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2026-03-19T11:45:49Z

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[[Datei:Zahlenstrahl notationen.svg|mini|hochkant=1.5|Positive (blau) und negative (rot) Zahlen auf der Zahlengeraden und die für sie verwendeten mathematischen Notationen und Symbole]]
In '''positive und negative Zahlen''' werden in der Mathematik die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] ohne die [[Null]] (<math>\R \backslash \{0\}</math>) eingeteilt. Eine [[Zahl]], die [[Vergleich (Zahlen)|größer]] als Null ist, wie beispielsweise die Zahl 3, nennt man ''positiv''; ist sie kleiner als Null wie beispielsweise −3, nennt man sie ''negativ''. Positive Zahlen (genauer: Zahlkonstanten) tragen ein [[Addition|Pluszeichen]] (+) und negative Zahlen ein [[Minuszeichen]] (−) als [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]. Das Pluszeichen wird beim Notieren der Zahl normalerweise weggelassen. Die Zahl Null ist weder positiv noch negativ (nach allgemeiner Konvention im deutschsprachigen Raum, siehe auch den Abschnitt zu [[Positive und negative Zahlen#Abweichende Bezeichnungen|abweichenden Bezeichnungen]]).

Die gleiche Unterscheidung kann bei Teilmengen der reellen Zahlen vorgenommen werden, wie zum Beispiel bei den [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] oder den [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]].

Die Zahl Null und die positiven Zahlen werden als '''nichtnegativ''' oder '''nicht-negativ''' bezeichnet.
Die Zahl Null und die negativen Zahlen werden als '''nichtpositiv''' oder '''nicht-positiv''' bezeichnet.

Es gibt Zahlenmengen, für die man keine Dreiteilung in positive Zahlen, negative Zahlen und die Zahl Null vornehmen kann, die gleichzeitig mit der [[Addition]] und [[Multiplikation]] dieser Zahlen in Übereinstimmung gebracht werden kann (z. B. die Menge der [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]]). Das ist immer dann der Fall, wenn man keine [[Totalordnung]] definieren kann, die mit beiden Operationen verträglich ist. (Zahlen-)[[Körper (Algebra)|Körper]] mit dieser Eigenschaft nennt man „nichtanordenbar“.<ref name="Zahlen_Ebbinghaus_3te_3-2-4">{{Literatur |Autor=Ebbinghaus et al. |Titel=Zahlen |Auflage=3 |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York / London / Paris / Tokyo / Hong Kong / Barcelona / Budapest |Datum=1992 |ISBN=3-540-55654-0 |Kapitel=3.2.4 Nichtanordbarkeit des Körpers <math>\Complex</math>}}</ref>

== Darstellung ==

Positive Zahlen werden ohne Vorzeichen oder mit einem [[Pluszeichen]], negative Zahlen mit einem [[Minuszeichen]] gekennzeichnet. Das Vorzeichen wird ohne [[Leerraum]] direkt an die erste Ziffer angeschlossen. Speziell im Finanzbereich werden negative Zahlen alternativ in Klammern geschrieben.

Auf der [[Zahlengerade]]n ist der Bereich der positiven Zahlen die rechte Halbachse und der Bereich der negativen Zahlen ist spiegelsymmetrisch die linke Halbachse.

== Eigenschaften ==

=== Vorzeichen ===

Das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] weist eine Zahl als positiv oder negativ aus. Die [[Vorzeichenfunktion]] liefert in Abhängigkeit vom Vorzeichen einen ganzzahligen Wert: −1 für negative Zahlen,
0 für die Zahl 0 und +1 für positive Zahlen.

=== Betrag ===
Der [[Betragsfunktion|Betrag]] einer Zahl ist gleich dem [[Abstand]] der Zahl zur Zahl 0. Der Betrag der 0 ist 0.

=== Gegenzahl ===
Die Gegenzahl einer Zahl hat den gleichen Betrag, aber das gegenteilige Vorzeichen wie die Zahl. Zum Beispiel ist −3 die Gegenzahl von 3 und 16 die Gegenzahl von −16. Zahl und Gegenzahl haben die Eigenschaft, dass sie in Summe immer null ergeben, weshalb man die Gegenzahl in der Algebra auch als [[Inverses Element#Additiv Inverses|additiv inverses Element]] bezeichnet.<ref>{{MathWorld |id=AdditiveInverse|title=Additive Inverse}}</ref>

=== Natürliche Zahlen ===

Der Begriff „positive“ bzw. „negative Zahl“ kann auf die ganzen Zahlen (eingebettet in die reellen Zahlen) übertragen werden. Die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] sind die positiven (oder bei entsprechender Definition die nichtnegativen) ganzen Zahlen. Hierbei hat sich die Schreibweise <math>\N</math> (nur positive ganze Zahlen) bzw. <math>\N_0</math> (nichtnegative ganze Zahlen) eingebürgert. Nichtnegativ meint lediglich, dass auch die Null in dieser Menge betrachtet wird.

=== Multiplikationsgruppe ===

Fasst man die positiven reellen (oder rationalen) Zahlen zur Menge ''P'' zusammen und die negativen reellen (oder rationalen) Zahlen zur Menge ''N'', so ist die Vereinigung der Mengen ''P'' und ''N'', also die Menge aller Zahlen ungleich Null, eine [[abelsche Gruppe]] bezüglich der [[Multiplikation]].

Die Menge der ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation ist keine Gruppe, da z. B. die ganze Zahl 2 keine [[Inverses Element|inverse]] ''ganze'' Zahl hat (1/2 ist keine ganze Zahl).

=== „Minus mal Minus gleich Plus“ ===
Wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen miteinander multipliziert, erhält man stets eine positive Zahl. Multipliziert man hingegen eine positive mit einer negativen Zahl, so ist das Ergebnis stets eine negative Zahl.

== Vorzeichenfehler ==
Viele [[Rechenfehler]] beruhen auf einer Verwechslung des Vorzeichens.

Ein bekanntes Beispiel ist die [[Hochrheinbrücke]], wo bei der Brückenpfeilerberechnung der Korrekturwert von 27 cm mit dem falschen Vorzeichen eingesetzt wurde. Die Schweiz und Deutschland haben an der gemeinsamen Grenze ein um 27 cm unterschiedliches Höhensystem.<ref>{{Internetquelle |url=https://web.archive.org/web/20161105032617/https://www.handelsblatt.com/unternehmen/management/projekte-in-firmen-ueberall-ist-babylon/2867600-all.html |titel=Projekte in Firmen: Überall ist Babylon |datum=2016-11-05 |abruf=2025-02-16 |kommentar=Archivlink}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=SWRWissen |url=https://www.swr.de/wissen/flops-in-der-technikgeschichte-hochrheinbruecke-100.html |titel=Rechenfehler beim Bau der Hochrheinbrücke |datum=2023-01-09 |sprache=de |abruf=2025-02-16}}</ref>

== Praktische Verwendung ==

In manchen Bereichen haben sich besondere Begrifflichkeiten etabliert, durch die die Verwendung negativer Zahlen vermieden wird. So spricht man z. B. von „Schulden“ anstelle von „negativem Guthaben“ oder „Bremsen“ anstelle von „negativer Beschleunigung“. Auf der anderen Seite haben sich an manchen Stellen Skalen mit positiven und negativen Zahlen etabliert, wo negative Zahlen gar nicht erforderlich wären, wie etwa bei der Temperaturmessung ([[Grad Celsius|Celsius-]] und die [[Grad Fahrenheit|Fahrenheitskala]] anstelle der [[Kelvin]]skala).

== Abweichende Bezeichnungen ==
Die in diesem Artikel gewählte Terminologie ist inzwischen die – vor allem im deutschen Sprachraum – deutlich dominierende. Davon abweichend gibt es auch die Zuordnung der Zahl Null zu den positiven Zahlen. Ein prominentes Beispiel ist das [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki-Projekt]]: {{"|Dans notre terminologie, 0 appartient à '''N''' [Menge der natürlichen Zahlen], et est donc considéré comme positif; les entier positifs et <math>\neq 0</math> sont dits ''strictement positifs''.}}<ref>{{Literatur |Autor=[[Nicolas Bourbaki]] |Titel=Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-34034-8 |Seiten=E.R.26 |DOI=10.1007/978-3-540-34035-5 |Kommentar=Nachdruck der Originalausgabe Hermann, Paris 1970 |Sprache=fr}}</ref> Die deutsche Übersetzung lautet: {{"|In unserer Terminologie gehört 0 zu '''N''' [der Menge der natürlichen Zahlen] und wird als positiv angesehen; ganze Zahlen, die positiv und <math>\neq 0</math> sind, werden ''strikt positiv'' genannt.}}

In Zusammenhängen, in denen nichtnegative Zahlen und Funktionen eine herausragende Bedeutung haben, werden diese manchmal – in der Tradition der Bourbaki-Notation – als positiv bezeichnet. {{"|Wir bezeichnen eine reelle Zahl <math>x \in \R</math> und eine Funktion <math>f \colon \Omega \to \bar \R</math> als ''positiv'', wenn <math> x \geq 0</math> bzw. <math>f(\omega) \geq 0 </math> für alle <math>\omega \in \Omega</math> gilt.}}<ref>{{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene Auflage |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |Seiten=3 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}</ref>

In Frankreich<ref>{{Literatur |Autor=Maryse Cheymol |Titel=Mathématiques, seconde |Verlag=Editions Bréal |Datum=2004 |Sprache=fr |ISBN=978-2-7495-0265-6 |Fundstelle=Remarque 5 |Online=https://www.google.de/books/edition/Math%C3%A9matiques_seconde/aeKmsUZN8MQC?hl=de&gbpv=1&pg=PA11&printsec=frontcover |Abruf=2026-03-19}}</ref> und Belgien<ref>{{Internetquelle |url=https://www.maeckes.nl/Positief%20getal%20DE.html |titel=Positive Zahl |werk=Maeckes |abruf=2026-03-19}}</ref> wird die Null als sowohl positive wie auch negative Zahl verstanden und gelehrt.

== Weblinks ==
* [https://groups.uni-paderborn.de/reiss/AnalyseBuch/Grundlagen/Einfuehrung/ReelleZahlen.html?b=index Reelle Zahlen]
* [https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/positive-zahl/9496 ''positive Zahl''] auf spektrum.de (Lexikon der Mathematik)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahl]]

Positive und negative Zahlen - Versionsgeschichte

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