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2025-11-30T13:20:26Z

q-Polygammafunktion: gelöscht: MathWorld verwendet andere Notation die hier missverstanden wird.

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[[Datei:Polygamma function.png|450px|mini|Die ersten Polygammafunktionen für reellwertige Argumente<br /> {{Farbindex|ffa500|<math>\psi_0(x)</math>}}  
{{Farbindex|eeee00|<math>\psi_1(x)</math>}}  
{{Farbindex|00cd00|<math>\psi_2(x)</math>}}  
{{Farbindex|ff0000|<math>\psi_3(x)</math>}}  
{{Farbindex|0000ee|<math>\psi_4(x)</math>}}]]
In der Mathematik sind die '''Polygammafunktionen''' <math>\psi_n(z)</math> eine Reihe [[Spezielle Funktion|spezieller Funktionen]], die als die [[Differentialrechnung|Ableitungen]] der Funktion <math>\ln\Gamma(z)</math> definiert sind. Dabei bezeichnet <math>\Gamma(z)</math> die [[Gammafunktion]] und <math>\ln</math> den [[Logarithmus|natürlichen Logarithmus]].

Die ersten beiden Polygammafunktionen werden [[Digammafunktion]] und [[Trigammafunktion]] genannt.

== Notation ==
{| class="float-right" style="text-align:center"
|- style="line-height:130%"
| colspan="3" | '''Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen<br>in der komplexen Ebene'''
|-
| [[Datei:Complex LogGamma.jpg|1000x150px|ohne]]
| [[Datei:Complex Polygamma 0.jpg|1000x150px|ohne]]
| [[Datei:Complex Polygamma 1.jpg|1000x150px|ohne]]
|-
| <math>\ln\Gamma(z)</math>
| <math>\psi_0(z)</math>
| <math>\psi_1(z)</math>
|-
| [[Datei:Complex Polygamma 2.jpg|1000x150px|ohne]]
| [[Datei:Complex Polygamma 3.jpg|1000x150px|ohne]]
| [[Datei:Complex Polygamma 4.jpg|1000x150px|ohne]]
|-
| <math>\psi_2(z)</math>
| <math>\psi_3(z)</math>
| <math>\psi_4(z)</math>
|}

Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben [[Psi (Buchstabe)|Psi]] <math>\psi</math> gekennzeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; sie wird als ''Digammafunktion'' <math>\psi(z)</math> bezeichnet. Die zweite Polygammafunktion, also die ''Trigammafunktion'', hat das Symbol <math>\psi_1</math> (oder seltener <math>\psi^{(1)}</math>) und ist die zweite Ableitung von <math>\ln\Gamma(z)</math>. Allgemein wird die ''<math>n</math>-te Polygammafunktion'' oder ''Polygammafunktion der Ordnung'' <math>n</math> mit <math>\psi_n</math> oder <math>\psi^{(n)}</math> bezeichnet und als die <math>(n+1)</math>-te Ableitung von <math>\ln\Gamma(x)</math> definiert.

== Definition und weitere Darstellungen ==

Es ist

:<math>\psi_m(z)=\frac{\mathrm d^{m+1}}{\mathrm dz^{m+1}}\ln\Gamma(z)=\frac{\mathrm d^m}{\mathrm dz^m}\,\psi(z)</math>

mit der Digammafunktion <math>\psi(z)</math>. Derartige Ableitungen werden auch als [[logarithmische Ableitung]]en von <math>\Gamma(\cdot)</math> bezeichnet.

Eine Integraldarstellung ist

:<math>\psi_m(z)= (-1)^{m+1}\int\limits_0^\infty \frac{t^m \mathrm e^{-zt}}{1-\mathrm e^{-t}}\,\mathrm dt</math>

für <math>\operatorname{Re} z > 0</math> und <math>m > 0.</math>

== Eigenschaften ==

=== Differenzengleichungen ===

Die Polygammafunktionen haben die [[Differenzengleichung]]en
:<math>\psi_m(z+1)= \psi_m(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-m-1}.</math>

=== Reflexionsformel ===
Eine weitere wichtige Beziehung lautet
:<math>(-1)^m \psi_m (1-z) - \psi_m (z) = \pi \frac{\mathrm d^m}{\mathrm d z^m} \cot{(\pi z)}.</math>

=== Multiplikationsformel ===
Die Multiplikationsformel ist für <math>m>0</math> gegeben durch

:<math>\sum_{k=0}^{n-1} \psi_{m}\left(\frac{z+k}{n}\right) = n^{m+1} \psi_{m}(z). </math>

Zum Fall <math>m=0,</math> also der [[Digammafunktion]], siehe dort.

=== Reihendarstellungen ===

Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet

:<math>\psi_m(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty \frac1{(z+k)^{m+1}}</math>

wobei <math>m>0</math> und <math>z\not= -1,-2,-3,\ldots</math> eine beliebige [[komplexe Zahl]] außer den nicht-positiven [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der [[Hurwitzsche Zeta-Funktion|hurwitzschen Zetafunktion]] <math>\zeta(x,y)</math> schreiben als

:<math>\psi_m(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z).</math>

Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nicht-ganze Ordnungen <math>m</math> ist [[#Verallgemeinerte Polygammafunktion|weiter unten]] angegeben.

Eine weitere Reihendarstellung ist

:<math>\psi_m(z) = -\gamma \delta_{m,0} \; - \; \frac{(-1)^m m!}{z^{m+1}} \; + \; \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k} \delta_{m,0} \; - \; \frac{(-1)^m m!}{(z+k)^{m+1}}\right),</math>

wobei <math>\delta_{n,0}</math> das [[Kronecker-Delta]] bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem [[Weierstraßscher Produktsatz|weierstraßschen Produktsatz]] folgt.

Die [[Taylor-Reihe]] um <math>z=1</math> ist gegeben durch

:<math>\psi_m(z+1)= \sum_{k=0}^\infty
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!},</math>

die für <math>|z|<1</math> konvergiert. <math>\zeta</math> bezeichnete dabei die [[riemannsche Zetafunktion]].

=== Spezielle Werte ===

Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie [[Kreiszahl|<math>\pi</math>]], [[Quadratwurzel]], [[Clausen-Funktion|Clausen-Funktion <math>\mathrm{Cl}(x)</math>]], [[Riemannsche Zetafunktion|riemannsche ζ-Funktion]], [[Catalansche Konstante|catalansche Konstante <math>G</math>]] sowie [[Dirichletsche Betafunktion|dirichletsche β-Funktion]]; z. B.
:<math>\psi_m(\tfrac12)=(-1)^{m+1}m!\,(2^{m+1}-1)\zeta(m+1), \qquad m\in\N</math>

Allgemein gilt ferner:

:<math>\psi_m(1)=(-1)^{m+1}m!\,\zeta(m+1),\qquad m\in\N</math>.

Die m-te Ableitung des [[Tangens]] kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:

:<math>\frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m}\tan x=\frac{\psi_m(\tfrac12+\tfrac{x}{\pi})-(-1)^m\,\psi_m(\tfrac12-\tfrac{x}{\pi})}{\pi^{m+1}}</math>.

Darüber hinaus haben sich spezielle Werte von Polygammafunktionen als universelle Konstanten immer wieder bei einer geschlossenen Grenzwert-Beschreibung von Reihen oder auch Integralen als nützlich erwiesen, zum Beispiel gilt
:<math> \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^4} = \frac{1}{768}\left( \psi_3\left( \tfrac14 \right) - 8\pi^2 \right). </math>

== Verallgemeinerte Polygammafunktion ==

Espinosa und Moll haben 2003 eine verallgemeinerte Polygammafunktion <math> \psi_s(z)</math> eingeführt, die nun sogar für alle komplexen Werte <math> s </math> definiert ist.<ref>O. Espinosa, V. H. Moll: ''A generalized polygamma function'', [https://arxiv.org/pdf/math/0305079.pdf (arXiv).]</ref> Diese hat für <math> s \ne 0, 1, 2, \dotsc </math> die allgemeine Taylor-Entwicklung

:<math> \psi_s(1+z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\Gamma(-s-n)} \left(\zeta'(s+n+1) + \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} - \frac{1}{k-s-n-1} \right) \zeta(s+n+1)\right) \frac{z^n}{n!},</math>

gültig im Bereich <math> |z| < 1 </math>.<ref>O. Espinosa, V. H. Moll: ''A generalized polygamma function'', [https://arxiv.org/pdf/math/0305079.pdf (arXiv)], S. 6–7.</ref> Diese Verallgemeinerung nutzt jedoch nicht [[fraktionale Infinitesimalrechnung]]. Ein solcher Ansatz wurde von Grossman gewählt.<ref>N. Grossman: ''Polygamma functions of arbitrary order.'' SIAM J. Math. Anal. 7, 1976, 366–372.</ref>

Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für <math> s\in\Complex</math> und <math>z\in\Complex\setminus-\N_0</math> die Funktionalgleichung
:<math>\psi_s(z+1)=\psi_s(z)+\frac{\ln z-\psi(-s)-\gamma}{\Gamma(-s)}\,z^{-(s+1)},</math>
wobei <math>\gamma</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] bezeichnet. Wegen
:<math>\frac{\psi(-m)}{\Gamma(-n)}=(-1)^{n-1} n!</math>
für ganzzahlige <math>m,n\ge 0</math> ist die weiter oben angegebene [[#Differenzengleichungen|Differenzengleichung]] für natürliche <math>n</math> eingeschlossen.

Unter Zuhilfenahme der [[Hurwitzsche Zeta-Funktion|Hurwitzschen <math>\zeta</math>-Funktion]] erhält man dann die Beziehung
:<math>\psi_s(z)=
\frac1{\Gamma(-s)}\left(\frac{\partial}{\partial s}+\psi(-s)+\gamma\right)\zeta(s+1,z)
=\mathrm e^{-\gamma\,s}\frac{\partial}{\partial s}\left(\mathrm e^{\gamma\,s}\,\frac{\zeta(s+1,z)}{\Gamma(-s)}\right),</math>
welche die Funktionalgleichung erfüllt.<ref name="espinosa">Oliver Espinosa and Victor H. Moll:
[http://arxiv.org/pdf/math.CA/0305079 ''A Generalized Polygamma Function''] auf [http://arxiv.org/ arXiv.org e-Print archive] 2003.</ref>

Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel
:<math>\psi_s\left(\frac{z}{2}\right)+\psi_s\left(\frac{z+1}{2}\right)=
2^{s+1}\psi_s(z)+\frac{2^{s+1}\ln 2}{\Gamma(-s)}\zeta(s+1,z)
</math>
herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet
:<math>\psi_s(z)=n^{-s-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\psi_s\left(\frac{z+k}{n}\right)
-\frac{\ln n}{\Gamma(-s)}\zeta(s+1,z),
</math>
die ein Äquivalent zur [[Gammafunktion#Grundlegende Funktionalgleichungen|Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion]] darstellt und die
[[#Multiplikationsformel|Multiplikationsformel]] als Spezialfall für <math> s\in\N</math> enthält.

== Literatur ==
* [[Milton Abramowitz]] und [[Irene Stegun]], ''[[Handbook of Mathematical Functions]]'', (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0. [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_260.htm Siehe §6.4]
* [[MathWorld|Eric W. Weisstein]]: ''Polygamma Function'' [http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html auf MathWorld], [http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/PolyGamma2/ in functions.wolfram.com], [http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/PolyGamma.html in references.worlfram.com].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Polygammafunktion - Versionsgeschichte

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