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2025-08-29T16:15:33Z

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In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] wird durch eine '''Polarisationsformel''' eine symmetrische [[Bilinearform]] beziehungsweise eine [[Sesquilinearform]] mithilfe ihrer zugehörigen [[Quadratische Form|quadratischen Form]] dargestellt.

Ein wichtiger Anwendungsfall ist die Darstellung des [[Skalarprodukt]]es eines [[Innenproduktraum]]es durch die zugehörige [[Skalarproduktnorm|induzierte Norm]] <math>\|v\|=\sqrt{\langle v,\,v\rangle}</math>. Umgekehrt kann man fragen, ob eine gegebene [[Norm (Mathematik)|Norm]] durch ein Skalarprodukt induziert wird. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Norm die [[Parallelogrammgleichung]] erfüllt, das Skalarprodukt kann dann mittels Polarisation aus dem Quadrat der Norm bestimmt werden.

== Der reelle Fall (symmetrische Bilinearform) ==

Es seien <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über dem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb R</math> und <math>\alpha \colon V\times V\to\mathbb R</math> eine [[symmetrische Bilinearform]], d. h.
:<math>\begin{align}
\alpha(v_1+ v_2,w)&=\alpha(v_1,w)+\alpha(v_2,w)\\
\alpha(c\cdot v,w)&=c\cdot\alpha(v,w) \text{ und }\\
\alpha(v,w)&=\alpha(w,v)
\end{align}</math>
für alle <math>v, v_1, v_2, w\in V</math>, <math>c\in\R</math>.

Ihre zugehörige quadratische Form <math>q \colon V\to\mathbb R</math> wird dann definiert durch
:<math>q(v) := \alpha(v,v),\;v\in V.</math>

Umgekehrt wird die symmetrische Bilinearform <math>\alpha</math> durch ihre quadratische Form eindeutig bestimmt. Dies drückt die Polarisationsformel aus: Es gilt

:<math>\begin{align}
\alpha(v,w) &= \frac 1 2\left( q(v+w) - q(v) - q(w)\right),\quad v,w\in V\\
&= \frac 1 2\left( q(v) + q(w) - q(v-w) \right),\quad v,w\in V\\
&= \frac 1 4\left( q(v+w) - q(v-w) \right),\quad v,w\in V.
\end{align}</math>

Dass dies nicht für beliebige (also auch nicht symmetrische) Bilinearformen gilt, zeigt das folgende Beispiel. Mit Hilfe der Matrizen

:<math>A := \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad B := \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>

seien die Bilinearformen <math>\alpha,\beta \colon \mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R</math> gegeben durch

:<math>\alpha(v,w) := v^TAw \quad\text{und}\quad \beta(v,w) := v^TBw,\quad v,w\in\mathbb R^2.</math>

Dann sind <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> verschieden, definieren aber dieselbe quadratische Form.

== Der komplexe Fall (Sesquilinearform) ==

Es seien <math>V</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb C</math> und <math>\alpha \colon V\times V\to\mathbb C</math> eine (nicht notwendigerweise [[Hermitesche Sesquilinearform|hermitesche]]) [[Sesquilinearform]]. Ihre zugehörige quadratische Form <math>q \colon V\to\mathbb C</math> wird wie im reellen Fall definiert durch
:<math>q(v) := \alpha(v,v),\;v\in V.</math>
Auch eine Sesquilinearform ist durch ihre quadratische Form eindeutig bestimmt. Für Sesquilinearformen lautet die Polarisationsformel:

:<math>\alpha(v,w) = \frac 1 4 \left( q(v+w) - q(v-w) \right) - \frac i 4\left( q(v+iw) - q(v-iw) \right),\quad v,w\in V,</math>

falls <math>\alpha</math> im ersten Argument [[Semilineare Abbildung|semilinear]] ist und

:<math>\alpha(v,w) = \frac 1 4 \left( q(v+w) - q(v-w) \right) + \frac i 4\left( q(v+iw) - q(v-iw) \right),\quad v,w\in V,</math>

falls <math>\alpha</math> im zweiten Argument semilinear ist.

== Literatur ==
* Oswald Riemenschneider: [https://www.math.uni-hamburg.de/home/riemenschneider/linalg.pdf ''Lineare Algebra und Analytische Geometrie'' (PDF; 809 kB)]- Vorlesungsskript, Uni Hamburg 2005, S. 82.
* Peter Knabner, Wolf Barth: ''Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen.'' Springer Spektrum, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55599-6 (Hardcover), ISBN 978-3-662-55600-9 (E-Book).

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Polarisationsformel - Versionsgeschichte

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