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2025-11-15T13:38:10Z

Literatur

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Die '''Polar-Methode''' von [[George Marsaglia]] und Thomas A. Bray ist ein Verfahren zur Erzeugung [[Normalverteilung|normalverteilter]] [[Zufallszahl|Zufallszahlen]] ([[Zufallszahlengenerator]]).

== Geschichte ==
Diese Methode geht zurück auf den [[Box-Muller-Methode|Box-Muller-Algorithmus zur Erzeugung normalverteilter Zufallsgrößen]]. Bei diesem werden die euklidischen Koordinaten verwertet. Bei der Polar-Methode werden diese euklidischen Koordinaten in [[Polarkoordinaten]] umgewandelt. Das erspart die Auswertung von trigonometrischen Funktionen.

== Beschreibung ==
Man geht von zufälligen Punkten in der Ebene aus, die im Einheitskreis gleichverteilt sind. Aus deren Koordinaten werden jeweils zwei [[Normalverteilung#Definition|standardnormalverteilte]] Zufallszahlen erzeugt:

# Erzeuge zwei voneinander unabhängige, gleichverteilte Zufallszahlen <math>u</math>, <math>v</math> im Intervall <math>[-1, 1]</math>
# Berechne <math>q=u^2+v^2</math>. Falls <math>q = 0</math> oder <math>q \geq 1</math>, gehe zurück zu Schritt 1.
# Berechne <math>p = \sqrt {\frac{-2 \cdot \ln q}{q}}</math>.
# <math>x_1=u \cdot p</math> und <math>x_2=v \cdot p</math> sind nun zwei voneinander unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen.

Der Punkt <math>(u, v)</math> muss im [[Einheitskreis]] liegen (<math>q < 1</math>), und es muss <math>q > 0</math> gelten, da in den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] der [[Logarithmus#Nichtpositive Zahlen|Logarithmus von Null]] und die Division durch Null nicht definiert sind. Anderenfalls müssen zwei neue Zahlen <math>u</math> und <math>v</math> erzeugt werden.

Durch lineare Transformation lassen sich hieraus beliebige normalverteilte Zufallszahlen erzeugen: Die generierten Werte <math>x_i</math> sind <math>\mathcal{N}(0,1)</math>-verteilt, somit liefert <math>a \cdot x_i + b</math> Werte, die <math>\mathcal{N}(b,a^2)</math>-verteilt sind.

== Implementierung ==

=== Pseudocode ===
'''Prozedur''' ErzeugeNormalverteilteZufallszahlen ('''Referenzparameter''' x1, x2)
'''Wiederhole'''
u = 2 * Zufallszahl - 1 // "Zufallszahl" liefert in [0,1)
v = 2 * Zufallszahl - 1 // gleichverteilte Werte
q = u * u + v * v
'''Solange bis''' (0 < q) '''und''' (q < 1)
p = '''Wurzel''' (-2 * '''ln'''(q) / q)
x1 = u * p
x2 = v * p // Rückgabe durch die Referenzparameter x1, x2
'''Ende'''

=== C++ ===
Die Polar-Methode erzeugt Werte aus der [[Standardnormalverteilung]] mit [[Erwartungswert]] 0 und [[Standardabweichung]] 1. Die folgende Implementierung in der [[Programmiersprache]] [[C++]] generiert 10 standardnormalverteilte [[Zufallszahl|Zufallszahlen]] aus jeder [[Normalverteilung]] mit Erwartungswert μ und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] σ und gibt sie auf der Konsole aus.<ref>Stack Exchange Inc.: [https://stackoverflow.com/questions/9123745/marsaglia-normal-random-variables-in-c Marsaglia Normal Random Variables in C++]</ref><syntaxhighlight lang="c++">
#include <iostream>
using namespace std;

// Diese Funktion berechnet eine standardnormalverteilte Zufallszahl
double generateGaussian(double mu, double sigma)
{
double u, v, q, p; // Deklaration der lokalen Variablen
do // Diese do-while-Schleife erzeugt Zufallszahlen u und v im Intervall [-1, 1] mit 0 < u² + v² < 1
{
u = (rand() / ((double)RAND_MAX)) * 2 - 1;
v = (rand() / ((double)RAND_MAX)) * 2 - 1;
q = u * u + v * v;
} while (q >= 1 || q == 0);
p = sqrt(-2 * log(q) / q);
return mu + sigma * u * p;
}

// Hauptfunktion die das Programm ausführt
void main()
{
double mu = 0; // Deklaration der lokalen Variablen
double sigma = 1;
for (int i = 0; i < 10; i++) // Diese for-Schleife berechnet standardnormalverteilte Zufallszahlen und gibt sie auf der Konsole aus
{
double gaussian = generateGaussian(mu, sigma); // Aufruf der Funktion
cout << gaussian << endl; // Ausgabe auf der Konsole
}
}
</syntaxhighlight>

== Siehe auch ==
* [[Normalverteilung #Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen|Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen]]

== Literatur ==
* {{cite journal |first1=G |last1=Marsaglia |first2=T. A. |last2=Bray |title=A Convenient Method for Generating Normal Variables |journal=SIAM Rev. |volume=6 |number=3 |year=1964 |pages=260–264 |doi=10.1137/1006063 |language=en}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Pseudozufallszahlengenerator]]

Polar-Methode - Versionsgeschichte

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