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[[Datei:Chainline.svg|mini|Ein offener Polygonzug]]
[[Datei:Closed polygonal line.svg|mini|Ein geschlossener Polygonzug]]
Ein '''Polygonzug''' oder '''Streckenzug''' ist in der [[Mathematik]] die Vereinigung der [[Strecke (Geometrie)|Verbindungsstrecken]] einer Folge von [[Punkt (Geometrie)|Punkten]]. Polygonzüge werden in vielen [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebieten der Mathematik]] verwendet, etwa in der [[Geometrie]], der [[Numerik]], der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], der [[Analysis]] und der [[Funktionentheorie]]. Darüber hinaus kommen sie auch in einigen Anwendungsgebieten wie in der [[Computergrafik]] oder der [[Geodäsie]] zum Einsatz.<ref>{{Literatur |Autor=[[Willi Rinow]] |Titel=Lehrbuch der Topologie |Verlag=Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1975 |Seiten=22–23}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Harro Heuser]] |Titel=Lehrbuch der Analysis. Teil 2 |Reihe=Mathematische Leitfäden |Auflage=5., durchgesehene |Verlag=Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=1990 |ISBN=3-519-42222-0 |Seiten=349 ff.}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|Hans von Mangoldt]], [[Konrad Knopp]] |Titel=Einführung in die höhere Mathematik |Band=2. Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie |Auflage=13. |Verlag=S. Hirzel Verlag |Ort=Stuttgart |Datum=1968 |Seiten=296 ff.}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Charles O. Christenson, William L. Voxman |Titel=Aspects of Topology |Reihe=Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics |BandReihe=39 |Verlag=Marcel Dekker |Ort=New York / Basel |Datum=1977 |ISBN=0-8247-6331-9 |Seiten=63–64}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Rudolf Bereis |Titel=Darstellende Geometrie I |Reihe=Mathematische Lehrbücher und Monographien |BandReihe=11 |Verlag=[[Akademie-Verlag]] |Ort=Berlin |Datum=1964 |Seiten=117 ff.}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[György Hajós]] |Titel=Einführung in die Geometrie |Verlag=B. G. Teubner Verlag |Ort=Leipzig |Datum= |Seiten=32 ff. |Originaltitel=Bevezetés A Geometriába |Originalsprache=hu |Übersetzer=G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]}}</ref>

== Polygonzüge in der Geometrie ==
=== Definition ===
Sind <math>P_1, P_2, \dotsc, P_m </math> [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] oder im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]], dann heißt die Vereinigung der [[Strecke (Geometrie)|Strecken]]

: <math>[P_1 P_2] \cup [P_2 P_3] \cup \cdots \cup [P_{m-1} P_m]</math>

''Streckenzug'' oder ''Polygonzug'' von <math>P_1</math> nach <math>P_m</math>. Fallen <math>P_1</math> und <math>P_m</math> zusammen, spricht man von einem ''geschlossenen Polygonzug'', ansonsten von einem ''offenen Polygonzug''.<ref>In der Regel wird der Grenzfall, dass <math>\mathcal P</math> nur aus einer einzigen Strecke oder gar nur aus einem einzigen Punkt besteht, ausgeschlossen. Polygonzüge bestehen also in der Regel aus mindestens zwei Strecken.</ref>

=== Bezug zu Polygonen ===
Die [[geometrische Figur]], deren [[Rand (Topologie)|Rand]] von einem geschlossenen Polygonzug gebildet wird, heißt [[Polygon]], die Punkte <math>P_1, \ldots , P_{m-1}</math> heißen ''Eckpunkte'' des Polygons und die Strecken <math>[P_1 P_2] , \ldots, [P_{m-1} P_m]</math> heißen ''Seiten'' des Polygons. Liegen die Punkte in einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], so nennt man diese Figur ein ''ebenes Polygon'', andernfalls ein ''windschiefes Polygon''.

=== Verwendung ===
Polygonzüge besitzen vielfältige Einsatzmöglichkeiten, beispielsweise bei der [[Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] von Datenpunkten, bei der [[Numerik|numerischen Lösung]] gewöhnlicher Differentialgleichungen mit dem [[Eulersches Polygonzugverfahren|eulerschen Polygonzugverfahren]] sowie bei der [[Modellierung]] in der [[Computergrafik]] und im [[CAD|Computer-Aided Design]]. Zur Anwendung von Polygonzügen im [[Vermessungswesen]] siehe [[Polygonzug (Geodäsie)]].

== Polygonzüge in der Analysis ==
=== Definition ===
Sei nun allgemein <math>V</math> ein reeller [[Vektorraum]] und seien <math>x_1, x_2, \dotsc, x_m \in V</math> gegebene Elemente des Vektorraums, dann heißt die Vereinigung
: <math>\mathcal P = \bigcup_{i=1}^{m-1}[x_i x_{i+1}]</math>

der Strecken
: <math>[x_i x_{i+1}] = \{ (1-\lambda) x_i + \lambda x_{i+1} \mid \lambda \in [0,1]\}</math>

Streckenzug oder Polygonzug von <math>x_1</math> nach <math>x_m</math>. Ist <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]], dann sind diese Strecken [[Stetige Funktion|stetige]] [[Bildmenge|Bilder]] des [[Einheitsintervall]]s und damit kompakt, was dann auch für die aus ihnen gebildeten [[Endliche Menge|endlichen]] [[Vereinigungsmenge|Vereinigungen]] gilt. Jeder Streckenzug ist stets auch Beispiel eines [[Kontinuum (Mathematik)|Kontinuums]].<ref>{{Literatur |Autor=[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|Hans von Mangoldt]], [[Konrad Knopp]] |Titel=Einführung in die höhere Mathematik |Band=3. Band: Integralrechnung und ihre Anwendungen, Funktionentheorie, Differentialgleichungen |Auflage=13. |Verlag=S. Hirzel Verlag |Ort=Stuttgart |Datum=1967 |Seiten=306–307}}</ref>

=== Rektifizierbarkeit ===
Polygonzüge spielen eine wesentliche Rolle für die [[Länge (Mathematik)|Längenmessung]] von [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] im <math>n</math>-dimensionalen Raum.<ref>{{Literatur |Autor=[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|Hans von Mangoldt]], [[Konrad Knopp]] |Titel=Einführung in die höhere Mathematik |Band=2. Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie |Auflage=13. |Verlag=S. Hirzel Verlag |Ort=Stuttgart |Datum=1968 |Seiten=415 ff.}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|Hans von Mangoldt]], [[Konrad Knopp]] |Titel=Einführung in die höhere Mathematik |Band=3. Band: Integralrechnung und ihre Anwendungen, Funktionentheorie, Differentialgleichungen |Auflage=13. |Verlag=S. Hirzel Verlag |Ort=Stuttgart |Datum=1967 |Seiten=224 ff.}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Reihe=Grundwissen Mathematik (Springer-Lehrbuch) |Auflage=6., korrigierte |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-89727-9 |Seiten=78, 308 ff.}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Konrad Knopp]] |Titel=Funktionentheorie I. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen |Reihe=Sammlung Göschen |BandReihe=668 |Verlag=Walter de Gruyter Verlag |Ort=Berlin |Datum=1965 |Seiten=22–23}}</ref>

Eine ''Länge'' ist allein erklärt für [[rektifizierbar]]e Kurven. Zum Nachweis der Rektifizierbarkeit betrachtet man für eine gegebene Kurve <math>\mathcal{K}</math> alle Polygonzüge <math>\mathcal{P} </math> von <math>x_1</math> nach <math>x_\text{ende}</math>, durch deren Ecken <math>x_1, x_2, \dotsc, x_m = x_\text{ende}</math> die Kurve in dieser Reihenfolge verläuft, welche also so beschaffen sind, dass die Seiten des von den Ecken gebildeten Polygons zugleich [[Sehne (Mathematik)|Sehnen]] von <math>\mathcal{K}</math> darstellen. Ein derartiger Polygonzug wird auch als ''Sehnenzug'' oder als ''Sehnenpolygon'' bezeichnet und man sagt, '' <math>\mathcal{P} </math> ist <math>\mathcal{K}</math> einbeschrieben''. Zur Feststellung der Rektifizierbarkeit von <math>\mathcal{K}</math> zwischen <math>x_1</math> und <math>x_\text{ende}</math> werden die ''Längen aller einbeschriebenen Sehnenpolygone'' untersucht. Dabei versteht man unter der ''Länge eines Polygonzugs'' die ''Summe der Längen seiner Strecken''.

Wenn für all diese Längen innerhalb <math>\R</math> eine [[obere Schranke]] existiert, dann ist <math>\mathcal{K}</math> eine rektifizierbare Kurve, und zwar nur dann. In diesem Falle wird die '''Länge <math>L(\mathcal{K})</math>''' als das ''[[Supremum]] aller Längen einbeschriebener Sehnenpolygone'' definiert (alles für den Kurvenabschnitt <math>x_1</math> bis <math>x_\text{ende}</math>).
Für die Feststellung der Rektifizierbarkeit von Kurven gilt folgendes [[Kriterium]]:

: Eine Kurve im <math>{\R}^n</math> mit der [[Kurve (Mathematik)#Parameterdarstellungen|stetigen Parametrisierung]] <math>\gamma = ({\gamma}_1, \dots, {\gamma}_n) \colon I \to{\R}^n</math>   <math>(I = [a,b] \subset \R)</math> ist genau dann rektifizierbar, wenn die ''Koordinatenfunktionen'' <math>{\gamma}_1, \dots, {\gamma}_n</math> von [[Beschränkte Variation|beschränkter Variation]] sind.

=== Zusammenhang mit der Gebietseigenschaft ===
Die Polygonzüge spielen ebenfalls eine Rolle für die Feststellung, wann im Raum ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] vorliegt und wann nicht. Hier gilt der folgende [[Lehrsatz|Satz]]:

: Eine [[offene Teilmenge]] <math>G</math> eines topologischen Vektorraums (und insbesondere des [[Dimension (Mathematik)#Dimension einer Mannigfaltigkeit|<math>n</math>-dimensionalen]] Raums) ist genau dann [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]], wenn sich je zwei Punkte von <math>G</math> durch einen ganz in <math>G</math> liegenden Polygonzug verbinden lassen.<ref>{{Literatur |Autor=[[Willi Rinow]] |Titel=Lehrbuch der Topologie |Verlag=Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1975 |Seiten=150}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Polyeder]]
* [[Simplex (Mathematik)|Simplex]]
* [[Weg (Mathematik)]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Rudolf Bereis]]
|Titel=Darstellende Geometrie I
|Reihe=Mathematische Lehrbücher und Monographien
|BandReihe=11
|Verlag=Akademie-Verlag
|Ort=Berlin
|Datum=1964}}
* {{Literatur
|Autor=Charles O. Christenson, William L. Voxman
|Titel=Aspects of Topology
|Reihe=Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics
|BandReihe=39
|Verlag=Marcel Dekker
|Ort=New York / Basel
|Datum=1977
|ISBN=0-8247-6331-9}}
* {{Literatur
|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]
|Titel=Maß- und Integrationstheorie
|Reihe=Grundwissen Mathematik (Springer-Lehrbuch)
|Auflage=6., korrigierte
|Ort=Berlin / Heidelberg
|Datum=2009
|ISBN=978-3-540-89727-9}}
* {{Literatur
|Autor=[[György Hajós]]
|Titel=Einführung in die Geometrie
|Verlag=B. G. Teubner Verlag
|Ort=Leipzig
|Datum=
|Originaltitel=Bevezetés A Geometriába
|Originalsprache=hu
|Übersetzer=G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]}}
* {{Literatur
|Autor=Michael Henle
|Titel=A Combinatorial Introduction to Topology
|Reihe=A Series of Books in Mathematical Sciences
|Verlag=W. H. Freeman and Company
|Ort=San Francisco
|Datum=1979
|ISBN=0-7167-0083-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[Harro Heuser]]
|Titel=Lehrbuch der Analysis. Teil 2
|Reihe=Mathematische Leitfäden
|Auflage=5., durchgesehene
|Verlag=Teubner Verlag
|Ort=Wiesbaden
|Datum=1990
|ISBN=3-519-42222-0}}
* {{Literatur
|Autor=[[Konrad Knopp]]
|Titel=Funktionentheorie I. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen
|Reihe=Sammlung Göschen
|BandReihe=668
|Verlag=Walter de Gruyter Verlag
|Ort=Berlin
|Datum=1965}}
* {{Literatur
|Autor=[[Willi Rinow]]
|Titel=Lehrbuch der Topologie
|Verlag=Deutscher Verlag der Wissenschaften
|Ort=Berlin
|Datum=1975}}
* {{Literatur
|Autor=[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|Hans von Mangoldt]], [[Konrad Knopp]]
|Titel=Einführung in die höhere Mathematik
|Band=2. Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie
|Auflage=13.
|Verlag=S. Hirzel Verlag
|Ort=Stuttgart
|Datum=1968}}
* {{Literatur
|Autor=[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|Hans von Mangoldt]], [[Konrad Knopp]]
|Titel=Einführung in die höhere Mathematik
|Band=3. Band: Integralrechnung und ihre Anwendungen, Funktionentheorie, Differentialgleichungen
|Auflage=13.
|Verlag=S. Hirzel Verlag
|Ort=Stuttgart
|Datum=1967}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Topologie]]
[[Kategorie:Analysis]]

Polygonzug (Mathematik) - Versionsgeschichte

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