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2021-03-21T18:34:56Z

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'''Positive Operator Valued (Probability) Measure''', abgekürzt als ''POVM'', ist eine Beschreibung des [[Quantenmechanische Messung|quantenmechanischen Messprozesses]] in der [[Physik]]. Mathematisch gesehen ist ein POVM eine Art [[Wahrscheinlichkeitsmaß]], dessen Werte [[Positiver Operator|positive Operatoren]] statt positiver Zahlen sind.

== Definition ==
Ein POVM auf einem [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] <math>(\Omega, \mathcal{A})</math> ist eine [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]]
<math>\mu\colon\mathcal{A}\to B(\mathcal{H})</math> mit Werten in der Menge der beschränkten linearen [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] eines [[Hilbertraum]]es <math>\mathcal{H}</math>, die folgenden drei Bedingungen genügt:

* Für alle <math>A\in \mathcal{A}</math> gilt <math>0\le \mu(A) \le \operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> (hier bezeichnet <math>\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> die [[identische Abbildung]] auf dem Hilbertraum). Das heißt, <math>\mu(A)</math> ist positiv und daher auch [[selbstadjungiert]].
* <math>\mu(\Omega)=\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math>.
* Für jede Folge [[paarweise disjunkt]]er [[Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>(A_n\in \mathcal{A})_{n\in\mathbb{N}}</math> gilt
:<math>\mu\bigg(\biguplus_{n=1}^\infty A_n\bigg)=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n),</math>
:wobei die unendliche [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] im Sinne der [[Starke Operatortopologie|starken Operatortopologie]] konvergiert.

== Erläuterungen ==
Die Definition eines POVM steht in Analogie zu den [[Kolmogorow-Axiome#Axiome von Kolmogorow|Kolmogorow-Axiomen]] der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]], wobei die Wahrscheinlichkeit durch einen positiven Operator statt durch eine positive reelle Zahl beschrieben wird. POVM verallgemeinern den Begriff des [[Spektralmaß]]es, der in der Spektraltheorie [[selbstadjungiert]]er [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] auftritt.

=== Verwendung in der Quantenmechanik ===
In der [[Quantenmechanik]] treten POVM zur Beschreibung von allgemeineren Messungen auf. Hier hat man meistens eine diskrete Menge von sogenannten Effekten <math> {E}_i </math>, die folgendes erfüllen:
* <math>0\leq E_i \leq I</math>, hier ist <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]]. Insbesondere sind die <math>E_i</math> [[Semidefinit#Definitheit von Matrizen|positiv semidefinit]].
* <math>\sum_i E_i = I</math>
Die <math>E_i</math> beschreiben die verschiedenen Messergebnisse: Wenn das System im Zustand <math>\rho</math>
ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats <math>i</math> gegeben durch <math> p_i=\operatorname{Tr}(\rho {E}_i )</math>.

Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer [[Quantenmechanische Messung|Von-Neumann-Messung]] (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die <math>E_i = |\psi_i \rangle \langle \psi_i|</math> Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine Von-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.

Insbesondere für die Quanteninformationstheorie sind POVM bei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustände oder bei Abhörstrategien in der Quantenkryptographie relevant.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Diane Martinez, Jody Trout
|Titel=Asymptotic Spectral Measures, Quantum Mechanics, and E-theory
|Sammelwerk=Communications in Mathematical Physics
|Band=226
|Nummer=1
|Datum=2002
|Seiten=41–60
|arXiv=math/0107091}}

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Positive Operator Valued Probability Measure - Versionsgeschichte

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