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2025-12-21T13:57:31Z

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'''Polynomklassifikatoren''' zur [[Mustererkennung]] wurden aus der statistischen [[Entscheidungstheorie]] entwickelt und haben die Schlüsselfunktion in [[Texterkennung]] (OCR), einem Teilgebiet der Mustererkennung.

Ihr wesentlicher Vorteil liegt in der Möglichkeit, die Adaptionsaufgabe direkt zu lösen. Aufbauend auf dieser [[Basistechnologie]] wurden komplexe und hochleistungsfähige Klassifikatorstrukturen entwickelt (Bäume, Netze), die ihre Leistungsfähigkeit auf sehr unterschiedlichen Anwendungsfeldern unter Beweis stellen konnten, etwa für Anschriftenleser, Postautomatisierung oder Formularleser.

== Mathematische Definition ==
Ein Polynomklassifikator ist eine Abbildung von Vektoren aus dem <math>d</math>-dimensionalen reellen Merkmalsraum auf eine Menge <math>\left\{1,\ldots,k\right\}</math> von Klassen:

:<math>f\colon \mathbb{R}^d \to \left\{1,\ldots,k\right\}</math>

Dabei ist <math>f</math> definiert als höchstwertige Komponente des folgenden Vektors

:<math>\mathbf{y} = \mathbf{p}(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} p_1(\mathbf{v}) \\ \vdots \\ p_k(\mathbf{v}) \end{pmatrix}</math>

Die multivariaten Polynome <math>p_i(\mathbf{v})= y_i \in [0,1]</math> können als Wahrscheinlichkeitsfunktionen interpretiert werden, dass ein gegebener Merkmalsvektor <math>\mathbf{v}</math> der Klasse <math>i</math> angehört. Insgesamt gilt <math>\|\mathbf{y}\|_1 = 1</math>.

Die obige Schreibweise lässt sich vereinfachen, indem statt vielen Polynomen <math>p_i(\mathbf{v})</math> nur ein Polynom <math>\mathbf{x}(\mathbf{v})</math> berechnet wird. Dann gilt <math>p_i(\mathbf{v}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{x}(\mathbf{v})</math> mit einem reellwertigen Koeffizientenvektor. Insgesamt folgt <math>\mathbf{p}(\mathbf{v}) = A^T \mathbf{x}(\mathbf{v})</math>.

Die Klassifikation eines neuen Merkmalsvektors <math>\mathbf{\hat{v}}</math> erfolgt somit durch <math>\arg\max \mathbf{p}(\mathbf{\hat{v}}) = f(\mathbf{\hat{v}})</math>.

== Literatur ==
* J. Schürmann: ''Pattern Classification: A Unified View of Statistical and Neural Approaches''. Wiley&Sons, 1996, ISBN 0471135348.
* H. Niemann: ''Klassifikation von Mustern''. Springer, Berlin 1983, ISBN 3-540-12642-2. (2. Auflage, ohne Verlag, 2003: [https://www5.informatik.uni-erlangen.de/fileadmin/Persons/NiemannHeinrich/klassifikation-von-mustern/m00-www.pdf PDF-Datei; 6,5 MB]).

[[Kategorie:Neuroinformatik]]
[[Kategorie:Kybernetik]]
[[Kategorie:Klassifikationsverfahren]]

Polynomklassifikator - Versionsgeschichte

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