141.70.80.5: Die Dirichletsche Etafunktion wurde fälschlicherweise als Dedekindsche Etafunktion bezeichnet

2023-12-02T13:33:30Z

Die Dirichletsche Etafunktion wurde fälschlicherweise als Dedekindsche Etafunktion bezeichnet

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Der '''Polylogarithmus''' ist eine [[spezielle Funktion]], die durch die [[Reihe (Mathematik)|Reihe]]
: <math>
\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^s}
</math>
definiert ist. Für <math>s = 1</math> geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen [[Logarithmus]] über:
: <math>\operatorname{Li}_1(z)=-\ln(1-z)</math>
In den Fällen <math>s=2</math> und <math>s=3</math> spricht man entsprechend von [[Dilogarithmus]] bzw. [[Trilogarithmus]]. Die Definition gilt für [[Komplexe Zahlen|komplexe]] <math>s</math> und <math>z</math> mit <math>|z|<1</math>. Durch [[analytische Fortsetzung]] lässt sich diese Definition auf weitere <math>z</math> ausdehnen.

In den wichtigsten Anwendungsfällen ist <math>s=n</math> eine [[natürliche Zahl]]. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch
: <math>\operatorname{Li}_{0}(z) =\frac{z}{1-z}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{n}(z) = \int_0^z \frac{\operatorname{Li}_{n-1}(t)}{t}\, \text{d}t
\quad \mbox{für} \quad
n = 1, 2, 3, \dotsc</math>
definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von <math>s</math> lässt sich der Polylogarithmus durch [[Rationale Funktion|rationale Funktionen]] ausdrücken.

Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der [[Fermi-Dirac-Verteilung]] und der [[Bose-Einstein-Verteilung]] auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von [[Bailey-Borwein-Plouffe-Formel#Polylogarithmische Konstante|polylogarithmischen Konstanten]] (z. B. <math>\pi</math>) einzeln berechnet werden.

== Funktionswerte und Rekursionen ==
[[Datei:Mplwp polylogarithm m3to3.svg|mini|320px|Graphen einiger ganzzahliger Polylogarithmen]]

=== Funktionswerte mit Index unter Zwei ===
Einige explizite Funktionsterme für spezielle ganzzahlige Werte von <math>s</math>:
: <math>\operatorname{Li}_{1}(z) = -\ln\left(1-z\right)</math>
: <math>\operatorname{Li}_{0}(z) = \frac{z}{1-z}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-1}(z) = \frac{z}{(1-z)^2}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-2}(z) = \frac{z(1+z)}{(1-z)^3}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-3}(z) = \frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z)^4}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-4}(z) = \frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z)^5}</math>
Formal kann man <math>\operatorname{Li}_{-n}(z):=(z\tfrac{\text{d}}{\text{d}z})^nH(z)</math> mit der (für alle <math>z</math> divergierenden) Reihe <math>\textstyle H(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty z^k</math> definieren. Obwohl diese Reihe nicht konvergiert, kann diese Definition zum Beweis von Funktionalgleichungen (im Ring der formal definierten [[Laurent-Reihe]]n) verwendet werden.

Für alle ganzzahligen ''nichtpositiven'' Werte vom Index <math>n</math> kann der Polylogarithmus als Quotient von Polynomen geschrieben werden. In diesen Fällen ist er also eine [[rationale Funktion]].

=== Funktionswerte mit positivem Index ===
Es gilt
: <math>\operatorname{Li}_s(1)=\zeta(s)</math>
und
: <math>\operatorname{Li}_s(-1)=-\eta(s)</math>
Der Buchstabe <math>\zeta</math> stellt dabei die [[Riemannsche Zetafunktion]] und der Buchstabe <math>\eta</math> die [[Dirichletsche Etafunktion]]<ref>{{MathWorld|id=DirichletEtaFunction|title=Dirichlet Eta Function}}</ref> dar.

Für größeres <math>s</math> sind keine weiteren derartigen Formeln bekannt.

Die zwei bekanntesten Werte des [[Dilogarithmus]] und somit des '''Polylogarithmus''' mit Indexzahl Zwei sind die folgenden Werte:
: <math>\operatorname{Li}_{2}(1) = \tfrac{1}{6}\pi^2</math>
: <math>\operatorname{Li}_{2}(-1) = -\tfrac{1}{12}\pi^2</math>
Diese beiden Werte gehen direkt aus der folgenden Integralidentität für den ''Dilogarithmus'' hervor:
: <math>\operatorname{Li}_{2}(x) - \tfrac{1}{4}\operatorname{Li}_{2}(x^2) = \tfrac{1}{2}\operatorname{Li}_{2}(x) - \tfrac{1}{2}\operatorname{Li}_{2}(-x) = \int_0^1\frac{\operatorname{arcsin}(xy)}{\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}y</math>
Durch das Einsetzen der Werte <math>x = 1</math> sowie <math>x = -1</math> erscheinen direkt die soeben genannten Funktionswerte.

Und die nun gezeigte Formel geht wiederum aus dieser [[Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus|Areatangens-Hyperbolicus-Cardinalis-Formel]] durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich <math>x</math> hervor:
: <math>\frac{1}{x} \operatorname{artanh}(x) = \int_0^1 \frac{y}{\sqrt{(1-x^2y^2)(1-y^2)}} \,\mathrm{d}y</math>
Für die drei kleinsten positiven Werte vom Index <math>s</math> sind im Folgenden die Funktionswerte an der Stelle des inneren Klammerwertes <math>1/2</math> angegeben:
: <math>\operatorname{Li}_{1}\left(\tfrac12 \right) = \ln 2</math>
: <math>\operatorname{Li}_{2}\left(\tfrac12 \right) = \tfrac1{12}\left(\pi^2-6\,\ln^2 2 \right)</math>
: <math>\operatorname{Li}_{3}\left(\tfrac12 \right) = \tfrac1{24}\left(4\, \ln^3 2-2\pi^2\, \ln 2+21\,\zeta(3) \right)</math>
Die folgende Bildertafel zeigt die komplexen Ebenendiagramme für die Polylogarithmen.

Die erste Zeile zeigt die Diagramme für die Polylogarithmen von negativem Index und Nullindex und die zweite Zeile diejenigen von positivem Index:

{| style="text-align:center"
|+ Verschiedene Polylogarithmusfunktionen in der komplexen Ebene
|[[Datei:Complex polylogminus3.jpg|1000x140px|ohne]]
|[[Datei:Complex polylogminus2.jpg|1000x140px|ohne]]
|[[Datei:Complex polylogminus1.jpg|1000x140px|ohne]]
|[[Datei:Complex polylog0.jpg|1000x140px|ohne]]
|-
|<math>
\operatorname{Li}_{-3}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{-2}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{-1}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{0}(z)
</math>
|-
|[[Datei:Complex polylog1.jpg|1000x140px|ohne]]
|[[Datei:Complex polylog2.jpg|1000x140px|ohne]]
|[[Datei:Complex polylog3.jpg|1000x140px|ohne]]
|-
|<math>
\operatorname{Li}_{1}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{2}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{3}(z)
</math>
|}

== Ableitung ==
Die Ableitung der Polylogarithmen sind wieder Polylogarithmen:
: <math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} \operatorname{Li}_n(x)=\frac1x \operatorname{Li}_{n-1}(x)</math>

== Integraldarstellung ==
Der Polylogarithmus lässt sich für alle komplexen <math>z,s</math> durch
: <math>
\operatorname{Li}_s(z)=
\frac{z}{2}+\ln^{s-1}\,\frac{1}{z}\,\Gamma(1-s,-\ln\,z)+
2z\int_0^\infty\frac{\sin(s\arctan t-t\,\ln\,z)}{(1+t^2)^{s/2}(\mathrm{e}^{2\pi\,t}-1)}\,\text{d}t
</math>
Auf der [[Abel-Plana-Summenformel]] basiert diese für den gesamten komplexen Raum gültige Gleichung.

mit Hilfe des Integralausdrucks für die [[Lerchsche Zeta-Funktion]] darstellen. Dabei ist <math>\textstyle \Gamma(s,z)=\int_z^\infty t^{s-1}\mathrm{e}^{-t}\,\text{d}t</math> die [[unvollständige Gammafunktion]] der unteren Grenze.

== Verallgemeinerungen ==
=== Mehrdimensionale Polylogarithmen ===
Die mehrdimensionalen Polylogarithmen sind folgendermaßen definiert:<ref>{{MathWorld|id=MultidimensionalPolylogarithm|title=Multidimensional Polylogarithms}}</ref>
:<math>\operatorname{L}_{a_1,\dotsc,a_m}(z)=\sum_{n_1>\dotsb>n_m>0} \frac{z^{n_1}}{n_1^{a_1}\dotsb n_m^{a_m}}</math>

=== Lerchsche Zeta-Funktion ===
Der Polylogarithmus ist ein Spezialfall der transzendenten [[Lerchsche Zeta-Funktion|Lerchschen Zeta-Funktion]]:
: <math>\operatorname{Li}_s(z)=z\cdot\Phi(z,s,1)</math>

=== Nielsens verallgemeinerte Polylogarithmen ===
Nielsen fand folgende Verallgemeinerung für den Polylogarithmus:<ref>{{MathWorld|id=NielsenGeneralizedPolylogarithm|title=Nielsen Generalized Polylogarithm}}</ref>
: <math>\operatorname{S}_{n,p}(z)=\frac{(-1)^{n+p-1}}{(n-1)!p!} \int\limits_0^1 \frac{\left(\ln(t)\right)^{n-1}\left(\ln(1-zt)\right)^p}t \text{d}t</math>
Es gilt:
: <math>\operatorname{S}_{n-1,1}(z)=\operatorname{Li}_n(z)</math>

== Siehe auch ==
* [[Fermi-Dirac-Integral]]
* [[Legendresche Chi-Funktion]]
* [[Debyesche Funktionen]]

== Literatur ==
* [[Alexander Goncharov]]: [http://users.math.yale.edu/users/ag727/icm.pdf ''Polylogarithms in arithmetic and geometry.''] (PDF; 228 kB) In: ''Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Zürich, 1994).'' Birkhäuser, Basel 1995, Vol. 1, 2, S. 374–387.
* [[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun]]: ''[[Handbook of Mathematical Functions]].'' Dover Publications, New York 1964, ISBN 978-0-486-61272-0, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_1004.htm Abs. 27.7.]

== Weblinks ==
* [[Eric W. Weisstein]]: ''[http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html Dilogarithm,] [http://mathworld.wolfram.com/Trilogarithm.html Trilogarithm]'' und ''[http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html Polylogarithm.]'' In: ''[[MathWorld]]'' (englisch).
* David H. Bailey, David J. Broadhurst: ''A seventeenth-order polylogarithm ladder.'' {{arXiv|math.CA/9906134}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Polylogarithmus - Versionsgeschichte

141.70.80.5: Die Dirichletsche Etafunktion wurde fälschlicherweise als Dedekindsche Etafunktion bezeichnet