}^n \tbinom{n}{i}\cdot f\left(\tfrac{i}{n}\right)\cdot t^i\, (1-t)^{n-i} </math> für <math>t \in [0,1]</math> abliest. Solche positiven Operatoren spielen in der [[Approximation]]stheorie eine wichtige Rolle, zum Beispiel im [[Korowkin-Approximation|Satz von Korowkin]].

== Positives Funktional ==
Eine C*-Algebra <math>\mathcal A</math> ist nach obigem ein geordneter Raum. Die Menge <math>\mathbb C</math> der komplexen Zahlen ist ebenfalls eine C*-Algebra, der Kegel der positiven Elemente ist <math>{\mathbb R}^+_0</math>. Ein stetiges lineares Funktional <math>f \colon {\mathcal A} \rightarrow {\mathbb C}</math> heißt '''positiv''', wenn es ein positiver Operator zwischen den geordneten Räumen ist. Demnach ist <math>f</math> positiv, falls
<math>f(A^*A) \ge 0</math> für alle <math>A\in {\mathcal A}</math>. Diese positiven Funktionale spielen eine zentrale Rolle im [[Satz von Gelfand-Neumark]].

== Siehe auch ==
* [[Monotoner Operator]]
* [[Vollständig positiver Operator]]

== Quellen ==
* [[Richard Kadison|R. V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras'' (1983)
* G. J. O. Jameson: ''Ordered Linear Spaces'', Springer Lecture Notes no. 141 (1970)

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Positiver Operator - Versionsgeschichte

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