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2019-09-16T14:43:15Z

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Eine '''Polygonalzahl''' ist eine Zahl, zu der es ein [[regelmäßiges Polygon]] (Vieleck) gibt, das sich mit einer entsprechenden Zahl an Steinen legen lässt. Beispielsweise ist die 16 eine Polygonalzahl, da sich ein [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] aus 16 Steinen legen lässt. Zu den Polygonalzahlen zählen unter anderem die [[Dreieckszahl|Dreiecks-]] und [[Quadratzahl]]en.

Die Polygonalzahlen zählen zu den [[Figurierte Zahl|figurierten Zahlen]]. Eine andere Art, Zahlen auf Polygone zurückzuführen, stellen die [[Zentrierte Polygonalzahl|zentrierten Polygonalzahlen]] dar.

Die Polygonalzahlen lassen sich durch eine einfache Rechenvorschrift erzeugen. Man wählt dazu eine natürliche Zahl <math>d</math> als Differenz. Die erste Zahl ist jeweils die 1, und alle nachfolgenden Polygonalzahlen entstehen, indem man jeweils die Differenz zur vorhergehenden hinzuaddiert. Die folgenden Beispiele zeigen dies.

; [[Dreieckszahl]]en:Die Differenz 1 führt zu den Summen <math>1 + 2 + 3 + 4 + \ldots</math>, aus denen man die Dreieckszahlen <math>1, 3, 6, 10, \ldots</math> erhält.
; [[Quadratzahl]]en:Die Differenz 2 führt zu den Summen <math>1 + 3 + 5 + 7 + \ldots</math>, aus denen man die Quadratzahlen <math>1, 4, 9, 16, \ldots</math> erhält.
; [[Fünfeckszahl]]en:Die Differenz 3 führt zu den Summen <math>1 + 4 + 7 + 10 + \ldots</math>, aus denen man die Fünfeckszahlen <math>1, 5, 12, 22, \ldots</math> erhält.
; [[Sechseckszahl]]en:Die Differenz 4 führt zu den Summen <math>1 + 5 + 9 + 13 + \ldots</math>, aus denen man die Sechseckszahlen <math>1, 6, 15, 28, \ldots</math> erhält.

Die einzelnen Summanden sind jeweils die Folgenglieder einer [[Arithmetische Folge|arithmetischen Folge]] mit dem Anfangsglied 1 und der jeweiligen Differenz (vgl. [[Differenzenfolge]]). Dieser Aufbau der Polygonalzahlen spiegelt sich auch in den entsprechenden Polygonen wider:
<gallery>
Triangular number 10 as sum of gnomons.svg|Die 10 ist die vierte [[Dreieckszahl]].
Square number 16 as sum of gnomons.svg|Die 16 ist die vierte [[Quadratzahl]].
Pentagonal number 22 as sum of gnomons.svg|Die 22 ist die vierte [[Fünfeckszahl]].
Hexagonal number 28 as sum of gnomons.svg|Die 28 ist die vierte [[Sechseckszahl]].
</gallery>

Gelegentlich wird auch die <math>0</math> als nullte Dreieckszahl, Quadratzahl usw. definiert. Nach dieser Konvention lautet die Folge der Dreieckszahlen beispielsweise <math>0, 1, 3, 6, 10, \ldots</math>.

== Berechnung ==
Die jeweils <math>n</math>-te <math>k</math>-Eckszahl lässt sich mit der Formel
:<math>{(k-2)n^2-(k-4)n \over 2} = (k-2)\binom n2+n</math>
berechnen.

Liegt eine beliebige <math>k</math>-Eckszahl <math>x</math> vor, dann berechnet sich das zugehörige <math>n</math> nach der Formel
:<math>n = \frac{\sqrt{8(k-2)x+(k-4)^2}+k-4}{2(k-2)}.</math>

== Herleitung ==
Sei <math>k \in \mathbb{N}</math> die Anzahl der Seiten. Die <math>n</math>-te <math>k</math>-Eckzahl, mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wird dadurch gebildet, dass <math>k-2</math> Seiten um einen Punkt erweitert werden. Die erweiterten Seiten haben <math>(k-2)-1</math> gemeinsame Punkte. Die <math>(n+1)</math>-te <math>k</math>-Eckzahl hat somit <math>(n+1)(k-2)-(k-3)</math> Punkte mehr als die <math>n</math>-te <math>k</math>-Eckszahl. Die <math>n</math>-te <math>k</math>-Eckszahl ist daher:

:<math>(1\cdot(k-2)-(k-3)) + (2\cdot(k-2)-(k-3)) + \ldots + (n\cdot(k-2)-(k-3)) </math>
:<math>= \sum\limits_{i=1}^n ((k-2)\cdot i-(k-3))</math>
:<math>= -n\cdot(k-3)+\sum\limits_{i=1}^n (k-2)\cdot i</math>
:<math>= -n(k-3)+(k-2)\sum\limits_{i=1}^n i</math>
:<math>\stackrel{\mathrm{I.}}{=} -n(k-3)+(k-2) \cdot \tfrac12n(n+1)</math>
:
:<math>= \tfrac12[-2nk + 6n + k(n(n+1)) - 2n(n+1)]</math>
:
:<math>= \tfrac12\left[-2nk + 6n + kn^2 + nk -2n^2 -2n\right]</math>
:
:<math>= \tfrac12\left[-nk+4n-2n^2 + kn^2\right]</math>
:
:<math>= \tfrac12\left[(k-2)n^2 - (k-4)n\right]</math>
:
:<math>= \frac{(k-2)n^2 - (k-4)n}{2}</math>

zu <math>\mathrm{I.}</math>: Anwendung der [[Gaußsche Summenformel|Gaußschen Summenformel]]

Diese Formel behält auch für ein (ebenes, zu einem flächenleeren Doppelstrich entartetes) [[Zweieck]] mit <math>k=2</math> seine Gültigkeit,
:<math>= \frac{(2-2)n^2 - (2-4)n}{2} = n </math>
wobei die damit berechneten "Zweieckszahlen" <math>1, 2, 3, 4, \ldots</math> gerade den [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>n</math> entsprechen, also der Reihensumme von <math>n</math> aneinandergereihten [[Rechenstein|Rechensteinen]].

== Summe der Kehrwerte ==
Die Summe der [[Kehrwert]]e jeweils aller <math>k</math>-Eckszahlen, <math>k>2</math> ist konvergent.<ref>Siehe Artikel von Downey, Ong, Sellers.</ref> Es gilt:
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(k-2)n^2-(k-4)n} = \dfrac{-2\psi(\frac{2}{k-2})-2\gamma}{k-4}</math>
: (mit <math>\gamma</math>: [[Euler-Mascheroni-Konstante]] und <math>\psi(x)</math>: [[Digamma-Funktion]])

== Anwendungen ==
Nach dem [[Fermatscher Polygonalzahlensatz|fermatschen Polygonalzahlensatz]] lässt sich jede Zahl als Summe von höchstens <math>k</math> <math>k</math>-Eckszahlen darstellen.

== Literatur ==
* James Mitchell (Hrsg.): ''A Dictionary of the Mathematical and Physical Sciences, according to the latest Improvements and Discoveries.'' G. & W. S. Whittaker, London 1823, {{archive.org|bub_gb_IooAAAAAMAAJ|Blatt=}}.
* [[Constance Reid]]: ''From Zero to Infinity. What Makes Numbers Interesting.'' 4th edition. [[Mathematical Association of America]], Washington DC 1992, ISBN 0-88385-505-4, Kapitel 5, [http://books.google.de/books?id=d3NFIvrTk4sC books.google.de]
* Lawrence Downey, Boon W. Ong, James A. Sellers: ''Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers''. [http://www.math.psu.edu/sellersj/downey_ong_sellers_cmj_preprint.pdf math.psu.edu] (PDF; 93 kB).

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=PolygonalNumber |title=Polygonal Number}}
* [http://planetmath.org/encyclopedia/PolygonalNumber.html Polygonalzahl] bei [[PlanetMath]] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Figurierte Zahl]]

[[ru:Последовательность двенадцатиугольника]]

Polygonalzahl - Versionsgeschichte

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