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2026-02-17T03:19:13Z

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Die '''polare Menge''' oder die '''Polare''' einer Menge ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiet der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]]. Dabei wird einer Menge eines Vektorraums eine Menge des [[Dualraum]]s zugeordnet und umgekehrt.

== Definition ==
Ist <math>E</math> ein [[normierter Raum]] oder allgemeiner ein [[lokalkonvexer Raum]] mit Dualraum <math>E'</math> und ist <math>A\subset E</math> eine Teilmenge, so nennt man
:<math>A^\circ := \{y \in E' : \sup\{|y(x)|: x \in A \} \le 1\} \subset E'</math>

die ''Polare'' von <math>A</math><ref>R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'', Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, §6, §22</ref>.

Ist <math>B\subset E'</math>, so setzt man
:<math> ^\circ B := \{x \in E : \sup\{|y(x)|: y \in B \} \le 1\} \subset E</math>
und nennt dies die Polare von <math>B</math>. Häufig findet man auch hierfür die Schreibweise <math>B^\circ</math> und nimmt die damit einhergehende Mehrdeutigkeit in Kauf, denn nach obiger Definition wäre <math>B^\circ</math> eine Teilmenge des [[Bidualraum]]s <math>E^{''}</math>.

== Beispiele ==
* Die Polare der [[Einheitskugel]] eines normierten Raums ist die Einheitskugel des Dualraums.
* Ist <math>F\subset E</math> ein [[Untervektorraum]], so ist <math>F^\circ</math> der [[Annullator]] von <math>F</math>.

== Eigenschaften ==
Für Mengen <math>A,B,A_i \subseteq E</math> gilt:
* Aus <math>A \subseteq B</math> folgt <math>B^\circ \subseteq A^\circ</math>
* Für alle <math>\lambda \neq 0</math> gilt <math>(\lambda A)^\circ = \frac{1}{\lambda}A^\circ</math>
* <math>(\bigcup_{i \in I} A_i)^\circ = \bigcap_{i \in I}A_i^\circ</math> für eine Familie <math>(A_i)_{i\in I}</math> von Teilmengen
* <math>A^\circ</math> ist [[absolutkonvexe Menge|absolutkonvex]] und [[schwach-*-Topologie|schwach-*-abgeschlossen]].

== Anwendungen ==
Die wichtigsten Sätze über polare Mengen sind:
* ''Bipolarensatz''<ref>H. Heuser: ''Funktionalanalysis'', Teubner-Verlag (2006), ISBN 3-8351-0026-2, Satz 67.2</ref>: Ist <math>A\subset E</math>, so ist <math> ^\circ(A^\circ)</math> die absolutkonvexe, schwach-*-abgeschlossene Hülle von <math>A</math>.
Ist also <math>A</math> absolutkonvex und schwach-*-abgeschlossen, so gilt <math> ^\circ(A^\circ) = A</math>. Dies kann als einfache Folge aus dem [[Trennungssatz]] angesehen werden.
* ''[[Satz von Banach-Alaoglu]]''<ref>R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'', Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.5</ref>: Die Polare einer Nullumgebung ist schwach-*-kompakt.

Mittels polarer Mengen lassen sich einige lokalkonvexe Topologien recht einfach beschreiben<ref>R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'', Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, § 23</ref>:
* Die Menge aller Polaren aller endlichen Mengen des Dualraums bildet eine [[Nullumgebungsbasis]] der [[schwache Topologie|schwachen Topologie]] auf <math>E</math>.
* Die Menge aller Polaren aller endlichen Mengen des Vektorraums bildet eine Nullumgebungsbasis der [[schwach-*-Topologie]] auf <math>E'</math>
* Die Menge aller Polaren aller absolutkonvexen, schwach-*-kompakten Teilmengen des Dualraums bildet eine Nullumgebungsbasis der [[Mackey-Topologie]] auf <math>E</math>.
* Die Menge aller Polaren aller schwach-*-beschränkten Teilmengen des Dualraums bildet eine Nullumgebungsbasis der so genannten [[Dualraum#Starker Dualraum eines lokalkonvexen Raums|starken Topologie]] auf <math>E</math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Polare Menge - Versionsgeschichte

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