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2025-01-06T16:39:11Z

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In der mehrdimensionalen [[Funktionentheorie]] ist der '''Polyzylinder'''<ref>Wolfgang Ebeling: ''Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten'', Vieweg-Verlag 2001, ISBN 978-3-528-03174-9, Seite 43</ref> oder '''Polykreis'''<ref>Joseph Wloka: ''Grundräume und verallgemeinerte Funktionen'', Springer Lecture Notes in Mathematics 82 (1969), Seite 3.</ref> das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] von [[Kreisscheibe]]n.

Bezeichnet man genauer mit <math>\Delta(z,r) = \{ w\in\mathbb{C} \mid |z-w|<r \}</math> eine offene Kreisscheibe in der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]], dann ist der Polyzylinder um den Punkt <math>z = (z_1,\dots,z_n) \in\mathbb{C}^n</math> mit dem Multiradius <math>r = (r_1,\dots,r_n)</math> gegeben als

:<math>\Delta(z_1,\ldots, z_n; r_1,\ldots, r_n) := \Delta(z_1,r_1) \times \dots \times \Delta(z_n,r_n)</math>

oder äquivalent als

:<math>\{ w=(w_1,\dots,w_n) \in \mathbb{C}^n \mid |z_k - w_k| < r_k,\, k = 1,\dots,n \}.</math>

Der abgeschlossene Polyzylinder wird dadurch definiert, dass man das <math><</math>-Zeichen durch <math>\le</math> ersetzt:

:<math>\overline{\Delta}(z_1,\ldots, z_n; r_1,\ldots, r_n) := \{ w=(w_1,\dots,w_n) \in \mathbb{C}^n \mid |z_k - w_k| \le r_k,\, k = 1,\dots,n \}.</math>

Der Polyzylinder ist ebenso wie die [[Einheitskugel|euklidische Kugel]] <math display=inline>\{ w\in\mathbb{C}^n \mid \sum_{j=1}^n |w_j-z_j|^2 < r^2 \}</math> eine Verallgemeinerung der eindimensionalen [[Kreisscheibe]]. Für <math>n>1</math> sind diese beiden Mengen aber nicht [[biholomorph]] äquivalent. Diese Aussage wurde 1907 von [[Henri Poincaré|Poincaré]] bewiesen, indem er zeigte, dass die [[Automorphismengruppe]]n der beiden Mengen als [[Lie-Gruppe]]n unterschiedliche Dimension haben.

== Literatur ==
* Steven G Krantz: ''Function Theory of Several Complex Variables'', American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3
* Walter Rudin: ''Function theory in polydiscs'', Benjamin, New York 1969

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Polyzylinder - Versionsgeschichte

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