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2024-10-31T11:16:48Z

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Die '''Polynomkongruenz''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Zahlentheorie]]. Es handelt sich dabei um eine [[Kongruenz (Zahlentheorie)|Kongruenz]], bei der auf beiden Seiten [[Polynom]]e mit [[Ganze Zahl|ganzzahligen]] Koeffizienten vorkommen. Ein Beispiel ist die Kongruenz
:<math>x^4 + 2x + 1 \equiv x^3 - 6x^2 \pmod {13}</math>

Die normalisierte Darstellungsform einer solchen Kongruenz ist
:<math>a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \equiv 0 \pmod m</math>
Um diese Form zu erhalten, muss man teilweise die rechte Seite einer Kongruenz auf beiden Seiten subtrahieren.

Der Grad der Kongruenz ist der höchste Index <math>i</math>, für den <math>a_i</math> nicht durch <math>m</math> [[Teilbarkeit|teilbar]] ist. Er ist vom Modul <math>m</math> abhängig und nicht mit dem Grad des entsprechenden Polynoms identisch. Man nennt ihn jedoch auch Grad des Polynoms modulo <math>m</math>. Für eine Kongruenz, bei der alle Koeffizienten durch den Modul teilbar sind, ist kein Grad definiert. Kongruenzen vom Grad 1 sind [[lineare Kongruenz]]en.

Zwei Polynome <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> sind '''identisch kongruent''' modulo <math>m</math>, wenn die Differenz <math>f(x) - g(x)</math> durch <math>m</math> teilbar ist. Man schreibt dann
:<math>f(x) \equiv g(x) \pmod m</math>

Ganze Zahlen <math>x</math>, die
:<math>f(x) \equiv 0 \pmod m</math>
erfüllen, heißen ''Wurzeln'' oder ''Lösungen'' der Polynomkongruenz. Gemeinsam mit dieser Lösung sind auch alle Elemente der zugehörigen [[Restklasse]] Lösungen. Zwei Wurzeln derselben Restklasse werden als nicht wesentlich verschieden angesehen und daher identifiziert; das entspricht dem Übergang von <math>\Z</math> in den [[Restklassenring]] <math>\Z/(m)</math>.
Ist <math>m</math> eine [[Primzahl]], so ist <math>\Z/(m)</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]], und man hat die übliche Theorie der Polynome über Körpern, insbesondere kann eine Polynomkongruenz modulo einer Primzahl höchstens so viele Wurzeln <math>0\le x < m</math> haben wie der Grad der Kongruenz. Ist <math>m</math> keine Primzahl, so gilt diese Aussage nicht mehr; so hat zum Beispiel die Polynomkongruenz
:<math>x^4-1 \equiv 0 \pmod{16}</math>
vierten Grades die acht Wurzeln 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

== Quellen ==

* [[Karl-Heinz Indlekofer]]: ''Zahlentheorie.'' Birkhäuser, Stuttgart 1978, ISBN 3-7643-0942-3
* G.H. Hardy E.M. Wright:'' An Introduction to the Theory of Numbers'', Oxford University Press (1979), ISBN 0-19-853171-0, Kap. VII: General Properties of Congruences
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Polynomkongruenz - Versionsgeschichte

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