imported>Luqa161: Ein minimalphasiges System darf sehr wohl Pole in der RHE haben. Diese Info war leider falsch.

2026-02-09T14:57:55Z

Ein minimalphasiges System darf sehr wohl Pole in der RHE haben. Diese Info war leider falsch.

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Das '''Pol-Nullstellen-Diagramm''', kurz '''PN-Diagramm''', stellt die [[Polstelle|Pole]] und [[Nullstelle]]n der [[Übertragungsfunktion]] eines [[System]]s in der [[Komplexe Ebene|komplexen Zahlenebene]] dar. Das System kann ein elektrisches System sein, z. B. ein [[Filter (Elektrotechnik)|Filter]], es kann aber auch ein zu regelndes mechanisches System sein, z. B. ein Fahrzeug bei einer [[Fahrdynamikregelung]]. Am häufigsten angewendet werden ''Pol-Nullstellen-Diagramme'' in der [[Nachrichtentechnik]] und der [[Regelungstechnik]].

Aus einem ''Pol-Nullstellen-Diagramm'' kann u. a. auf den [[Betragsfunktion|Betrag]]s- und [[Phase (Schwingung)|Phase]]n<nowiki/>verlauf des [[Frequenz]]gangs eines Systems sowie auf dessen [[Impulsantwort|Impuls-]] und [[Sprungantwort]] geschlossen werden. Damit bildet es eine wertvolle Grundlage für [[Analyse]], [[Synthese]] und Stabilitätsbetrachtungen von [[Elektrische Schaltung|Schaltungen]], Filtern und anderen [[Übertragungssystem]]en.

Die Erstellung und Anwendung eines ''Pol-Nullstellen-Diagramms'' setzt entsprechende Kenntnisse der [[Mathematik]] und der [[Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)|Systemtheorie]] voraus. Bei der Übertragungsfunktion, deren Pole und Nullstellen dargestellt werden, handelt es sich um die [[Laplace-Transformation|Laplace-Transformierte]] der Impulsantwort oder die [[z-Transformation]] eines Systems.

Üblicherweise werden im PN-Diagramm markiert:
* Einfachpole durch ein Kreuz
* Mehrfachpole durch ein Doppelkreuz
* Nullstellen durch einen kleinen Kreis.

Praktisch unterstützt wird die Erstellung von ''Pol-Nullstellen-Diagrammen'' oder die Herleitung von Übertragungsfunktionen oder anderen Systemeigenschaften aus ''Pol-Nullstellen-Diagrammen'' heute oft durch Software.

== Bedeutung der Pol- und Nullstellenlagen ==
Aus der Lage der Pole kann man u. a. erkennen, ob ein System [[kausal]] und [[Gleichgewicht (Systemtheorie) #stabil|stabil]] ist. Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems.

Das System ist stabil, wenn alle Pole der Übertragungsfunktion in der offenen linken [[Halbebene]] (LHE) des Diagramms liegen. Besitzt ein Pol einen [[Realteil]] von 0, d. h. liegt er auf der (meist senkrecht gezeichneten) imaginären Achse, so ist das System [[Grenzstabilität|grenzstabil]].

Realisierbare (kausale) Systeme besitzen mindestens so viele Pole wie Nullstellen. Aus dem Abstand aller Pol- und Nullstellen zu einer [[Frequenz]] im Diagramm kann man die Frequenzübertragungseigenschaften abschätzen. [[Eigenschwingung]]svorgänge werden durch zwei [[Komplexe Konjugation|konjugiert-komplexe]] Pole aufgezeigt. Komplexe Pole in der offenen linken Halbebene deuten auf abklingende Schwingungen.

All diese anschaulichen Diagramminterpretationen und viele weitere Interpretationen dieser Art lassen sich mit der Systemtheorie der Nachrichtentechnik gewinnen.

Bewegt man sich auf der Frequenzachse von <math>-\infty</math> nach <math>+\infty</math>, so dreht jeder Pol in der LHE sowie jede Nullstelle in der rechten Halbebene (RHE) die Phase um <math>-\frac{\pi}{2}</math>; jede Nullstelle in der LHE bewirkt eine Phasendrehung um <math>+\frac{\pi}{2}</math>.

== Beispiel ==
Im Folgenden sind die Systemfunktion, das Pol-Nullstellen-Diagramm und das Bode-Diagramm für einen [[Hochpass]] 2. Ordnung angegeben:

{| border="1" cellpadding="0" cellspacing="0"
|- align="center" style="vertical-align:middle"
|Übertragungsfunktion
|PN-Schema
|[[Bode-Diagramm]]
|- align="center" style="vertical-align:middle"
|<math>H(s) = \frac{\left(\frac{s}{\Omega_z}\right)^2}{1 + \frac{s}{\Omega_p Q_p} + \left(\frac{s}{\Omega_p}\right)^2}</math><br /><br /><math>\Omega_z = \Omega_p</math>
|[[Datei:Pn-diagram hp2.png|260px|PN-Schema eines HP 2. Ordnung]]
|[[Datei:Bode hp2.png|360px|Bode-Diagramm eines HP 2. Ordnung]]
|}

Wie zu sehen ist, besitzt ein Hochpass 2. Ordnung ein konjugiert komplexes Polstellenpaar und eine doppelte Nullstelle im [[Koordinatenursprung]]. Das System ist somit stabil.

[[Minimalphasig]]e Systeme, zu denen auch dieses Beispiel gehört, haben keine Nullstellen in der RHE.

== Literatur ==
* {{BibISBN|9783800732579}}
* Dieter Kreß, Benno Kaufhold: ''Signale und Systeme verstehen und vertiefen.'' 1. Auflage. Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1019-9.
* James G. Holbrook: ''Laplace-Transformation''. Lehrbuch für Elektrotechniker und Physiker, 2. Auflage, Springer Fachmedien, Wiesbaden 1973, ISBN 3-663-01883-0.
* Thomas Frey, [[Martin Bossert]]: ''Signal- und Systemtheorie.'' 1. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-06193-7.

[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]
[[Kategorie:Nachrichtentechnik]]
[[Kategorie:Systemdarstellung]]

Pol-Nullstellen-Diagramm - Versionsgeschichte

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