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2023-07-31T18:10:39Z

Literatur: Meeus; Torbijn

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Ein '''Polywürfel''' (oder '''Polykubus''') ist ein [[Körper (Geometrie)|Körper]], der aus <math>n</math> zusammenhängenden [[Würfel (Geometrie)|Würfeln]] besteht. Für kleine <math>n</math> sind die Bezeichnungen '''Monowürfel''' (<math>n = 1</math>), '''Biwürfel''' (<math>n = 2</math>), '''Triwürfel''' (<math>n = 3</math>), '''Tetrawürfel''' (<math>n = 4</math>), '''Pentawürfel''' (<math>n = 5</math>), '''Hexawürfel''' (<math>n = 6</math>), '''Heptawürfel''' (<math>n = 7</math>), '''Oktawürfel''' (<math>n = 8</math>) üblich.

Die Anzahl verschiedener Polywürfel wächst mit zunehmender Würfelanzahl <math>n \geq 1</math> sehr schnell: 1, 1, 2, 8, 29, 166, 1023, 6922, 48311, 346543, … ([[OEIS]], A000162<ref>{{cite web | url=http://oeis.org/A000162 | title=A000162 Number of 3-dimensional polyominoes (or polycubes) with n cells. | publisher=The OEIS Foundation | language=englisch | accessdate=2019-09-21}}</ref>). Sie unterteilen sich in die Folge
* der ebenen (planaren) Polywürfel, welche den [[Polyomino]]s entsprechen: 1, 1, 2, 5, 12, 35, 108, 369, 1285, 4655, … (OEIS, [http://oeis.org/A000105 A000105]) und
* der räumlichen (stereometrischen) Polywürfel: 0, 0, 0, 3, 17, 131, 915, 6553, 47026, 341888, … (OEIS, [http://oeis.org/A006759 A006759]).

== Anwendungen ==

Die Polywürfel finden zum einen im Mathematikunterricht der Primar- und Sekundarstufe Verwendung, wo sie hauptsächlich der Schulung des [[Räumliches Vorstellungsvermögen|räumlichen Vorstellungsvermögens]] und zur Untersuchung einfacher Eigenschaften dienen, zum anderen
bei [[Mechanische Geduldspiele|geometrischen Spielen]] wie dem [[Herzberger Quader]], wo der freien und kreativen Gestaltung beim Entwickeln und Erfinden von Formen und Strukturen praktisch keine Grenzen gesetzt sind.

=== Triwürfel ===

Es gibt zwei verschiedene Triwürfel, nämlich die den Triominos entsprechende I- und L-Form.

Aus neun L-förmigen Triwürfeln lässt sich ein (3 × 3 × 3)-Würfel zusammenfügen.<ref>Pierre Berloquin: ''Garten der Sphinx. 150 mathematische Denkspiele.'' München 1984, S. 54, Nr. 78 (Fehlerfreie Würfel), S. 137 (Lösung).</ref>

=== Tetrawürfel ===
[[Datei:Tetracubes all 8.png|mini|Die 8 Tetrawürfel: I, L, T, S, Quadrat, Dreibein, linksdrehende Schraube, rechtsdrehende Schraube]]
Es gibt acht verschiedene Tetrawürfel, nämlich 5 ebene (Tetrominos) und 3 räumliche.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Tetrawürfel
! Volumen
! Oberfläche
! Kantensumme
! # Ecken
! # Flächen
! # Kanten
|-
| I
| 4
| 18
| 24
| 8
| 6
| 12
|-
| L
| 4
| 18
| 26
| 12
| 8
| 18
|-
| L1
| 4
| 18
| 28
| 15
| 9
| 21
|-
| L2
| 4
| 18
| 30
| 17
| 12
| 24
|-
| L3
| 4
| 18
| 28
| 15
| 9
| 21
|-
| N
| 4
| 18
| 28
| 16
| 10
| 24
|-
| O
| 4
| 16
| 20
| 8
| 6
| 12
|-
| T
| 4
| 18
| 28
| 16
| 10
| 24
|}

Für die ebenen Tetrawürfel gilt der [[Eulerscher Polyedersatz|Eulersche Polyedersatz]]: # Ecken + # Flächen = # Kanten + 2.

Der [[Somawürfel]] – ein (3 × 3 × 3)-Würfel – ist aus den sieben irregulären Tri- und Tetrawürfeln, d. h. denjenigen mit einspringender Kante, zusammengesetzt.

=== Pentawürfel ===
[[Datei:Pentacubes.PNG|mini|Die 29 Pentawürfel]]
Aus fünf Einheitswürfeln lassen sich insgesamt 29 verschiedene Pentawürfel bilden, nämlich die 12 ebenen (planaren) Pentawürfel, die das räumliche Pendant zu den 12 [[Pentomino]]s darstellen, sowie die 17 räumlichen (stereometrischen) Pentawürfel, von denen 5 symmetrisch sind und 6 mit je einem entsprechenden Spiegelbild.

Der Mathematiker David A. Klarner fand heraus, dass sich 25 Y-Pentawürfel zu einem (5 × 5 × 5)-Würfel zusammenfügen lassen. Es gibt 1264 verschiedene Lösungen.<ref>Chris J. Bouwkamp; David A. Klarner: ''Packing a Box with Y-Pentacubes.'' In: Journal of Recreational Mathematics 3 (1970), Nr. 1, S. 10–26.</ref><ref>Chris Bouwkamp: ''The Cube-Y Problem.'' In: Cubism For Fun ⟨Nederlandse Kubus Club⟩ 25 (December 1990), Teil 3 (Arresting Arrangements), S. 30–43. (enthält die Liste aller 1264 Lösungen)</ref>

Wenn man von den 29 Pentawürfeln die vier weglässt, die in einer Richtung 4 oder 5 Einheitswürfel haben (Pentominoform I, L, N und Y), kann man mit den restlichen 25 Teilen den sogenannten Dorian-Würfel – ein nach dessen Erfinder Joseph Dorrie benannter (5 × 5 × 5)-Würfel – zusammenfügen.

[[Datei:Bedlam elements.JPG|mini|Zwölf Pentawürfel und ein Tetrawürfel die sich zu einem Würfel zusammensetzen lassen]]
Aus 12 Pentawürfeln und 1 Tetrawürfel kann man den von dem britischen Puzzleerfinder Bruce Bedlam erfundenen Bedlam-Würfel – ein (4 × 4 × 4)-Würfel – bauen. Es gibt 19.186 verschiedene Lösungen.<ref>Vgl. Scott Kurowski: {{Webarchiv|url=http://scottkurowski.com/bedlamcube/ |wayback=20090109073445 |text=''Bedlam / Crazee Cube Solved. ALL 19,186 Solutions.'' }}</ref>

Ein weiterer (4 × 4 × 4)-Würfel lässt sich aus zehn spiegelbildlich unterschiedlichen (L2, L4, S1, S2, V1) und zwei (L3, T1) Pentawürfeln sowie dem L-Tetrawürfel zusammensetzen.

Das Computerspiel [[BlockOut]] basiert auf Polywürfeln vom Monowürfel bis zu Pentawürfeln.

=== Heptawürfel ===

[[Datei:Diabolical cubes.jpg|mini|Ein zerlegter und einige zusammengesetzte Diabolische Würfel.]]
Aus je einem Di-, Tri, Tetra-, Penta-, Hexa- und Heptawürfel lässt sich ein (3 × 3 × 3)-Würfel zusammensetzen, der als „Diabolischer Würfel“ bekannt ist. Es ist eines der ältesten Würfelzerlegungspuzzles und wurde erstmals 1893 von dem Rechtsanwalt Angelo John Lewis (1839–1919) – unter dem [[Pseudonym]] Professor Louis Hoffmann – in ''Puzzles Old and New'' erwähnt.<ref>Vgl. Stewart T. Coffin: ''Geometric Puzzle Design''. Wellesley (MA): A. K. Peters Ltd., 2016, ISBN 978-1-56881-499-5, S. 45 (The 3 × 3 × 3 Cube). Online unter: ''The Puzzling World of Polyhedral Dissections.'', Kap. 3: [http://www.johnrausch.com/PuzzlingWorld/chap03.htm Cubic Block Puzzles.] Oxford University Press 1991.</ref> Es gibt 13 verschiedene Lösungen.

=== Oktawürfel ===

Eine Untergruppe von 261 der 6553 räumlichen Oktawürfel stellen geometrisch gesehen das dreidimensionale [[Netz (Geometrie)|Netz]] eines [[Tesserakt]]s, also eines [[4-D|vierdimensionalen]] [[Hyperwürfel]]s dar, da er durch 8 würfelförmige Zellen begrenzt wird.<ref>Vgl. P. D. Turney: ''Unfolding the tesseract.'' In: Journal of Recreational Mathematics 17 (1984/85), Nr. 1, S. 1–16.</ref> Künstlerisch ist eine dieser Möglichkeiten durch den spanischen Maler [[Salvador Dalí]] in seinem 1954 entstandenen Gemälde ''Crucifixion (Corpus Hypercubus)'' verwendet worden.

== Literatur ==

* C. J. Bouwkamp: ''David Klarner's Pentacube Towers.'' In: David Wolfe; Tom Rodgers (Hgg.): Puzzlers' Tribute. A Feast for the Mind. Natick (MA): A K Peters, 2002, S. 15–18.
* Solomon W. Golomb: ''Polyominoes. Puzzles, Patterns, Problems, and Packings. With more than 190 diagrams.'' Princeton (NJ): University Press, 1994. ISBN 0-691-08573-0.
* Jean Meeus; Pieter J. Torbijn: ''Polycubes.'' Paris: CEDIC, 1977. (Les distracts, Bd. 4.) ISBN 9782712406042.

== Verwandte Themen ==

* [[Polyomino]] – das zweidimensionale Pendant mit Quadraten

== Weblinks ==
{{Commonscat|Polycubes}}
* Ronald M. Aarts: [http://mathworld.wolfram.com/Pentacube.html Pentacube.] (MathWorld – A Wolfram Web Resource.)
* Andrew L. Clarke: [http://www.recmath.com/PolyPages/indexD.htm Die Poly Seiten.]
* Stewart T. Coffin: ''The Puzzling World of Polyhedral Dissections.'' Kap. 3: [http://www.johnrausch.com/PuzzlingWorld/chap03.htm Cubic Block Puzzles.]
* Jürgen Köller: [http://www.mathematische-basteleien.de/tetrawuerfel.htm Tetrawürfel.] (Mathematische Basteleien.)
* Torsten Sillke: [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/results.html Tiling and packing results.] (Universität Bielefeld, Fakultät für Mathematik.)
* Eric W. Weisstein: [http://mathworld.wolfram.com/Polycube.html Polycube.] (MathWorld – A Wolfram Web Resource.)
* [http://www.zahlenjagd.at/wuerfel.html Würfelspielereien.]
* [http://www.cube.operaomnia.info/ Demo-Software zum Bedlam Cube.]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Polywurfel}}
[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Polywürfel - Versionsgeschichte

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