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2026-01-25T08:00:30Z

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Im Teilgebiet [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] der [[Mathematik]] ist ein '''polnischer Raum''' ein [[Separabler Raum|separabler]] und [[Vollständiger Raum|vollständig]] [[Metrisierbarer Raum|metrisierbarer]] [[topologischer Raum]].
Separable und vollständig metrisierbare topologische Räume werden zu Ehren der [[Polen|polnischen]] Mathematiker, die sich als erste mit ihnen beschäftigten ([[Wacław Sierpiński|Sierpiński]], [[Kazimierz Kuratowski|Kuratowski]], [[Alfred Tarski|Tarski]]), ''polnisch'' genannt. Die Terminologie geht auf [[Nicolas Bourbaki]] zurück.<ref name="Bauer" /> Polnische Räume sind zentraler Untersuchungsgegenstand der [[Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] und spielen eine wichtige Rolle in der [[Maßtheorie]], etwa im Zusammenhang mit [[Radon-Maß]]en.<ref>Bauer: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 1992, S. 178–190.</ref>

== Definitionen ==
Ein topologischer Raum heißt ''polnischer Raum'' genau dann, wenn er
# vollständig metrisierbar ist und
# separabel ist.<ref>Donald L. Cohn: ''Measure Theory.'' Birkhäuser, Boston MA u. a. 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Kapitel 8.1.</ref>
Eine äquivalente Definition ist:
Ein topologischer Raum heißt ''polnischer Raum'' genau dann, wenn er
# vollständig metrisierbar ist und
# die Topologie eine [[abzählbare Basis]] besitzt.<ref name="Bauer">Bauer: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 1992, S. 178.</ref><ref>Querenburg: ''Mengentheoretische Topologie.'' 1973, S. 148.</ref>
Eine [[topologische Gruppe]], deren topologischer Raum ein polnischer Raum ist, nennt man '''polnische Gruppe'''.
== Anmerkungen ==
* ''Vollständig metrisierbar'' bedeutet, dass es eine Metrik <math>d</math> auf <math>X</math> gibt, die die Topologie induziert und zugleich [[Vollständiger Raum|vollständig]] ist, das heißt, dass jede Cauchy-Folge bezüglich <math>d</math> konvergiert. (Eine Metrik <math>d</math> induziert die [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] auf <math>X</math>, wenn die ''offenen'' Mengen von <math>X</math> durch offene Kugeln bezüglich <math>d</math> erklärt werden können.) Man beachte, dass die Vollständigkeit von der Metrik abhängt: Ist der Raum bezüglich einer Metrik vollständig, so kann es andere Metriken geben, die dieselbe Topologie erzeugen, und nicht vollständig sind. Es wird hier gefordert, dass es wenigstens eine vollständige Metrik gibt, die die Topologie erzeugt.
* Ein topologischer Raum <math>X</math> heißt ''separabel'', wenn es eine [[Abzählbare Menge|abzählbare]] und [[dichte Teilmenge]] <math>A</math> von <math>X</math> gibt, das heißt <math>A</math> ist gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen und es gilt <math>\overline{A} = X</math> (mit <math>\overline{A}</math> die [[Abgeschlossene Hülle]] von <math>A</math>). Durch diese Eigenschaft werden polnische Räume in ihrer Größe eingeschränkt, sie sind daher auch [[Maßtheorie|maßtheoretischen]] Methoden zugänglich.
* Die beiden Definitionen eines polnischen Raums sind äquivalent, da ein metrischer Raum genau dann separabel ist, wenn er eine abzählbare Basis besitzt.
* Nach dem Satz von [[David Blackwell|Blackwell]]-[[Lester Dubins|Dubins]]-[[Xavier Fernique|Fernique]] besitzt jeder polnische Raum die [[Skorochod-Darstellung|Skorochod-Eigenschaft]].<ref>{{Literatur |Autor=T. O. Banakh, V. I. Bogachev, A. V. Kolesnikov |Titel=Topological Spaces with Skorokhod Representation Property |Sammelwerk=Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |Band=57 |Nummer=9 |Datum=2005-09-25 |ISSN=1027-3190 |Seiten=1171–1186 |Online=https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3677 |Abruf=2026-01-25}}</ref>

== Beispiele ==
# Jeder endliche oder abzählbar unendliche [[Diskrete Topologie|diskrete Raum]] ist ein polnischer Raum.
# Für jedes <math>n</math> ist <math>\R^n</math> mit seiner natürlichen Topologie ein polnischer Raum.
# Allgemein ist jeder separable [[Banachraum]] versehen mit der durch seine Norm induzierten Topologie polnisch, etwa viele [[Funktionenraum|Funktionenräume]] wie die [[Lp-Raum|<math>L^p</math>-Räume]], die [[Sobolev-Raum|Sobolev-Räume]] <math>W^{k,p}</math> oder die [[Folgenraum|Folgenräume]] <math>\ell^p</math> jeweils für endliches <math>p</math> oder gängige metrische Räume stetiger Funktionen.
# Jeder [[Kompakter Raum|kompakte]] metrisierbare Raum ist polnisch.
# Allgemein ist jeder [[lokalkompakt]]e, [[metrisierbar]]e [[Topologischer Raum|Raum]], welcher [[abzählbar im Unendlichen]] ist, ein polnischer Raum<ref>Querenburg: ''Mengentheoretische Topologie.'' 1973, S. 149.</ref>.
# Das Produkt <math>\prod_{i \in I} X_i </math> von polnischen Räumen <math>X_i</math> (ausgestattet mit der [[Produkttopologie]]) bildet einen polnischen Raum, wenn die Indexmenge ''I'' endlich oder abzählbar ist.
# Das [[Cantor-Menge|cantorsche Diskontinuum]] ist ein polnischer Raum.
# Die Menge der [[Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]] bildet einen polnischen Raum. In der üblichen ("euklidischen") Metrik (die durch <math>d(x, y) = |x-y|</math> definiert ist) sind die Irrationalzahlen zwar nicht vollständig; eine Folge von Irrationalzahlen, die gegen eine [[rationale Zahl]] konvergiert, ist zwar eine Cauchyfolge, aber hat im Raum der Irrationalzahlen keinen Grenzwert. Die Irrationalzahlen sind aber [[homöomorph]] zum [[Baire-Raum (speziell)|Baire-Raum]], dem Produkt <math>\N^\N</math> von abzählbar vielen Kopien der natürlichen Zahlen. Explizit kann man eine vollständige Metrik auf den Irrationalzahlen so angeben: <math>d(x, y) = \tfrac 1{n+1}</math>, wenn die ersten <math>n</math> Terme der [[Kettenbruch]]entwicklung von <math>x</math> und <math>y</math> übereinstimmen, aber nicht der <math>n+1</math>-te Term.
# Jeder [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] [[Unterraum#Topologischer_Raum|Unterraum]] eines polnischen Raums ist seinerseits ein polnischer Raum.
# Ein Unterraum eines polnischen Raums ist seinerseits ein polnischer Raum dann und nur dann, wenn er eine [[G-delta-Menge|G<sub>δ</sub>-Menge]] ist, also die Schnittmenge abzählbar vieler offener Teilmengen in der gegebenen Topologie ([[Gδ-Satz von Hausdorff#Umkehrung|Satz von Mazurkiewicz]])<ref name="Querenburg">Querenburg: ''Mengentheoretische Topologie.'' 1973, S. 150.</ref>.
# Die polnischen Räume sind bis auf [[Homöomorphie]] genau die G<sub>δ</sub>-Teilmengen des [[Hilbertwürfel]]s <math>[0,1]^{\mathbb N}</math> <ref>Oliver Deiser: ''Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen.'' 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Korollar auf Seite 335.</ref><ref name="Querenburg" />.
# Jeder polnische Raum ist Bild einer [[Stetige Funktion|stetigen]] [[Surjektion]] aus dem Baire-Raum. Der Baire-Raum ist ebenso wie der [[Cantor-Raum]] effektiv.

== Effektive polnische Räume ==
Ein ''effektiver polnischer Raum'' ist ein polnischer Raum, der eine [[Berechenbarkeit|berechenbare]] Repräsentation besitzt. Derartige Räume sind Gegenstand der [[Effektive deskriptive Mengenlehre|effektiven deskriptiven Mengenlehre]] und der [[Konstruktive Mathematik|konstruktiven Analysis]].

Formal ist ein effektiver polnischer Raum ein polnischer Raum mit einer Metrik <math>d</math>, so dass es eine abzählbare dichte Menge <math>C = (c_0, c_1, \dotsc)</math> gibt, welche die folgenden zwei Relationen auf <math>\mathbb{N}^4</math> berechenbar macht:<ref>[[Yiannis N. Moschovakis]]: ''Descriptive Set Theory'' (= ''Mathematical Surveys and Monographs.'' Bd. 155). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence RI 2009, ISBN 978-0-8218-4813-5.</ref>
:<math>P(i,j,k,m) \equiv d(c_i,c_j) \leq \frac{m}{k+1}</math>

:<math>Q(i,j,k,m) \equiv d(c_i,c_j) < \frac{m}{k+1}</math>

== Siehe auch ==
*[[Analytische Menge]]
*[[Polnische Mathematikerschule]]

== Lehrbücher ==
* {{Literatur
|Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]]
|Titel=Maß- und Integrationstheorie
|Auflage=2., überarbeitete
|Verlag=de Gruyter
|Ort=Berlin
|Jahr=1992
|ISBN=3-11-013626-0
}}
* {{Literatur
|Autor=[[Boto von Querenburg]]
|Titel=Mengentheoretische Topologie
|Auflage=
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin u. a.
|Jahr=1973
|ISBN=3-540-06417-6
}}

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]]
[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Polnische Mathematikerschule]]

Polnischer Raum - Versionsgeschichte

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