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2025-03-03T14:59:08Z

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Das '''Portmanteau-Theorem''', auch '''Portmanteau-Satz'''<ref>Kusolitsch: ''Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2009, S. 290.</ref> genannt (alternative Schreibweise auch ''Portemanteau-Theorem'' bzw. ''Portemanteau-Satz'') ist ein [[Satz (Mathematik)|Satz]] aus den [[Teilgebiet der Mathematik|mathematischen Teilgebieten]] der [[Stochastik]] und der [[Maßtheorie]]. Es listet äquivalente Bedingungen für die [[Schwache Konvergenz (Maßtheorie)|schwache Konvergenz von Maßen]] und ihrem Spezialfall, der [[Konvergenz in Verteilung]] von [[Zufallsvariable]]n, auf. Ein ganzes Bündel von Aussagen wird durch diesen Satz „auf einen Kleiderbügel (''portemanteau)'' gehängt“.<ref>Bemerkung zum Namen in Klenke (2020), S. 279. Bei Kusolitsch (2014), S. 289, heißt es hingegen:
{{Zitat
|Text=Das englische Wort ‚portmanteau‘, was soviel wie Handkoffer bedeutet, dient als Namensgeber für den folgenden Satz. Denn, so wie ein Handkoffer notwendige Utensilien für die Reise enthält, beinhaltet er wichtige Kriterien für die Verteilungskonvergenz.
}}
</ref> Diese Bedingungen sind in manchen Situationen einfacher nachzurechnen als die Definition der schwachen Konvergenz.
Der Satz geht zurück auf eine Arbeit von [[Pawel Sergejewitsch Alexandrow]] aus dem Jahr 1940,<ref>R. M. Dudley: ''Real analysis and probability.'' Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-00754-2, S. 433.</ref> wird aber in unterschiedlichsten Varianten unterschiedlicher Notation und Allgemeinheit formuliert und teils noch um eigenständige mathematische Sätze ergänzt.

== Formulierungen ==
Das Portmanteau-Theorem besteht im Wesentlichen aus drei verschiedenen Typen von Aussagen:
# Das Verhalten der Folgen von (Wahrscheinlichkeits)maßen auf bestimmten Mengen
# Das Verhalten bei Erwartungswertbildung/Integration gewisser Funktionenklassen
# Selbstständige mathematische Sätze, die in die Aufzählung mit eingereiht werden.

Diese werden je nach Autor
* für [[Endliches Maß|endliche Maße]], [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]e, [[Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß]]e oder als Verteilungen von [[Zufallsvariable]]n
* auf unterschiedlichen Grundmengen wie <math> \R </math>, dem <math> \R^n </math>, [[Polnischer Raum|polnischen Räume]] oder [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]]
* in der dem Themengebiet entsprechenden Notation ([[Erwartungswert]] vs Integral, <math> P </math> vs. <math> \mu </math>)

formuliert.

Dementsprechend sind viele unterschiedliche Formulierungen in der Literatur zu finden. Dieser Artikel enthält einerseits eine Formulierung für die Konvergenz in Verteilung reellwertiger Zufallsvariablen, welche die für die Stochastik wichtigsten Aussagen enthält. Die zweite Formulierung ist eine allgemeine, maßtheoretische. Sie kann durch entsprechende Einschränkungen auf Spezialfälle angepasst werden.

== {{Anker|Formulierung}} Abkürzungen und Vorbemerkungen ==
Wichtig für die Formulierung des Theorems sind die sogenannten <math> \mu</math>'''-randlosen Mengen''', auch <math> \mu</math>-'''Stetigkeitsmengen''' genannt. Ist <math> \mu </math> ein [[Borelmaß]] auf einem [[Hausdorff-Raum]] und der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B </math>, so heißt eine Menge <math> B </math> eine <math> \mu</math>-randlose Menge, wenn ihr [[Rand (Topologie)|Rand]] eine <math> \mu</math>-Nullmenge ist. Es gilt dann also
:<math> \mu(\partial B)= \mu( \overline{B} \setminus B^\circ)=0</math>,

wobei <math> \overline{B} </math> den [[Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] und <math>B^\circ </math> das [[Innerer Punkt|Innere]] der Menge <math> B </math> bezeichnet.

Des Weiteren sei
* <math> C_b^g(E) </math> der Raum der [[Gleichmäßige Stetigkeit|gleichmäßig stetigen]] beschränkten Funktionen auf <math> E </math>
* <math> B(E) </math> der Raum der [[Beschränkte Abbildung|beschränkten Funktionen]] auf <math> E </math>
* <math> \operatorname{Lip}(E) </math> der Raum der [[Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetigen Funktionen]] auf <math> E </math>
* <math> U_f </math> die Menge aller Unstetigkeitsstellen der Funktion <math> f </math>

== Formulierung für Verteilungskonvergenz reeller Zufallsvariablen ==
Seien <math>X, X_1, X_2, \dotsc</math> [[Reelle Zahl|reellwertige]] Zufallsvariablen. Dann sind äquivalent:

#Die <math> X_n </math> [[Konvergenz in Verteilung|konvergieren in Verteilung]] gegen <math> X </math>
#Die [[Verteilungsfunktion]]en <math> F_{X_n} </math> konvergieren an jeder Stetigkeitsstelle von <math> F_X </math> punktweise gegen <math> F_X </math> ([[Satz von Helly-Bray]]).
#Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristischen Funktionen]] <math> \varphi_{X_n} </math> konvergieren punktweise gegen <math> \varphi_X </math> ([[Stetigkeitssatz von Lévy]])
#Es gilt für alle <math> f \in C_b^g(\R) </math>:
#:<math>\lim_{n \to \infty } \operatorname E ( f \circ X_n )= \operatorname E ( f \circ X ) </math>.
# Es ist <math>\lim_{n\to\infty} \mathbb P (X_n\in C)= \mathbb P (X\in C)</math> für alle <math>P_{X}</math>-randlosen Mengen.
# Für alle offenen Mengen <math>G</math> gilt
#:<math>\liminf_{n\to\infty} \mathbb P (X_n\in G) \geq \mathbb P(X\in G )</math>.
# Für alle abgeschlossenen Mengen <math>A</math> gilt
#:<math>\limsup_{n\to\infty} \mathbb P (X_n\in A) \leq \mathbb P (X\in A)</math>.

== Maßtheoretische Formulierung ==
Gegeben sei ein metrischer Raum <math> (E,d) </math> sowie die dazugehörige [[Borelsche σ-Algebra]] <math> \mathcal B</math>. Für endliche Maße <math> \mu, \mu_n </math> auf dem Messraum <math> (E, \mathcal B ) </math> sind die folgenden Aussagen äquivalent:
* Die <math> \mu_n </math> konvergieren schwach gegen <math> \mu </math>
* Für alle <math> f \in C_b^g(E) </math> gilt
*:<math>\lim_{n\to \infty}\int_E f \mathrm d\mu_n = \int_E f \mathrm d\mu </math>
* Für alle <math> f \in B(E)\cap \operatorname{Lip}(E) </math> gilt
*:<math>\lim_{n\to \infty}\int_E f \mathrm d\mu_n = \int_E f \mathrm d\mu </math>
* Für alle [[Messbare Funktion|messbaren]]<math> f \in B(E) </math> mit <math> \mu(U_f) =0 </math> gilt
*:<math>\lim_{n\to \infty}\int_E f \mathrm d\mu_n = \int_E f \mathrm d\mu </math>
* Für jede <math> \mu</math>-randlose Menge <math> R \in \mathcal B</math> gilt
*:<math> \lim_{n \to \infty}\mu_n(R)=\mu(R) </math>
* Es ist <math> \lim_{n \to \infty}\mu_n(E)=\mu(E) </math> und für jede offene Menge <math> U </math> ist
*:<math> \liminf_{n \to \infty} \mu_n(U)\geq \mu(U)</math>.
* Es ist <math> \lim_{n \to \infty}\mu_n(E)=\mu(E) </math> und für jede abgeschlossene Menge <math> A </math> ist
*:<math> \limsup_{n \to \infty} \mu_n(A)\leq \mu(A)</math>.

Ist <math> (E, d) </math> zusätzlich [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und [[Polnischer Raum|polnisch]], so lässt sich die Liste um die folgenden beiden Aussagen erweitern:

* Die <math> \mu_n </math> konvergieren [[Vage Konvergenz (Maßtheorie)|vage]] gegen <math> \mu </math> und <math> \lim_{n \to \infty}\mu_n(E) = \mu (E)</math>
* Die <math> \mu_n </math> konvergieren vage gegen <math> \mu </math> und <math> \limsup_{n \to \infty}\mu_n(E)\leq \mu (E)</math>

Für endliche Maße auf <math> \R </math> gilt außerdem zusätzlich:
* Eine Folge von endlichen Maßen auf <math> \R </math> konvergiert genau dann schwach gegen ein Maß <math> \mu </math>, wenn eine reelle Folge <math> (c_n)_{n \in \N} </math> existiert, so dass die Folge von [[Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Verteilungsfunktionen (im Sinne der Maßtheorie)]] <math> (F_n-c_n)_{n \in \N} </math> [[Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen|schwach]] gegen die Verteilungsfunktion von <math> \mu </math> konvergiert ([[Satz von Helly-Bray]]).

== Weitere Formulierungen ==
Es existieren noch weitere äquivalente Formulierungen für die schwache Konvergenz. Teils finden sich noch weitere [[Trennende Familie|trennende Familien]] (differenzierbare Funktionen, Einschränkung der Eigenschaften durch Gültigkeit mit Ausnahme einer [[Nullmenge]] etc.). Nicht alle sind hier mit aufgezählt.

Des Weiteren existieren noch äquivalente Formulierungen der schwachen Konvergenz, die meist nicht in das Theorem mit aufgenommen werden. Dazu zählt beispielsweise die Metrisierung der entsprechenden Topologie mittels der [[Prochorow-Metrik]] oder [[Straffes Maß|Straffheitskriterien]] für die Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

== Quellen ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]
|Titel=Maß- und Integrationstheorie
|Auflage=6., korrigierte
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin Heidelberg
|Datum=2009
|ISBN=978-3-540-89727-9
|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
* {{Literatur
|Autor=[[Achim Klenke]]
|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie
|Auflage=3.
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin Heidelberg
|Datum=2013
|ISBN=978-3-642-36017-6
|DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
* {{Literatur
|Autor=Norbert Kusolitsch
|Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung
|Auflage=2., überarbeitete und erweiterte
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin Heidelberg
|Datum=2014
|ISBN=978-3-642-45386-1
|DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}}
* {{Literatur
|Autor=Klaus D. Schmidt
|Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit
|Auflage=2., durchgesehene
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York
|Datum=2011
|ISBN=978-3-642-21025-9
|DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}
* Patrick Billingsley: ''Convergence of probability measures.'' Wiley, New York 1999, ISBN 0-471-19745-9.
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Portmanteau-Theorem - Versionsgeschichte

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