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[[Datei:GraphKehrwertfunktion.png|250px|mini|f(x)=1/x hat einen Pol erster Ordnung an der Stelle x=0]]

In der [[Mathematik]] bezeichnet man eine einpunktige [[Definitionslücke]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] als '''Polstelle''' oder auch kürzer als '''Pol''', wenn die [[Funktionswert]]e in jeder [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] des Punktes ([[Betragsfunktion|betrag]]s<nowiki/>mäßig) beliebig groß werden. Damit gehören die Polstellen zu den [[Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. Das Besondere an Polstellen ist, dass sich die Punkte in einer Umgebung nicht chaotisch verhalten, sondern in einem gewissen Sinne gleichmäßig gegen [[unendlich]] streben. Deshalb können dort [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwertbetrachtungen]] durchgeführt werden.

Generell spricht man nur bei [[Glatte Funktion|glatten]] oder [[Analytische Funktion|analytischen Funktionen]] von Polen. In der [[Schulmathematik]] werden Pole bei reellen [[Rationale Funktion|gebrochen-rationalen Funktionen]] eingeführt. Sollen auch Singularitäten von anderen Funktionen, etwa [[Algebraische_Funktion #Transzendente_Funktionen|transzendenten Funktionen]], z. B. beim [[Sekans]] <math>f(x)= \tfrac 1{ \cos x}</math>, untersucht werden, so ist es am zweckmäßigsten, die [[analytische Fortsetzung]] auf den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] zu betrachten.

== Reelle Funktionen ==
Im Folgenden sei <math>f \colon \mathbb R \supset X \to \mathbb R</math> eine [[rationale Funktion]] auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Eine allgemeinere Herangehensweise wird weiter unten bei [[#Komplexe Funktionen|Komplexe Funktionen]] dargestellt.

=== Polstellen und stetig hebbare Definitionslücken rationaler Funktionen ===
Jede rationale Funktion lässt sich als [[Quotient]] zweier [[Polynom]]e schreiben:
:<math>f(x)= \frac{A(x)}{B(x)}=\frac{a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots +a_1x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots +b_1x+b_0}
\quad \text{mit} \quad m, n \in \mathbb{N}_0</math>
Dabei seien <math>A</math> und <math>B</math> ungleich dem [[Nullpolynom]]. Dann können Polstellen von <math>f</math> generell nur an den [[Nullstelle]]n des Nennerpolynoms auftreten. Habe also <math>B</math> eine <math>k</math>-fache Nullstelle in <math>x_0 \in \mathbb R</math>. Da sich Nullstellen mittels [[Polynomdivision]] aufgrund des [[Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]] ausfaktorisieren lassen, gilt <math>B(x) = (x-x_0)^k \cdot S(x)</math>, dabei ist <math>S</math> ein Polynom vom Grad <math>n-k</math> und <math>S(x_0) \neq 0</math>. Jetzt hängt es vom Zählerpolynom ab, ob <math>x_0</math> eine Polstelle ist.
* Falls <math>A(x_0) \neq 0</math> gilt, dann ist <math>x_0</math> eine Polstelle der Ordnung <math>k</math>.
* Hat <math> A</math> eine <math>j</math>-fache Nullstelle in <math>x_0</math>, so gilt:
** falls <math>j<k</math>, so ist <math>x_0</math> Polstelle von <math>f</math> mit Ordnung <math>k-j</math>;
** falls <math>j\geq k</math>, so ist <math>x_0</math> eine [[stetig hebbare Definitionslücke]] und somit keine Polstelle.

=== Bemerkungen ===
* Interpretiert man ''„<math>A</math> hat in <math>x_0</math> keine Nullstelle“'' als ''„<math>A</math> hat in <math>x_0</math> eine <math>j</math>-fache Nullstelle mit <math>j=0</math>“'', so lässt sich obige Fallunterscheidung kürzer formulieren.
* Rationale Funktionen können keine anders gearteten Singularitäten besitzen.
* Rationale Funktionen besitzen höchstens endlich viele Polstellen, da ein Polynom nur endlich viele Nullstellen haben kann.

=== Ordnung einer Polstelle ===
Die Ordnung einer Polstelle wird durch eine [[natürliche Zahl]] ausgedrückt und ist die Entsprechung zur [[Nullstelle#Mehrfache Nullstellen|Vielfachheit]] einer Nullstelle. Je höher die Ordnung ist, umso schneller streben die Funktionswerte betragsmäßig gegen unendlich. Zusätzlich wird zwischen gerader und ungerader Ordnung unterschieden. Jede Polstelle einer rationalen Funktion hat eine endliche, eindeutig bestimmte Ordnung. Ist <math>f</math> wie oben definiert, dann erhält man zwei Polynome <math>P, Q</math>, die keinen [[Linearfaktor]] gemeinsam haben, sodass <math>f(x)= P(x)/Q(x)</math>, indem man alle stetig behebbaren Definitionslücken herauskürzt. Dann hat <math>f</math> in <math>x_0</math> genau dann eine Polstelle <math>k</math>-ter Ordnung, wenn <math>Q</math> dort eine <math>k</math>-fache Nullstelle hat, oder anders formuliert, wenn <math>1/f</math> in <math>x_0</math> eine <math>k</math>-fache Nullstelle hat. Ebenso spricht man von einem Pol der Ordnung 0, wenn <math>f</math> dort keine Polstelle hat.

=== Verhalten des Graphen ===
[[Datei:Gamma abs 3D.png|mini|Der Absolutwert der [[Gammafunktion]] geht nach Unendlich an den Polstellen (links). Rechts hat sie keine Polstellen und steigt nur schnell an.]]

Der [[Funktionsgraph|Graph]] der Funktion verschwindet bei Annäherung an die Polstelle im Unendlichen und besitzt dort eine [[Asymptote#Vertikale Asymptote|senkrechte Asymptote]]. Das genaue Verhalten wird durch die Ordnung der Polstelle festgelegt. Je höher die Ordnung ist, umso steiler erscheint der Graph.

Bei einer [[Parität (Mathematik)|ungeraden]] Ordnung spricht man auch von einer Polstelle mit [[Vorzeichenwechsel]], der Graph springt aus dem positiven in den negativen [[Bildbereich]] oder umgekehrt.

Bei einem Pol [[Parität (Mathematik)|gerader]] Ordnung liegt der Graph auf beiden Seiten der Polstelle im Bildbereich mit dem gleichen [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]. Man spricht dann auch von einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

=== Existenz von uneigentlichen Grenzwerten ===
Hat <math>f</math> eine Polstelle in <math>x_0</math>, dann existiert ein Grenzwert <math>\textstyle \lim_{x \to x_0} f(x)</math> nur dann, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen. Ist die Ordnung der Polstelle gerade, so ist dies stets gegeben und der Grenzwert ist <math>\infty</math> oder <math>-\infty</math>.

Bei einem Pol ungerader Ordnung kann man nur dann von einem Grenzwert sprechen, wenn <math>+\infty = -\infty</math> gesetzt wird. Diese [[Einpunktkompaktifizierung]] erhält aber nicht die [[Ordnungsrelation|kleiner/gleich-Relation]] und wirkt deswegen zunächst unnatürlich. Die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] können aber in die [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] [[Einbettung (Mathematik)|eingebettet]] werden und, da diese nicht angeordnet sind, ist es durchaus sinnvoll.

=== Beispiele ===
Die Funktion <math> f(x) = \frac{1}{x^2} </math> hat einen Pol 2. Ordnung bei <math>x = 0</math>.

Die Funktion <math> f(x) = \frac{1}{(x-2)^3} </math> hat einen Pol 3. Ordnung bei <math>x = 2</math>.

Die Funktion <math> f(x) = \frac{x+2}{x^3+x^2-x-1} = \frac{(x+2)}{(x+1)^2(x-1)} </math> hat für <math>x = -1</math> eine Polstelle der Ordnung 2 und für <math>x = 1</math> eine Polstelle 1. Ordnung.

Die Funktion <math> f(x) = \frac{x^2+3x+2}{x^3+x^2-x-1} = \frac{(x+2)(x+1)}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{(x+2)}{(x+1)(x-1)} </math> hat für <math>x = -1</math> und <math>x = 1</math> Polstellen der Ordnung 1.

=== Schwierigkeiten bei der Verallgemeinerung ===
Während es nach obigem Vorgehen keine Probleme bereitet, z. B. für die [[Tangens]]funktion die Existenz und Ordnung der Polstellen anzugeben, wird es bei der [[Logarithmus]]funktion für <math>x=0</math> unmöglich. Generell bereitet jede glatte, aber nicht-[[Analytische Funktion|analytische]] Funktion Schwierigkeiten. Eine Möglichkeit, damit umzugehen, bieten [[Funktionentheorie|funktionentheoretische]] Mittel.

== Komplexe Funktionen ==
Sei <math>G \subset \mathbb C</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]], <math>D \subset G </math> eine [[diskrete Teilmenge]] und <math>f \colon G \setminus D \to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion. Dann kann <math>f</math> auf den Punkten von <math>D</math> drei verschiedene Arten von isolierten Singularitäten haben.

=== Definition ===
Folgende Definition enthält die Pole reellwertiger rationaler Funktionen als Spezialfall.
Sei <math>a \in D</math>. Falls es ein <math>k \in \mathbb{N}_0</math> gibt, sodass <math>\textstyle \lim_{z \to a} (z-a)^k \cdot f(z)</math> in <math>\mathbb C</math> existiert, so kommt es zu folgenden Fällen:
* <math>k=0</math>: Dann ist <math>f</math> auf <math>a</math> [[Stetig behebbare Definitionslücke|holomorph fortsetzbar]].
* <math>k \geq 1</math> und <math>k</math> kleinstmöglich gewählt, dass der Grenzwert existiert. Dann liegt ein Pol der Ordnung <math>k</math> vor.
Existiert keine solche natürliche Zahl <math>k</math>, so hat <math>f</math> eine [[wesentliche Singularität]] in <math>a</math>.

Aus dem [[Riemannscher Hebbarkeitssatz|riemannschen Hebbarkeitssatz]] folgt, dass der Grenzwert <math>\textstyle \lim_{z \to a} (z-a)^k \cdot f(z)</math> schon dann existiert, wenn <math> (z-a)^k \cdot f(z)</math> in einer Umgebung von <math>a</math> beschränkt ist.

Eine weitere Charakterisierung von Polstellen ist folgende: <math>f</math> hat in <math>a</math> genau dann einen Pol der Ordnung <math>k</math>, wenn der Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] auf einer in <math>a</math> [[Kreisscheibe|punktierten Kreisscheibe]] endlich ist und der kleinste Index eines nichtverschwindenden [[Koeffizient|Koeffizienten]] der Laurent-Reihe gerade <math>- k</math> ist.

=== Meromorphe Funktionen ===
{{Hauptartikel|Meromorphe Funktion}}

Komplexe Funktionen, die auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] holomorph sind und deren Singularitäten höchstens Pole sind, werden auch meromorph genannt. Wegen des [[Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatzes]] kann die Polstellenmenge einer auf <math>\mathbb C</math> meromorphen Funktion nur diskret sein. Damit liegen in jeder [[Kompakter Raum|kompakten]] Teilmenge höchstens endlich viele Pole. Für die gesamte Ebene belegt der [[Satz von Mittag-Leffler]] die Existenz von Funktionen mit unendlich vielen Polstellen. Mit Hilfe der Ordnung der Pol- und Nullstellen einer meromorphen Funktion kann ein [[Divisor]] definiert werden.

Betrachtet man den kompaktifizierten [[Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] der komplexen Zahlen <math>\overline{\mathbb C} = \mathbb C \cup \{\infty\}</math>, so bilden meromorphe Funktionen ihre Polstellen auf <math>\infty</math> ab. Lässt man <math>\overline{\mathbb C}</math> auch im [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] zu, so haben genau die [[Polynom]]e <math>k</math>-ten Grades in <math>\infty</math> eine Polstelle der Ordnung <math>k</math>. Allgemein sind meromorphe Funktionen <math>\mathbb C \to \mathbb C</math> holomorph auf <math>\overline{\mathbb C}</math>, wenn sie in <math>\infty</math> höchstens einen Pol haben. Damit sind dies holomorphe Funktionen auf einer [[Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeit]], nämlich der [[Riemannsche Zahlenkugel|riemannschen Zahlenkugel]]. Es lässt sich zeigen, dass jede holomorphe Funktion <math>\overline{\mathbb C} \to \overline{\mathbb C}</math> global als [[Quotient]] zweier Polynome ausgedrückt werden kann und somit stets eine [[rationale Funktion]] ist.

=== Satz vom Null- und Polstellen zählenden Integral ===
{{Hauptartikel|Residuensatz}}

Sei <math>f</math> eine auf einem Gebiet <math>G \subset \mathbb C</math> meromorphe Funktion. Dann gilt für jede [[Glatte Funktion|glatte]], geschlossene, [[rektifizierbar]]e [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] <math>\gamma \subset G</math>, die weder Null- noch Polstellen von <math>f</math> berührt und die eine Teilmenge <math>H \subset G</math> berandet:
:<math>\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f'(z)}{f(z)} dz = N_f - P_f</math>.
Dabei sind <math>N_f</math> und <math>P_f</math> die Anzahl der Null- bzw. Polstellen inklusive ihrer Vielfachheiten, die in <math>H</math> liegen. Insbesondere gilt für jede auf <math>G = \overline{\mathbb C}</math> meromorphe Funktion <math>N_f = - P_f</math>.

=== Beispiele ===
[[Datei:1 over sin x.png|mini|f(x) = 1/sin(x)]]

* Die Funktion <math> f(x) = \tfrac{1}{x^2+1} </math> hat zwei Pole 1. Ordnung bei <math>x = \pm i</math>.

* Der Kehrwert des [[Sinus]] <math> f(x) = \tfrac{1}{\sin x} </math> lässt sich analytisch fortsetzen auf <math>\mathbb C</math> und hat einfache ungerade Pole bei allen ganzzahligen Vielfachen von [[Kreiszahl|π]], da <math>\textstyle \lim_{z \to n \pi}\frac{z-n \pi}{\sin z} = \pm 1</math>.

* Die [[Tangens]]funktion <math>f(z) = \tan z </math> hat ungerade Pole bei allen <math>z = (k+\tfrac{1}{2})\cdot\pi,\;k \in \mathbb Z</math>.

* Der [[Logarithmus#Komplexer Logarithmus|komplexe Logarithmus]] ist eine [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] und kann auf keinem Gebiet, das die Null enthält, stetig fortgesetzt werden. In <math>0</math> hat er keinen Pol, sondern einen [[Verzweigungspunkt]].

== Weiteres ==
* Das [[Pol-Nullstellen-Diagramm]] liefert mehrere Informationen über ein zu untersuchendes [[Signal]].

== Literatur ==
* Manfred Zimmermann (Hrsg.): ''Einführungsphase Mathematik.'' 5. Auflage. Transparent-Verlag, Berlin 1991, ISBN 3-927055-03-4.
* Georg Hoever: ''Höhere Mathematik kompakt''. 2., korrigierte Auflage. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4.

== Weblinks ==
* [http://www2.htw-dresden.de/~mvoigt/w2-ab5-1.pdf Nullstellen, Polstellen, Lücken] (abgerufen am 29. August 2016)
* [http://www.raschweb.de/Q11-m-Polstellen.pdf Polstellen und hebbare Definitionslücken gebrochen rationaler Funktionen] (abgerufen am 29. August 2016)
* [http://www2.tu-ilmenau.de/nt/de/private_home/roemer/grenzstabil.pdf Stabilität und Grenzstabilität] (abgerufen am 29. August 2016)

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Polstelle - Versionsgeschichte

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