imported>InkoBot: Bot: Ersetze hartkodierte Farbangabe durch Farbklasse

2025-07-08T18:04:32Z

Bot: Ersetze hartkodierte Farbangabe durch Farbklasse

Neue Seite

'''Pol und Polare''' sind ein Begriffspaar in der ebenen Geometrie der [[Projektiver Kegelschnitt|Kegelschnitte]]: Jedem Punkt der Ebene wird eine Gerade umkehrbar eindeutig zugeordnet. Vermittelndes Element ist ein Kegelschnitt. Die Gerade heißt ''Polare'' des Punktes, der Punkt ''Pol'' der Geraden. Die durch die Zuordnung Pol↔Polare gegebene Abbildung wird als ''Polarität'', genauer als ''hyperbolische projektive Polarität'' bezeichnet. Zum allgemeineren Begriff Polarität siehe den Artikel [[Korrelation (Projektive Geometrie)]], dort wird auch die Koordinatendarstellung von Polaritäten (als Abbildungen) erläutert.

== Außen liegender Pol ==
[[Datei:Pol aussen.svg|mini|Pol <math>P</math> (rot) außerhalb des Kreises mit Polare <math>p</math> (rot)<br /> harmonische Teilung:<math>\frac{|AS|}{|BS|}=\frac{|AP|}{|BP|}</math>]]

Zu einem Punkt <math>{P}</math>, der im ''Äußeren''<ref>Bei einer Parabel oder Hyperbel liegt der Punkt im „Äußeren“, wenn sich die Kurve von ihm wegkrümmt, wenn sie also von dem Punkt aus gesehen konvex ist.</ref> eines nicht entarteten Kegelschnitts (im Bild: eines [[Kreis]]es) liegt, gibt es stets zwei [[Tangente]]n <math>t_1</math> und <math>t_2</math>, die durch <math>{P}</math> gehen. Berühren diese den Kegelschnitt in den Punkten <math>T_1</math> und <math>T_2</math>, so heißt die Gerade <math>p=T_1T_2</math> „die Polare zu <math>{P}</math> (bezüglich des gegebenen Kegelschnitts)“.

Umgekehrt kann man sagen:

Schneidet eine Gerade <math>{p}</math> (die ''Polare'') einen Kegelschnitt in zwei Punkten <math>{T_1}</math> und <math>{T_2}</math>, so heißt der Schnittpunkt der beiden Tangenten in <math>{T_1}</math> und <math>{T_2}</math> der ''Pol'' zu <math>{p}</math> (bezüglich des Kegelschnittes).

== Harmonische Teilung und endgültige Definition ==
Zeichnet man durch den Pol <math>{P}</math> eine [[Sekante]], die den Kegelschnitt in <math>{A}</math> und <math>{B}</math> und die Polare in <math>{S}</math> schneidet, so teilen die Punkte <math>{S}</math> und <math>{P}</math> die Strecke <math>{\left[AB\right]}</math> '' [[Harmonische Teilung|harmonisch]]'' (siehe Zeichnung). Dies erlaubt es, die Polare auch folgendermaßen zu definieren:
{{Zitat
|Text=Zeichnet man durch einen Punkt <math>{P}</math> (den Pol) die Sekanten zu einem nicht entarteten Kegelschnitt, so liegen die ''vierten harmonischen Punkte'', die (zusammen mit <math>{P}</math>) die ausgeschnittenen [[Sehne (Mathematik)|Sehnen]] ''harmonisch teilen'', auf einer Geraden. Diese Gerade heißt ''die Polare zu <math>{P}</math>'' (bezüglich des Kegelschnitts).}}

Bei dieser Definition wird nicht mehr vorausgesetzt, dass <math>{P}</math> im Äußeren des Kegelschnitts liegt. Auch zu jedem Punkt im Innern gibt es danach eine wohl definierte Polare.

== Innen liegender Pol ==
[[Datei:Pol innen.svg|mini|Pol <math>P</math> (rot) innerhalb des Kreises mit Polare <math>p</math> (rot)<br />harmonische Teilung:<math>\frac{|AS|}{|BS|}=\frac{|AP|}{|BP|}</math>]]

Geometrisch erhält man die Polare zu einem Punkt <math>{P}</math> im Innern eines Kegelschnitts, indem man (mindestens zwei) Sekanten durch <math>{P}</math> zeichnet (im Bild <math>{s_1}</math> und <math>{s_2}</math>) und an den Endpunkten ihrer Sehnen jeweils die Tangenten konstruiert. Die Schnittpunkte dieser Tangenten (im Bild <math>{Q}</math> und <math>{R}</math>) liegen auf der Polaren.

Umgekehrt kann man auch sagen:

Ist die Polare [[Passante]] des Kegelschnitts, so schneiden sich die Polaren aller auf ihr liegenden Punkte im Pol der Geraden.

== Sonderfälle ==

* Liegt der Pol ''auf'' der Kegelschnittlinie, so ist die Polare die Tangente in diesem Punkt. (Oder umgekehrt: Ist die Polare Tangente an den Kegelschnitt, so ist ihr Pol der Berührpunkt.)
* Die Polare des [[Mittelpunkt]]s ist die [[Fernelement|unendlich ferne Gerade]].
* Pol zu einem [[Durchmesser]] ist ein [[Fernelement|unendlich ferner Punkt]], und zwar der, dessen Richtung die (parallelen!) Tangenten am Ende des Durchmessers angeben.

== Zusammenhang mit der Kreisspiegelung ==
[[Datei:Pole and polar.svg|mini|Die Polare zu einem Punkt <math>Q</math> bezüglich eines Kreises lässt sich, falls der Punkt <math>Q</math> nicht Mittelpunkt des Kreises ist, auch durch eine [[Kreisspiegelung]] bestimmen.]]
Die Zuordnung zwischen einem Pol <math>Q</math> und seiner Polaren <math>q</math> bezüglich eines Kreises <math>k</math> um <math>O</math> weist dem Punkt <math>Q</math> (<math>Q\neq O</math>) die Gerade <math>q</math> zu, die durch den Spiegelpunkt <math>P=\sigma(Q)</math> bei der [[Kreisspiegelung]] <math>\sigma</math> an <math>k</math> geht und auf der [[Verbindungsgerade]] <math>OP</math> senkrecht steht. Vergleiche dazu die Abbildung rechts unten.

== Höhere Dimensionen ==
Im dreidimensionalen Raum tritt an die Stelle des Kegelschnitts als vermittelndes Element eine [[Fläche zweiter Ordnung]], im einfachsten Fall also eine Kugel. Ist der ''Pol'' ein ''äußerer'' Punkt, so gibt es von ihm aus nicht nur zwei Tangenten, sondern im Allgemeinen eine ganze [[Kurvenschar|Schar]] von Tangenten, die einen [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] (nicht notwendig einen Kreiskegel!) bilden. Dieser berührt die ''Fläche zweiter Ordnung'' in einer Linie (genauer: in einem Kegelschnitt – bei der Kugel in einem Kreis), und diese Linie ist die Schnittlinie der ''Fläche zweiter Ordnung'' mit einer ''Ebene'' – eben der '''Polarebene'''. Dieser Begriff ersetzt hier also den Begriff ''Polare''.

Durch den ''Pol'' verlaufende ''Sekanten'' erzeugen auch hier eine ''harmonische Teilung'', und man kann, auch für Punkte im ''Innern'' der ''Fläche zweiter Ordnung'', ganz analog zum zweidimensionalen Fall definieren:
{{Zitat
|Text=Zeichnet man durch einen Punkt <math>{P}</math> (den Pol) die Sekanten zu einer nicht entarteten Fläche zweiter Ordnung, so liegen die ''vierten harmonischen Punkte'', die (zusammen mit <math>{P}</math>) die ausgeschnittenen [[Sehne (Mathematik)|Sehnen]] ''harmonisch teilen'', auf einer Ebene. Diese Ebene heißt ''die Polebene zu <math>{P}</math>'' (bezüglich der Fläche zweiter Ordnung).
|ref=<ref>Schaal (1974).</ref>}}

Auch die Sonderfälle verhalten sich analog.

Entsprechende Begriffsbildungen sind auch für Räume mit mehr als drei Dimensionen möglich.

== Pol-Polare-Beziehung bei Kegelschnitten ==

* [[Ellipse#Pol-Polare-Beziehung|Pol-Polare-Beziehung einer Ellipse]]
* [[Hyperbel (Mathematik)#Pol-Polare-Beziehung|Pol-Polare-Beziehung einer Hyperbel]]
* [[Parabel (Mathematik)#Pol-Polare-Beziehung|Pol-Polare-Beziehung einer Parabel]]

{| class="wikitable hintergrundfarbe-basis"
! Kegelschnitt
! Gleichung
! Polare des Punktes <math>P=(x_0,y_0)</math>
|-
| Kreis
| <math> x^2 +y^2 = r^2 </math>
| <math> x_0 x + y_0 y = r^2 </math>
|-
| [[Ellipse]]
| <math> \left(\frac{ x } { a }\right)^2 + \left(\frac{ y } { b }\right)^2 = 1 </math>
| <math> \frac{ x_0 x } { a^2 } + \frac{ y_0 y } { b^2 } = 1 </math>
|-
| [[Hyperbel (Mathematik)#Pol-Polare-Beziehung|Hyperbel]]
| <math> \left(\frac{ x } { a }\right)^2 - \left(\frac{ y } { b }\right)^2 = 1 </math>
| <math> \frac{ x_0 x } { a^2 } - \frac{ y_0 y } { b^2 } = 1 </math>
|-
| [[Parabel (Mathematik)#Pol-Polare-Beziehung|Parabel]]
| <math> y = a x^2 </math>
| <math> y+y_0 = 2ax_0x </math>
|}

{| class="wikitable hintergrundfarbe-basis"
! Kegelschnitt
! Gleichung
! Pol der Gerade u x + v y = w
|-
| Kreis
| <math> x^2 +y^2 = r^2 </math>
| <math> ( \frac{ r^2 u } { w }, \; \frac{ r^2 v } { w } )</math>
|-
| Ellipse
| <math> \left(\frac{ x } { a }\right)^2 + \left(\frac{ y } { b }\right)^2 = 1 </math>
| <math> ( \frac{ a^2 u } { w }, \; \frac{ b^2 v } { w } )</math>
|-
| Hyperbel
| <math> \left(\frac{ x } { a }\right)^2 - \left(\frac{ y } { b }\right)^2 = 1 </math>
| <math> ( \frac{ a^2 u } { w }, \; \frac{ -b^2 v } { w } )</math>
|-
| Parabel
| <math> y = a x^2 </math>
| <math> ( \frac{ -u} { 2av }, \; \frac{ -w} { v } )</math>
|}

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Hermann Schaal
|Titel=Lineare Algebra und analytische Geometrie
|Band=1
|Auflage=2. durchgesehene
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig
|Datum=1976
|ISBN=3-528-03056-9
|Seiten=224 ff.}}
* {{Literatur
|Autor=Karl Rohn, Erwin Papperitz
|Titel=Lehrbuch der Darstellenden Geometrie
|Band=1
|Auflage=1.
|Verlag=Salzwasser Verlag
|Ort=Paderborn
|Datum=2011
|ISBN=978-3-86195-888-8
|Seiten=184 ff.}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Poles and polars}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PolePolar.shtml cut-the-knot.org]
* {{MathWorld |id=Polar |title=Polar}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
[[Kategorie:Darstellende Geometrie]]
[[Kategorie:Absolute Geometrie]]

Pol und Polare - Versionsgeschichte

imported>InkoBot: Bot: Ersetze hartkodierte Farbangabe durch Farbklasse