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2025-06-02T23:52:23Z

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'''Polarzerlegung''' ist ein Begriff aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und [[Funktionalanalysis]], beides Teilgebiete der [[Mathematik]]. Er bezieht sich auf eine spezielle Zerlegung in ein [[Matrizenprodukt|Produkt]] von Matrizen mit reellen oder komplexen Einträgen, und in Verallgemeinerung von [[Linearer Operator|linearen Operatoren]] auf einem [[Hilbert-Raum]]. Die Polarzerlegung von Matrizen und Operatoren verallgemeinert die Polarzerlegung einer nichtverschwindenden [[Komplexe Zahl|komplexen Zahl]] <math>z</math> in das Produkt ihres [[Absoluter Betrag|Betrags]] <math>r = |z|</math> und einer Zahl <math>e^{i \varphi}</math> auf dem [[Einheitskreis|komplexen Einheitskreis]], mit dem Argument <math>\varphi</math> von <math>z</math>, also <math>z = r \cdot e^{i \varphi}</math>.

== Polarzerlegung reeller oder komplexer Matrizen ==
Ist <math>A</math> eine [[quadratische Matrix]], so bezeichnet man als (rechte) Polarzerlegung eine Faktorisierung

:<math>A=U\,P</math>,

wobei

* im reellen Fall <math>U</math> eine [[Orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>P</math> eine [[positiv semidefinit]]e [[symmetrische Matrix]] ist und
* im komplexen Fall <math>U</math> eine [[Unitäre Matrix|unitäre]] und <math>P</math> eine positiv semidefinite [[hermitesche Matrix]] ist.

Ist <math>A</math> [[Reguläre Matrix|invertierbar]], so ist die Zerlegung eindeutig, <math>P</math> positiv definit und <math>U</math> bzw. <math>-U</math> sind die orthogonalen bzw. unitären Matrizen mit dem geringsten bzw. größten Abstand zu <math>A</math>.

=== Berechnung der Polarzerlegung ===
Die reellen Methoden sind ein Spezialfall der komplexen, wobei die [[adjungierte Matrix]] <math>X^\ast</math> dann gleich der [[Transponierte Matrix|transponierten Matrix]] <math>X^T</math> ist.

==== Über die Singulärwertzerlegung ====
Mit der [[Singulärwertzerlegung]]

:<math>A=V\,\Sigma\,W^*</math>

kann man die Polarzerlegung als

:<math>U=V\,W^*</math> und <math>P=W\,\Sigma\,W^*</math>

bestimmen.

==== Als iterative Bestimmung des symmetrischen Faktors ====
Die Matrix <math>P</math> kann als die eindeutig bestimmte positiv semidefinite [[Quadratwurzel einer Matrix|Quadratwurzel]] von

:<math>B=A^\ast\,A=PU^*UP=P^2</math>

bestimmt werden. Dazu kann das [[Heron-Verfahren|Heronsche Wurzelverfahren]] verallgemeinert werden zu

:<math>P_0=I</math> und <math>P_{k+1}=\tfrac12(P_k+P_k^{-1}B)</math>.

Ist <math>A</math> invertierbar, so konvergiert das Verfahren mit Grenzwert <math>P</math> und <math>U=A\,P^{-1}</math>.

==== Als iterative Bestimmung des orthogonalen Faktors ====
Ein anderes aus dem Heronschen [[Wurzel (Mathematik)|Wurzelziehen]] abgeleitetes Verfahren bestimmt den unitären Faktor <math>U</math> als Grenzwert der Rekursion
:<math>U_0=A</math> und <math>U_{k+1}=\tfrac12(U_k+(U_k^*)^{-1})</math>.
Diese ist lokal quadratisch konvergent. Zur Beschleunigung der globalen Konvergenz, insbesondere falls alle Singulärwerte von <math>A</math> sehr groß oder alle sehr klein sind, reskaliert man die [[Iteration]] zu
:<math>U_{k+1}=\tfrac12(\gamma_kU_k+(\gamma_kU_k^*)^{-1})</math>,
wobei <math>\gamma_k^{-1}</math> nahe dem geometrischen Zentrum der Singulärwerte von <math>U_k</math> liegen sollte und durch Kombinationen verschiedener [[Matrixnorm]]en von <math>U_k</math> und deren [[Inverse Matrix|Inverser]] geschätzt werden kann.<ref name="higham1986" /><ref name="byers2008" /> Vorgeschlagen wurden unter anderem die Faktoren
:<math>
\gamma_k=\sqrt[4\;]{\frac{
\|U_k^{-1}\|_1\,\|U_k^{-1}\|_\infty
}{
\|U_k\|_1\,\|U_k\|_\infty
} }
</math>
mit den [[Zeilensummennorm|Zeilen-]] und [[Spaltensummennorm]]en sowie
:<math>
\gamma_k=\sqrt{\frac{\|U_k^{-1}\|_F}{\|U_k\|_F}}
</math>
mit der [[Frobeniusnorm]].

== Polarzerlegung von Operatoren ==
Eine (linke bzw. rechte) Polarzerlegung eines [[Stetige Funktion|stetigen]] [[Linearer Operator|linearen Operators]] <math>A</math> auf einem [[Hilbertraum]], das heißt <math> A \in \mathcal{L}(H) </math>, ist
eine der folgenden multiplikativen Zerlegungen:

:<math> A = U \sqrt{A^{*} A} = \sqrt{AA^{*}}\, U</math>.

Hier sind <math>\sqrt{A^* A}</math> und <math>\sqrt{AA^*}</math> [[Positiver Operator|positive Operatoren]], die mittels des [[Stetiger Funktionalkalkül|stetigen Funktionalkalküls]] gebildet werden,
und <math> U \in \mathcal{L}(H) </math> ist eine [[partielle Isometrie]], das heißt
<math>U^* U U^* U = U^* U</math>. Zu jedem stetigen linearen Operator auf einem Hilbertraum existiert eine solche Polarzerlegung. Statt <math> \sqrt{A^{*} A} </math> schreibt man auch <math> \left| A \right| </math>. Wenn <math>A</math> invertierbar ist, so auch <math>|A|</math> und <math>U</math> ist unitär.

== Anwendungsbeispiel ==
In der [[Kontinuumsmechanik]] findet die „polare Zerlegung“ des [[Deformationsgradient]]en eine Anwendung in der Beschreibung von [[Verformung|Deformationen]] und den daraus definierten [[Verzerrungstensor]]en.

== Literatur ==
* [[Walter Rudin|W. Rudin]]: ''Functional Analysis.'' 2. Auflage. McGraw-Hill, 1991, S. 330–333.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="higham1986">
{{Literatur
|Autor=Nicholas J. Higham
|Titel=Computing the polar decomposition with applications
|Sammelwerk=SIAM J. Sci. Stat. Comput.
|Band=7
|Nummer=4
|Verlag=Society for Industrial and Applied Mathematics
|Datum=1986
|ISSN=0196-5204
|Seiten=1160–1174
|DOI=10.1137/0907079}}
</ref>
<ref name="byers2008">
{{Literatur
|Autor=Ralph Byers, Hongguo Xu
|Titel=A New Scaling for Newton’s Iteration for the Polar Decomposition and its Backward Stability
|Sammelwerk=SIAM J. Matrix Anal. Appl.
|Band=30
|Nummer=2
|Verlag=Society for Industrial and Applied Mathematics
|Datum=2008
|ISSN=0895-4798
|Seiten=822–843
|DOI=10.1137/070699895}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Polarzerlegung - Versionsgeschichte

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